2024年中考数学考点复习集训强化测试卷：
圆的综合解答题专项训练
1．如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，以点为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D．
(1)与相似吗？为什么？
(2)如图2，弦交x轴于点P，且，求；
(3)如图3，过点D作的切线，交x轴于点Q．点G是上的动点是否变化？若不变，请求出比值，若变化，请说明理由．
2．如图，、分别是的直径和弦，于点D．过点A作的切线与的延长线交于点P，、的延长线交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
3．如图，为的直径，A为上一点，作的平分线交于点D．过点D作的切线，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
4．如图，以的边为直径的恰好为的外接圆，的平分线交于点D，过点D作交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
5．如图，为的直径，C为延长线上一点，弦与弦交于点D，连接，于点E，交于点F，；
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
6．如图，已知等腰三角形内接于，点为上一点（不与点重合），连接，且．
(1)如图1，若为直径．
①求的值；
②求四边形的面积．
(2)如图2，在上取一点，使，连接，交于点，若，求的长度．
7．如图，四边形内接于，是的直径，，过点C作交延长线于点
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
8．如图，在中，是的直径，是的弦，，．
(1)求的半径；
(2)连接，过圆心向作垂线，垂足为，求的长．
9．如图，是的直径，点是上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，交于点E，且平分∠DAB．
(1)求证：直线是的切线；
(2)连接BC，若BC＝3，AC＝4，求AE的长．
10．如图，是的直径，D是的中点，于E，过点D作的平行线，连接并延长与相交于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的值．
11．如图，在中，，分别与边，相切于点D和点E，连接．
(1)求证：为的平分线．
(2)连接与交于点F，且满足，若，求的半径．
12．如图，为的直径，为上一点，连接，过作于点，过作，使，其中交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，点在上，且满足，连接并延长交的延长线于点．
①试探究线段与之间满足的数量关系；
②若，，求线段的长．
13．如图，是的外接图，为的直径，点D是半圆的中点，连接，．过点D作的切线，交的延长线点H．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
14．如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，求和的长．
15．已知为圆的直径，为圆上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交圆于点．
(1)如图，求证：平分；
(2)如图，若，，过作交圆于点，连接，求圆半径和．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)相似
(2)
(3)的值不变，
【详解】（1），理由如下：
解：如图1所示，
∵和是的圆周角，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，连接，，，
∵点M的坐标为，
∴，
∵5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∵和是的圆周角，
∴，
∵和是的圆周角，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图3所示，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
当G点与A点重合时，；
当G点与B点重合时，；
当G点不与A、B重合时，
∵，
∴，
∴，
即，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，的值不变．
2．(2)
【详解】（1）连接，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴是的切线．
（2）∵是直径，
∴，
∵，
∴
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴在中，．
3．(2)
【详解】（1）证明：如图1，连接，
是的切线，
，
，
∵为的直径，
，
∵平分，
，
∵，
，
，
；
（2）解：如图2，过点C作于点F，连接，
，，，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，即，
，
．
4．(2)
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：在中，，，
，
，
过点作，垂足为，
则四边形为正方形，
，
，
，
，
∴，即，
解得： ，
．
5．(2)3
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
设，则，
，
，
，
为的直径，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
．
6．(1)①；②
(2)
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴；
②过点A作于点E，连接，如图所示：
∵，，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∵，
∴点O在上，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，负值舍去，
即．
7．(2)
【详解】（1）证明：连接，，如图所示：
是直径，
，
，
，
∴，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：作于F，连接，如图所示：
，
四边形是矩形，
，
是直径，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
8．(1)的半径为
(2)的长
【详解】（1）解：如图，连结，
∵，，
∴，
设的半径为，，则，
在中，由勾股定理得，，即，
∴，即的半径为．
（2）解：如图所示，连结，
∵，
∴，
又∵，
∴是的中位线，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的长．
9．(2)
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵点在上，
∴直线是的切线；
（2）解：如图所示，连接，由（1）得，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，，
∴∽，
∴，即，
∴，
∴，，
∴．
10．
(3)
【详解】（1）解：证明：连接OD，如图所示：
∵D是的中点，
∴，平分，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：∵D是的中点，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵D是的中点，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵AB是的直径，
∴，
∵，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．(2)4
【详解】（1）证明：如图，连接，，
∵，均为的切线，
∴．
又∵，
∴四边形为矩形，而．则矩形为正方形．
∴为的平分线；
（2）解：由（1）可知，即，
∴：
又由可知，，
∵，
∴，
∵，，
∴．即，
设的半径为r，，
由（1）得，为正方形，
∴，则，
∴，解得．
∴的半径为4．
12．(2)①;②．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴是的切线；
（2）解：①线段与之间满足的数量关系是：，
理由如下：
如图，连接,过作于点，
∴，
∵，且，
∴，
∵为公共边，
∴（），
∴，
∴；
②∵,,,
∴,
∵，
∴，由①得：，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．
(2)
【详解】（1）解：证明：连接，如图所示，
∵为的直径，点D是半圆的中点，
∴，
∵相切于点D，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点B作于点E
∴，
由（1）可知，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴在中，由勾股定理，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
14．
(2)，
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：设，
是的直径，
，
，
，即，
根据（1）中的结论，可得，
根据勾股定理，可得，即，
解得，（舍去），
，,
根据勾股定理，可得；
解法一：如图，过点作的垂线段，交的延长线于点F，
，
，
，
，即，
，，，
，
，
，
设，则，
，
可得方程，解得，
，，
根据勾股定理，可得．
解法二：如图，连接,
，，
，
，
又，，，
，
．
15．(2)圆半径为：；
【详解】（1）证明：如图，连接，
是圆切线，点为切点，
，，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：如图连接，，
在中，，，
，
，
为圆的直径，
，
，
圆半径为：；
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
答案第1页，共2页
