2024年 九年级数学中考复习 二次函数与三角形综合压轴综合题 专题训练
1．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=xmm，EF=ymm．
（1）写出x与y的关系式；
（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．
2．如图，在直角坐标系中有，O为坐标原点，，，将此三角形绕原点O顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过A，B，C三点.
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线与二次函数图象相交于M，N两点.
①若，求k的值；
②证明：无论k为何值，恒为直角三角形.
3．如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点.
（1）求二次函数的解析式及顶点的坐标；
（2）过定点的直线与二次函数图象相交于M，两点.
①若，求的值；
②证明：无论为何值，恒为直角三角形；
③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式.
4．如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB＝5，AD＝4．在进行如下操作时遇到了下列几个问题，请你帮助解决．
（1）如图2，将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时EF恰好经过点A，请证明：△ADE∽△FGE；
（2）如图3，在（1）的条件下，小明先将△EFG的边EG和矩形的边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式．
（3）如图，在（1）的条件下，小明把该图形放在直角坐标系中，使B（G）为坐标原点BC为x轴，在x轴和y上分别找P，Q两点使△DPQ与△ABF相似，直接写出P点的坐标。
5．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”.
（1）①如图2，求出抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长；
②抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ▲ ；
（2）若抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；
（3）若抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值.
6．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．这条高称为“半高”．如图1，对于△ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是“半高三角形”．此时，称△ABC是“BC边半高三角形”，AD是“BC边半高”；如图2，对于△EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF边半高三角形，CH是“EF边半高”．
（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，若△ABC是“BC边半高三角形”，则AC＝ cm；
（2）若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2cm，则该等腰三角形底边长的所有可能值为 ．
（3）如图3，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点P是抛物线y＝x2.上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得△RSQ为“RS边半高三角形”当点P介于抛物线上点R与点S之间，且PQ取得最小值时，求点P的坐标．
7．综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时， ．
②S关于t的函数解析式为 ．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
① ；
②当时，求正方形的面积 ．
8．定义：在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点
的坐标为
，点
的坐标为
，且
，
，若
为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与
轴垂直，则称该等腰三角形为点
，
的“伴随等腰三角形”.
（1）若
，
为抛物线
上的点，它的“伴随等腰三角形”记为
，且底边
，点
，
均在点
的右侧，设点
的横坐标为
.
①若点
在这条抛物线上，则
的面积是▲ .
②设
，
两点的纵坐标分别为
，
，比较
与
的大小；
③当
底边上的高等于底边长的2倍时，求点
的坐标；
（2）若
，
是抛物线
上的两点，它的“伴随等腰三角形
”以
为底，且点
，
均在点
的同侧（左侧或右侧），点
的横坐标是点
的横坐标的2倍，过点
，
分别作垂直于
轴的直线
，
.设点
的横坐标为
，该抛物线在直线
，
之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为
，直接写出
与
之间的函数关系式，并写出自变量
的取值范围.
9．将一个直角三角形纸片ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，点A(4， 0)，点C(0， 2)，点O(0，0)，点B在x轴负半轴，点E在线段AO上以每秒2个单位长度的速度从A向点O运动，过点E作直线EF⊥x轴，交线段AC于点F，设运动时间为t秒．将△AEF沿EF翻折，使点A落在x轴上点D处，得到△DEF．
（1）如图①，连接DC，当∠CDF=90°时，求点D的坐标．
（2）①如图②，若折叠后△DEF与△ABC重叠部分为四边形，DF与边BC相交于点M，求点M的坐标（用含t的代数式表示），并直接写出t的取值范围；
②△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写当出结果即可）．
10．如果一条抛物线 （ ）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.
（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；若抛物线 （ ）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则 .
（2）如图，△OAB是抛物线 （ ）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由.
（3）若抛物线 与直线 交点的横坐标均为整数，是否存在整数m的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由.
11．已知抛物线 （a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A和B（点A在点B左侧），若△ABC是等腰三角形，则称抛物线 （a≠0）是“理想抛物线”，
（1）判断抛物线 是否为“理想抛物线”，并说明理由；
（2）已知经过点B（3，0）的抛物线 （ ）是“理想抛物线”；
①若点P（ ），Q（ ）（ ）是抛物线上另两点，满足当 时，PB与AQ的交点始终在抛物线的对称轴上，且线段AC的垂直平分线恰好经过点B，求此抛物线的解析式；
②是否存在整数c使得 ，且 ，若存在，求出所有满足条件的整数c的值；若不存在，请说明理由.
