第四章 三角函数与解三角形 第五节 y=Asin(wx+b) 的图象与性质（讲）
第五节 的图象与性质
一.课标要求，准确定位
1.了解函数的物理意义并能画出其图像，了解参数对函数图像变化的影响.
2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
二.考情汇总，名师解读
三角函数的图象是高考热点之一，常考查已知函数图象求解析式、函数的图象变换及对称问题或利用图象解应用题等；三角函数的性质，如单调性、对称性、奇偶性、周期性等也是高考的高频考点.
【二级结论】
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)+ B的有关概念
振幅：A 周期： 频率： 相位：ωx＋φ 初相：φ
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)+ B图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
4．函数y＝Acos(ωx＋φ)+ B图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定其横坐标．
5．函数y＝Atan(ωx＋φ)+ B图象的对称中心由，k∈Z确定其横坐标．
核心考点1 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
1．下列结论正确的是（ ）
A．函数的最大值为A，最小值为－A.
B．函数向右平移个单位长度后对应的函数.
C．把的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得函数解析式为
D．如果的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.
2．函数的振幅、频率和初相分别为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
核心考点2 确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
3．把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可以得到函数y＝（ ）的图象
A． B． C． D．
(教材改编题)
4．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的函数图像关于y轴对称，则的最小值为 .
核心考点3 通过y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换研究其性质
(2023·九江模拟)
5．已知函数，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期是 B．的最小值为
C．在上单调递增 D．的图象关于点对称
6．已知函数，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则在上的单调递减区间为 ；
核心考点4 三角函数模型
7．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是 m．
(教材改编题)
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为 ℃.
考向一 五点法作图
9．用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像.
【解析】
10．已知函数，用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像.
11．函数，用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图）
【类题通法】 “五点法”作图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图的一般步骤为：
(1)定点：如下表所示.
(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到在一个周期内的图象.
(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得在R上的图象.
考向二 平移、伸缩变换
[重庆市巴蜀中学校2023届高三下学期适应性月考（十）]
12．要得到函数的图象，只需将图象上的所有点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
B．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
C．向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍
D．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的
[河北省唐山市2023届高三三模]
13．为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
C．向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
14．要得到函数的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．
(1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数；
(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．
【类题通法】由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
考向一 图象变换法
（2023年湖南省邵阳市隆回县高中学业水平考试模拟）
15．把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
16．将函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，然后将所得图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B． C． D．
考向二 五点法
17．函数的部分图像如图所示，现将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的表达式可以为（ ）
A． B．
C． D．
18．函数的部分图像如图所示，则（ ）
A． B．
C．函数在上单调递增 D．函数图像的对称轴方程为
考向三 性质法
19．已知函数，，且，写出一个满足条件的函数的解析式： .
（2023·河北·校联考模拟预测）
20．已知函数的图象过点，且相邻两个零点的距离为.若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则函数的解析式为 .
（2023·上海虹口·统考一模）
21．设函数（其中,）,若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为,则 ．
【类题通法】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，B.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
22．函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的一条对称轴为直线
C．函数的一个对称中心坐标为
D．再向左平移个单位得到的函数为偶函数
23．函数的最小正周期为，若其图像向右平移个单位后得到函数为奇函数，则下列关于函数图像的说法正确的是（ ）
A．关于点对称 B．在上单调递增
C．关于直线对称 D．在处取得最大值
24．已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数，下列结论中正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上的减区间为
D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度而得到
【类题通法】通过三角函数图象变换研究三角函数性质
关键是解出三角函数解析式，结合三角函数的性质进行研究.
25．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时8秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
26．如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（ ）
A．转动后点距离地面
B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
C．第和第点距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间长为
（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）
27．某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数，其中为水深（单位：米），为时间（单位：小时），该函数图像如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？
【类题通法】三角函数模型的应用体现在两方面：
一是已知函数模型求解数学问题；
二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【微点解读】注意先平移后伸缩与先伸缩后平移的区别，当先伸缩后平移时，抓住平移“变自变量”这一关键，此时在平移过程中需要提出自变量的系数，平移量由变为.