12．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点.
（1）写出点A、点B的坐标；
（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在t，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
13．定义：若抛物线的顶点和与x轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时.则称此抛物线为正抛物线.
概念理解：
（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点.试证明：以点A为顶点，且与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线；
问题探究：
（2）已知一条抛物线经过x轴的两点E、F（E在F的左边），E（1，0）且EF＝2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式；
（3）将抛物线y1＝﹣x2+2 x+9向下平移9个单位后得新的抛物线y2.抛物线y2的顶点为P，与x轴的两个交点分别为M、N（M在N左侧），把△PMN沿x轴正半轴无滑动翻滚，当边PN与x轴重合时记为第1次翻滚，当边PM与x轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标.
14．在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB.
（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，
问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是▲，数量关系是_▲；
深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图3，∠ACB≠90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA＝45°，BC＝ ，当BM＝ 时，BP的最大值为 .
15．已知抛物线顶点 在 轴负半轴上，与 轴交于点 ， ， 为等腰直角三角形.
（1）求抛物线解析式
（2）若点 在抛物线上，若 为直角三角形，求点 的坐标
（3）已知直线 过点 ，交抛物线于点 、 ，过 作 轴，交抛物线于点 ，求证：直线 经过一个定点，并求定点的坐标.
16．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．
（1）①如图2，求出抛物线 的“完美三角形”斜边AB的长；
②抛物线 与 的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ；
（2）若抛物线 的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；
（3）若抛物线 的“完美三角形”斜边长为n，且 的最大值为-1，求m，n的值．
17．如图1 ，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过点 和点 从点，开始沿射线 方向以每秒 个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为 （点 的对应点分别为点 ），平移时间为 秒，射线 交 轴于点 ，交抛物线于点 ，连接 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 时，请直接写出 的值；
（3）如图2，点 在抛物线上，点 的横坐标是点 的横坐标的 ，连接 与 相交于点 ，当 时，求 的值.
18．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线 与其“衍生直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为矩形
∴KD=EG=x
∴AK=AD-DK=80-x
∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC
∴，即
∴y=-x+120（0＜x＜80）
（2）解：说法错误，S=xy=-x2+120x=-（x-40）2+2400
当x=40时，S有最大值2400
此时，y=-×40+120=60
∴矩形的长为60，宽为40，矩形的面积最大，最大值为2400
∴此时的矩形不是正方形，说法错误。
2．【答案】（1）解：∵，
，
∴，
∴，
根据旋转的性质可得：，
∴，
把、分别代入解析，得
，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：①设，，
∵直线l：过定点，抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，
∴，
联立与
可得，
∴，，
∴，
∴；
②证明：过点P作轴，垂足为G，分别过点M，N作的垂线，垂足分别为E、F，
设，.
∵M，N在二次函数图象上，
∴，
.
∵，
∴，
，
，
，
∴，
，
由①可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴无论k为何值，恒为直角三角形；
3．【答案】（1）解：∵A（0，3），B（-1，0），
∴OA=3，OB=1，
根据旋转的性质得OC=OA=3，
∴C（3，0），
把A（0，3），B（-1，0），C（3，0），分别代入y=ax2+bx+c得
，
解得，
∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点P的坐标为（1，4）；
（2）解：①设，
直线：过定点，抛物线的顶点坐标为，
，
，
，
联立
得，
，
，
；
②证明：过点作轴，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为、，
设.
，在二次函数图象上，
，.
，
，，，，
，
，
由①可知，
，
，
，
，
，
，
，即，
无论为何值，恒为直角三角形；
③
4．【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABC=∠FGE=90°，AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE，
∵BE=BA，
∴∠FEB=∠BAE=∠AED，
∴△ADE∽△FGE
（2）解：如图2，∵BE=AB=GE=CD=5，BC=AD=4，
∴，
∴DE=CD-CE=5-3=2，
∵△ADE∽△FGE，
∴即
解之：BF=FG=10；
当0≤x≤4时，如图
∵BG=x，则BF=10-x，
∵HB∥EG，
∴△FBH∽△FGE，
∴即
解之：，
∴；
当4＜x≤10时，如图
∵BG=x，则BF=10-x，
∴CG=x-4，FC=FG-CG=10-（x-4）=14-x，
∵BH∥EG，
∴△FCM∽△FGE，
∴即
解之：；
；
∴.