（安徽省皖江名校2023届高三最后一卷）
28．已知曲线，则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
（重庆市巴蜀中学2023届高考适应性月考（七））
29．函数的图象经过下列哪个变换可以得到的图象，这个变换是（ ）
A．先将函数的图象向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍
B．先将函数的图象向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的
C．先把函数的图象上每个点的横坐标缩小为原来的，再将图象向左平移个单位
D．先把函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向左平移个单位
30．已知函数的部分图象如下所示，其中，为了得到的图象，需将（ ）
A．函数的图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位长度
B．函数的图象的横坐标缩短为原来的后，再向右平移个单位长度
C．函数的图象向左平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍
D．函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍
【微点解读】的取值范围可与三角函数的单调性、对称性、最值、零点、极值等相结合.
【题型1】与函数平移相关的ω取值范围问题
1、平移后与原图象重合：1）平移长度即为原函数周期的整倍数；2）平移前的函数=平移后的函数.
2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.
3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；
4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；
5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中.
31．已知函数，将的图像向右平移个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
32．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【题型2】与函数单调性相关的ω取值范围问题
已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围
1）根据区间的长度不大于该函数最小正周期的一半，即，求得.
2）以单调递增为例，利用，解得的范围；
3）结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围.
33．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，且函数在上单调递增，则的取值是（ ）
A． B． C． D．
34．已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型3】与函数零点相关的ω取值范围问题
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值.
35．已知函数，，且在上恰有50个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）
36．已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【题型4】与函数最值相关的ω取值范围问题
37．已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
38．已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为 ．
【题型5】与函数极值相关的ω取值范围问题
39．已知偶函数（，）在上恰有2个极大值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
40．已知函数，，向右平移个单位长度后的图象与原函数图象重合，的极大值与极小值的差大于15，则a的最小值为（ ）
A．6 B．7.5 C．12 D．18
【题型6】与函数对称性相关的ω取值范围问题
已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则.
41．若存在实数， 使得函数的图象的一个对称中心为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
42．若存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型7】与零点、单调性、对称性等相关的综合性问题
43．已知函数在上是增函数，且在上恰有一个极大值点与一个极小值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
44．已知函数在上单调，其图象经过点，且有一条对称轴为直线，则的最大值是 .
45．若函数在上有且仅有3个零点和2个极小值点，则的取值范围为 ．
46．如图是函数的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
47．函数和的部分图象，如图所示．的图象由的图象平移而来，分别在、图象上，是矩形，，则的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
(2023·武汉模拟)
48．为了得到的图像，只需将的图象（ ）
A．每一点的横坐标变为原来的再向右平移
B．每一点的横坐标变为原来的4倍再向右平移
C．先向右平移再把每一点的横坐标变为原来的4倍
D．先向右平移再把每一点的横坐标变为原来的
49．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象向右平移个单位后得到的图象
C．在区间的最小值为
D．为偶函数
50．风车发电是指把风的动能转为电能.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°.现有一座风车，塔高60米，叶片长度为30米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且6秒旋转一圈，风车开始旋转时，某叶片的一个端点P在风车的最低点（P离地面30米），设点P离地面的距离为S（米），转动时间为t（秒），则S与t之间的函数关系式为 ，一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为 .秒.
(2023·重庆模拟)
51．已知函数的最小值为.
(1)求函数的最大值；
(2)把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，且函数在上为增函数，求的最大值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据正弦型函数的最值性质、图象变换性质，结合余弦型函数的周期性逐一判断即可.
【详解】A：当时，该函数最大值为，最小值为，所以本选项不正确；
B：函数向右平移个单位长度后对应的函数为，因此本选项不正确；
C：把的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得函数解析式为，因此本选项不正确；
D：根据余弦型函数的图象性质可知：相邻两条对称轴与图象的交点分别是函数的最高点和最低点，
所以函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，因此本选项说法正确，
故选：D
2．A
【分析】根据函数解析式直接判断选项.
【详解】函数的振幅是，周期，频率，初相是，
故选：．
3．D
【分析】根据函数的平移法则即可求解.
【详解】因为，所以把图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数的图象
故选：D.
4．
【分析】根据题意，先求得平移之后的函数，然后根据其关于轴对称，列出方程，即可得到，从而得到结果.
【详解】将函数的图像向左平移个单位长度后，
得到函数的图像，
因为图像关于轴对称，所以，，则，.
令，得的最小值为.
故答案为：
5．C
【分析】依据题意对函数进行变换，然后利用三角函数的性质解题.
【详解】由题先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得；
再将所得到的图象向右平移个单位长度得
所以，其最小正周期为，最小值为．排除AB；
其单调递增区间为,解得，C正确；
对称中心为，解得，所以其图象关于点对称，排除D.