（3） 解：如图，点P、Q分别在BC，AB上时，
∵在（1）的条件下，BF=10，
∵△DPQ∽△ABF
当∠DQP=∠ABF=90°，∠QDP=∠AFB
∴，
∴DQ=2QP；
∵∠DAQ=∠QOP=∠DQP=90°，
∴∠AQD+∠ADQ=90°，∠AQD+∠OQP=90°，
∴∠ADQ=∠OQP，
∴△ADQ∽△OQP，
∴即，
解之：OQ=2，OP=，
∴点P（，0）；
当∠QPD=90°时
∵△DPQ∽△ABF，
∴，
∵∠QOP=∠QPD=∠DPC=90°，
∴∠QPO+∠OQP=90°，∠DPC+∠QPO=90°，
∴∠DPC=∠OQP，
∴△CPD△OQP，
∴即，
解之：OP=，
∴点P（，0）；
当点P在x轴的负半轴，Q在y轴的负半轴时，
当∠DPQ=90°时，
∵△DPQ∽△ABF，
∴，
∵∠QOP=∠DCP=∠DPQ=90°，
∴∠QPO+∠OQP=90°，∠DPC+∠QPO=90°，
∴∠OQP=∠DPC，
∴△OQP∽△CPD，
∴即，
解之：OP=，
∴点P（，0）；
当∠DQP=90°时
同理可知，△AQD∽△OPQ，
即，
解之：BQ=2，OP=，
∴点P（，0）；
当点P在x轴的负半轴，点Q在y轴的正半轴时，
同理可知，△AQD∽△OPQ，
∴
解之：BQ=8，OP=6，
∴点P（-6，0）；
当点P在x轴的正半轴，点Q在y轴的负半轴，∠DPC=90°，
同理可知，△CDP∽△OPQ，
∴即，
解之：OP=10，
∴点P（10，0），
∴点P的坐标为（10，0）或（-6，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（，0）.
5．【答案】（1）解：①过点B作BN⊥x轴于N，如图2，
∵△AMB为等腰直角三角形，
∴∠ABM＝45°，
∵AB∥x轴，
∴∠BMN＝∠ABM＝45°，
∴∠MBN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BMN＝∠MBN，
∴MN＝BN，
设B点坐标为（n，n），代入抛物线y＝x2，
得n＝n2，
∴n＝1，n＝0（舍去），
∴B（1，1）
∴MN＝BN＝1，
∴MB＝ ＝ ，
∴MA＝MB＝ ，
在Rt△AMB中，AB＝ ＝2，
∴抛物线y＝x2的“完美三角形”的斜边AB＝2；②相等
（2）解：∵抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的形状相同，
∴抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”全等，
∵抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4，
∴抛物线y＝ax2的“完美三角形”斜边的长为4，
∴B点坐标为（2，2）或（2，﹣2），
把点B代入y＝ax2中，
∴ .
故a＝ 或﹣ ；
（3）解：∵y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，
∴ ，
∴mn﹣4m﹣1＝0，
∵抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，
∴抛物线y＝mx2的“完美三角形”斜边长为n，
∴B点坐标为 ，
∴代入抛物线y＝mx2，得 ，
∴mn＝﹣2或n＝0（不合题意舍去），
∴ ，
∴ .
故m＝﹣ ，n＝ .
6．【答案】（1）2
（2）4或 或
（3）解：将抛物线的表达式y=x2与直线方程y=x＋2联立并解得：x= 1或2，
即：点R、S的坐标分别为（ 1，1）、（2，4），则RS＝3 ，
则RS边上的高为： ×3 = ，
则点Q在于RS平行的上下两条直线上，如下图，
设直线RS与y轴交于点N，则N（0，2），过点N作NQ⊥TQ于点Q，则NQ= ，则NT= ＝3，
∴点T（0，5），
则点Q所在的直线方程为：y＝x＋5，
同理：当点Q所在的直线在直线RS的下方时，y＝x 1，
∴点Q所在的直线方程为：y＝x＋5或y＝x 1；
如图4，当点P介于点R与点S之间时，
设与RS平行且与抛物线只有一个交点 的直线方程为：y＝x＋d，
将该方程与抛物线方程联立并整理得：x2 x d＝0，
∴△＝1＋4d＝0，解得：d＝ ，
此时，x2 x＋ ＝0，解得：x＝ ，
∴点 （ ， ），此时，P（ ）Q取得最小值．
7．【答案】（1）3；
（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
（3）解：①4；② 由（3）①可得， ∵，∴，∴， ∴．
8．【答案】（1）解：① ；②由题意，得： ， ，
设 ， 两点的纵坐标分别为了 ，
， ，且
当 时，有 ，
解得： ，
当 时，有 ，解得： ，
当 时，
当 时，
③由题意知：当 时， 点的纵坐标比 点的纵坐标大4，
当 时， 点的纵坐标比 点的纵坐标小 ， ， 两点的坐标分别为 ，
当 时， ，
解得： ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，解得： ，
点 的坐标为
综上所述，点 的坐标为 或
（2）解：当 时， ，
当 时， ，
当 ，且 时， .
9．【答案】（1）解：∵点A(4，0)，点C(0，2)，
∴OA=4，OC=2，
∵∠AOC=90°，
∴tan∠CAO=，
∵△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处，
∴△DEF≌△AEF，
∴∠FDE=∠FAE，
∵∠CDF=90°，
∴∠FDE+∠CDO=90°，
∵∠COD=90°，
∴∠OCD+∠CDO=90°，
∴∠FDE=∠OCD，
∴∠FDE=∠OCD=∠FAE，
∴tan∠OCD=tan∠FAE=，
在Rt△OCD中，，
∴OD=，
∴D(1，0)．
（2）解：①过点M作MN⊥x轴，如图所示：
∵∠MNB=90°，
∴∠MBN+∠BMN=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∴∠BMN=∠CAB，
在RtΔBMN中，tan∠BMN=tan∠CAB，
∴MN=2BN，
在RtΔDMN中，tan∠MDN=tan∠CAB，
∴DN=2MN=4BN，
∴BD=DN﹣BN=3BN，
∵∠ACB=∠AOC=90°，
∴∠BCO+∠ACO=∠ACO+∠CAB=90°，
∴∠BCO=∠CAB，
在RtΔBOC中，tan∠BCO，
∴OB=OC=1，
∴AB=5，
∴△DEF≌ΔAEF，
∴AE=DE=2t，
∴BD=AD﹣AB=4t﹣5，
∴4t﹣5=3BN，
∴BN，MN=2BN，
∴M，
要使重叠部分为四边形，则，
即，
解得，
∵点E在线段AO上，
，
即，
解得：，
∴的取值范围是；
②
10．【答案】（1）等腰；2
（2）解： 存在.
如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形.
当OA＝OB时，平行四边形ABCD是矩形， 又∵AO＝AB，∴△OAB为等边三角形.∴∠AOB＝60°， 作AE⊥OB，垂足为E，∴AE＝ OE.
∴ (b′＞0).∴b′＝2 .
∴A( ，3)，B(2 ，0).
∴C(－ ，－3)，D(－2 ，0).
设过点O、C、D的抛物线为y＝mx2＋nx，
则解得
故所求抛物线的表达式为y＝x2＋2 x.
（3）抛物线与直线y＝3交点的横坐标均为整数时m＝2或m＝0
11．【答案】（1）解：抛物线 的各系数为： ， ， ，
∴对称轴 ，即该抛物线是关于 轴对称，则点A、B关于y轴对称，
∴ ，即△ABC是等腰三角形，
∴抛物线 为“理想抛物线”
（2）解：①∵满足当 时，PB与AQ的交点始终在抛物线的对称轴上，A、B是对称点，
故PB与AQ是关于抛物线的对称轴的对称，即P与Q是关于抛物线的对称轴对称，如图：
∴抛物线对称轴
∵点B（3，0），
∴点A坐标为（-2，0），
又∵线段AC的垂直平分线恰好经过点B，
∴AB=CB=5，
∴
又∵a>0，抛物线与x轴交点在y轴两侧，
∴点C坐标为（0，-4），
设抛物线交点解析式为 ，
∴ ，解得： ，
所以此时抛物线的解析式为 ；
②依题意得得点C坐标为（0，c）， 设点A坐标为 ，
∵点A在点B左侧
∴ ，
∵ ， ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，△ABC是等腰三角形有两种情况，AB=CB或AB=AC，
I.当 时，此时 ， ，如图：
∴ ，
∴ ，
∴此时整数c为 ， 、 、 ，
II.当 时，如图：此时 ， ，
，
∴ ， ，
∴ ，
即： ，
又因为此时 ， ，即：
∴此时整数c为1、2，
综上所述：满足条件的整数c的值为±1，±2、-3、-4.