故选：C
6．
【分析】通过平移变换得，然后利用正弦函数的单调性解不等式可得.
【详解】将函数的图象向左平移个单位，得，即，由得.
故答案为：
7．1
【分析】将代入函数解析式，即可得出答案.
【详解】解：当t＝12时，f(12)＝2sin＝2sin＝1，
即12点时潮水的高度是.
故答案为：1.
8．20.5##
【分析】根据题意列出方程组，求出，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系，将x＝10代入求出10月份的平均气温值．
【详解】据题意得 ，
解得 ，
所以
令 得 .
故答案为：20.5
9．答案见解析
【分析】根据函数解析式按照“五点法”的步骤，列表、描点、连线即可作出的图象.
【详解】列表：
0
1 2 0 0 1
描点，连线，画出在上的大致图像如图：
10．图象见解析
【分析】根据五点法作图的方法画出图象即可.
【详解】当时，
列表如下：
0 1
1 2 0 0 1
作图如下：
【点睛】
11．答案见解析
【分析】先写出分段函数，列出表格，从而画出函数图象.
【详解】，
按五个关键点列表：
0
0 1 0 0
0 3 0 1 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：
12．AC
【分析】根据三角函数的图象变换的规则，准确运算，逐项判定，即可求解.
【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸出为原来的2倍，得到，再将上所有点向左平移个单位，得到，所以A正确，B错误；
将函数上各点左平移个单位，得到，
再将上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到，所以C正确，D错误.
故选：AC.
13．BC
【分析】根据三角函数图象的伸缩平移变换即可得出结果.
【详解】函数的图象向右平移个长度单位，得，
再将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得；
函数图象将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得，
再向右平移个长度单位，得，即.
故选：BC
14．(1)答案见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）根据三角函数图象变换求解即可；
（2）利用“五点法”画出图象.
【详解】（1）步骤1：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象；
步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；
步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象．
或者步骤1：步骤1：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；
步骤2：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象；
步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象．
（2）因为列表：
15．A
【分析】根据三角函数的图象变换的规则，即可求解.
【详解】由函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，即函数的解析式为.
故选：A.
16．A
【分析】先根据伸缩得出解析式，再结合平移得出函数的解析式即可.
【详解】由题意将函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的得，
纵坐标伸长为原来的2倍得,
将所得图像向右平移个单位长度，即．
故选:A．
17．B
【分析】由最大值、和，结合五点作图法可求得；根据三角函数平移变换，结合诱导公式可化简得到结果.
【详解】由图像可知：，；
又，，又，，
，由五点作图法可知：，解得：，；
.
故选：B.
18．AD
【分析】利用图像判断周期，求出，即可判断选项A；利用特殊点求出，即可判断选项B；得到函数的解析式，分别求出单调区间和对称轴方程，判断选项C、D.
【详解】由图像知函数的周期，解得：，所以A对；
由五点对应法得，因为，所以，所以B错误，所以．
当时，函数单调递减.取，得的一个单调递减区间为，所以C错，
函数图像的对称轴方程为，即，所以D对．
故选：AD
19．（答案不唯一）
【分析】由题可得，进而可得，取，即得.
【详解】∵，，且，
∴，，
∴，，
令，，，，，
令，，.
故答案为：（答案不唯一）.
20．
【分析】由相邻两个零点之间距离可得最小正周期，从而求得；代入可求得；根据三角函数平移变换可得结果.
【详解】的相邻两个零点的距离为，的最小正周期，；
又，，解得：，
又，，，
.
故答案为：.
21．
【分析】根据对称轴与对称中心的最小距离即可得到周期,将对称轴代入即可得到关于的等式,再根据的范围即可得到解析式.
【详解】解:由题知,因为对称轴与对称中心的最小距离为,
所以,即,
所以,此时,
因为对称轴为,
故有:,
即,
因为,
所以,
故.
故答案为:
22．D
【分析】根据图象求得的解析式，根据三角函数图象变换求得，根据的最小正周期、对称轴、对称中心、图象变换等知识确定正确答案.
【详解】对于，
由图可知，，
，，
由于，所以，所以.
图象上的所有点向右平移个单位得到函数，
的最小正周期为，A选项错误.
，B选项错误.
点的纵坐标是，所以不是的对称中心，C选项错误.
再向左平移个单位得到，
所得函数为偶函数，所以D选项正确.
故选：D
23．AD
【分析】先求出表达式，然后根据三角函数的性质逐一判断每个选项.
【详解】函数的最小正周期为，则，可得，
向右平移个单位后得到的函数为，
因为此函数为奇函数，则经过原点，故，则，
结合，解得．故函数.
对于选项A：令，解得，
故的对称中心为：，时为，故A正确：
对于选项B：当时，，根据正弦函数的单调性可知，
在上不单调，故B错误；
对于选项C，，此为对称轴，
而令，解得，故C错；
对于选项D，，显然是最大值，故D正确．
故选：AD
24．BC
【分析】根据函数图象，求解参数，代入的表达式中，利用正弦型函数的图象及性质，依次判断各项正误.
【详解】根据函数图象可得：，∴，，
又，故，
所以对称轴为时，故A项错．
，∴关于对称，故B项对．
函数的单调递减区间为，
时在单调递减，故C项对．
，故D项错．
故选：BC.
25．D
【分析】由点A坐标，可求得.由题可知的最小正周期为8，据此可求得.又由题,有，结合可得.
【详解】因点在水车上，所以.
由题可知的最小正周期为8，则，又，则.
因，则，又，故.
综上：.
故选：D
26．D
【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断.
【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：
，
由题意得：，
，则 ，
所以 ，
选项A，转到后，点距离地面的高度为：
，故A不正确；
选项B，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，
故B不正确；
选项C，因为
，
，
所以 ，
即第和第点距离地面的高度不相同，故C不正确；
选项D，令，
则 ，由，
解得 ，
所以，
即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，
故D正确；
故选：D.
27．(1)
(2)8小时
【分析】（1）由图易得和周期，由周期可求，然后代入最高点的坐标可求，从而求出解析式；
（2）由题意可知，只要解此不等式即可得解.
【详解】（1）由图知，，，，
所以，将点代入得，
结合解得，
所以函数的解析式.
（2）货船需要的安全水深为米，所以当时货船可以停留在港口.
由得，得，
即，
当时，，当时，，
所以该船一天之内至多能在港口停留小时.
28．C
【分析】结合选项按照先伸缩，再平移的过程，结合诱导公式，即可判断选项.
【详解】曲线，
把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象；
再把得到的曲线向左平移个单位长度，可以得到曲线的图象.
故选：C.
29．B
【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.
【详解】先将函数的图象向左平移个单位得到，
再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的，得到，即.
故选：B
30．D
【分析】根据已知条件可知，，即可求得，再代入点的坐标，根据已知条件的来确定解析式，最后根据伸缩平移法则即可求得.
【详解】依题意，，解得，故，则，而2，故，而，故.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，再将横坐标伸长为原来的倍，得到.
故选：D.
31．B
【分析】根据题意是周期的整数倍，求出的表达式，从而求出其最小值.
【详解】,的周期为,
将的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原图像重合，
是周期的整数倍，，，
，的最小值等于.
故选：B
32．C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
33．B
【分析】首先得到平移后的解析式，根据对称性得到，，从而求出的取值集合，再由的取值范围求出，结合正弦函数的单调性，求出的范围，即可得解.
【详解】的图像向左平移个单位长度后，得到，
因为关于轴对称，所以，，解得，，
因为，故当时，，
因为函数在上单调递增，所以，解得，
故，解得，因为，所以，故.
故选：B
34．C
【分析】转化为在区间内单调递增，根据正切函数的单调区间求出的单调递增区间，再根据区间是的单调递增区间的子集列式可求出结果.
【详解】因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，
由，，得，，
所以的单调递增区间为，，
依题意得，，
所以，，
所以，，
由得，由得，
所以且，
所以或，
当时，，又，所以，
当时，.
综上所述：.
故选：C.
35．C
【分析】由得出，再由余弦函数的性质列出不等式组，进而得出的取值范围.
【详解】因为函数，，所以，，.
所以，所以的取值范围是.
故选：C.
36．
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
37．A
【分析】由求得的范围，再根据函数的直接结合正弦函数的性质列出不等式，从而可得出答案.
【详解】解：当时，，
因为函数在区间上的值域为，
所以，解得.
故选：.
38．17
【分析】利用三角函数的零点以及函数的单调性可知，，再结合函数的周期列式，即可求解.
【详解】由，且在上有最大值，没有最小值，可得， 所以.
由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，又，当时，，则的最大值为17，,
故答案为：17
39．D
【分析】利用辅助角公式化简函数，根据偶函数的性质结合的取值范围，求解的值，最后化简得到，再根据函数在上恰有2个极大值，代入，即可求解的取值范围.
【详解】解：，
因为，则，故，
又函数为偶函数，故，解得，
故，
因为函数在上恰有2个极大值，故当时，，
即.
故选：D.
40．C
【分析】写出平移后解析式，由它与原函数相同，结合周期性得的表达式，再由极大值与极小值的差大于15得的范围，从而可得结论．
【详解】平移后函数式为，它与原函数一样，则，，
是正弦型函数，极大值与极小值的差是，由题意，，
所以的最小值是12．
故选：C．
41．C
【分析】由题意可得，则，再根据，，即可得出答案.
【详解】解：由题意知，存在在使得的一个对称中心为，
即存在使得时，，
代入， 则，
即，即，
因为，，所以，则，
由不等式性质知时，取到最小值，
又由于无法取到，故，
所以的取值范围为.
故选：C.
42．C
【分析】由题意得，，只有唯一的值落在中，从而列不等式组可求出答案.
【详解】由，，得，，
，
因为存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，
所以只有唯一的值落在（）中，
所以，解得，
故选：C．
43．B
【分析】由，，，可得，在，上仅有一个极大值点与一个极小值点，故有，求解即可．
【详解】由，，，
所以，解得，
由在，上仅有一个极大值点与一个极小值点，
则有，所以，又，
所以的取值范围为，．
故选：．
44．5
【解析】根据函数图象经过点和对称轴直线，得到的取值范围，再根据在，上单调可求得答案.
【详解】因为函数图象经过点，所以，得，①
因为是一条对称轴，，得，②
①-②得，，即，由于，
所以，因为函数在上单调，
所以，所以，则的最大值为5，
故答案为：5.
【点睛】本题考查三角函数的对称性、周期等性质，需要学生有较好的理解力和计算能力.
45．
【分析】找到临界位置，再根据条件建立不等式求解即可.
【详解】如下图，作出简图，由题意知，，设函数的最小正周期为，
因为，则，，
结合有且，解得．
故答案为：
46．A
【分析】先由图像求得，再由辅助角公式化简，最后由三角函数的平移变换即可求解.
【详解】由题图知：，又，，
解得，又，
将向左平移得.
故选：A.
47．C
【分析】由图可知的图象向右平移个单位，然后根据函数图象平移规律和诱导公式可求得答案.
【详解】根据题意，由图象知，函数的图象向右平移个单位，
得的图象；
又
，
所以
故选：C
48．C
【分析】根据三角函数的变换规则判断即可.
【详解】将每一点的横坐标变为原来的4倍、纵坐标不变得到，
再向右平移个单位得到，故A、B错误；
将先向右平移个单位得到，
再把每一点的横坐标变为原来的倍、纵坐标不变得到，故C正确，D错误；
故选：C
49．D
【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后再逐个分析判断
【详解】因为的图象过点，
所以，
因为，所以，
因为的图象过点，
所以由五点作图法可知，得，
所以，
对于A，因为，所以为的图象的一条对称轴，所以A错误，
对于B，的图象向右平移个单位后，得，所以B错误，
对于C，当时，，所以，所以在区间的最小值为，所以C错误，
对于D，，令，
因为，所以为偶函数，
所以D正确，
故选：D
50． （t>0）. 4
【分析】根据题意，求出转动的角速度为，得到，列不等式，求出t的范围，即可得到答案.
【详解】因为风车6秒旋转一圈，则其转动的角速度为，经过t时，叶片转过的圆心角为，此时离地面的高度为，故（t>0）.
由，得，
因为，，所以，解得，
故一圈内P离地面的高度不低于45米的时长为4秒.
故答案为：①；②4.
51．(1)
(2)4
【分析】（1）化简函数为，再根据函数的最小值为求解；
（2）利用平移变换得到的图象，再由在上为增函数求解.
【详解】（1）解：，
，
，
函数的最小值为
，
解得，
则，
函数的最大值为2.
（2）由（1）可知：把函数向右平移个单位，
可得函数的图象.
在上为增函数，
函数的周期
，即的最大值为4.
答案第1页，共2页
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