12．【答案】（1）解：抛物线y=﹣0.5x2+3.5x+4中：令x=0，y=4，则 B（0，4）；
令y=0，0=﹣0.5x2+3.5x+4，解得 x1=﹣1、x2=8，则 A（8，0）；∴A（8，0）、B（0，4）.
（2）解：如图，Q是l与AB的交点，
△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，
∴C（0，﹣4）.
由A（8，0）、B（0，4），得：直线AB：y=﹣0.5x+4；
依题意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；
∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；
S=S△ABC+S△PAB=0.5×8×8+0.5×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；
∴当t=2时，S有最大值，且最大值为64.
（3）解：
∵PM∥y轴，∴∠AMP=∠ACO＜90°；
而∠APM是锐角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°；
由A（8，0）、C（0，﹣4），得：直线AC：y=0.5x﹣4；
所以，直线AP可设为：y=﹣2x+h，代入A（8，0），得：﹣16+h=0，h=16
∴直线AP：y=﹣2x+16，联立抛物线的解析式，∴存在符合条件的点P，且坐标为（3，10）.
13．【答案】（1）证明：∠BAC＝90°，点D是BC的中点
∴AD＝BD＝CD＝ BC
∵抛物线以A为顶点与x轴交于D、C两点
∴AD＝AC
∴AD＝AC＝CD
∴△ACD是等边三角形
∴以A为顶点与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线
（2）解：∵E（1，0）且EF＝2，点F在x轴上且E在F的左边
∴F（3，0）
∵一条经过x轴的两点E、F的抛物线为正抛物线，设顶点为G
∴△EFG是等边三角形
∴xG＝
①当G（2， ）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+
把点E（1，0）代入得：a+ ＝0
∴a＝﹣
∴y＝﹣ （x﹣2）2+
②当G（2，﹣ ）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣
把点E（1，0）代入得：a﹣ ＝0
∴a＝
∴y＝ （x﹣2）2﹣
综上所述，这条抛物线的解析式为y＝﹣ （x﹣2）2+ 或y＝ （x﹣2）2﹣
应用拓展：
（3）解：∵抛物线y1＝﹣x2+2 x+9＝﹣（x﹣ ）2+12
∴y1向下平移9个单位后得抛物线y2＝﹣（x﹣ ）2+3
∴P（ ，3），M（0，0），N（2 ，0）
∴PM＝MN＝PN＝2
∴△PMN是等边三角形
∴第一次翻滚顶点P的坐标变为P1（4 ，0），第二次翻滚得P2与P1相同，第三次翻滚得P3（7 ，3）
即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n能被3整除时，点P纵坐标为3，横坐标为： +n×2 ＝（2n+1）
∵2019÷3＝673
∴（2×2019+1）× ＝4039
∴当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为（4039 ，3）.
14．【答案】（1）①AM⊥BN；AM＝BN
②当点M在线段AB的延长线上时，AM与BN位置关系是AM⊥BN，数量关系是AM＝BN.
理由如下：如图，
∵△ABC，△CMN为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠MCN＝90°，AC＝BC，CM＝CN，∠CAB＝∠CBA＝45°
∴∠ACM＝∠BCN，且AC＝BC，CM＝CN，
∴△ACM≌△BCN（SAS）
∴∠CAM＝∠CBN＝45°，AM＝BN.
∵∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠ABN＝45°+45°＝90°，即AM⊥BN
（2）2；1
15．【答案】（1）解：∵OB=1，点B在y轴的正半轴上，
∴B（0，1），
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴OA=OB=1，
∵顶点A在x轴负半轴上，
∴顶点A（-1，0），
∴设y=a(x+1)2,
把B（0，1）代入得
1=a×(0+1)2,
∴a=1,
∴
（2）解：当A为直角顶点时，AC⊥AB，
设直线AB解析式为y=mx+n，
∵B（0，1），A（-1，0），
∴ ,
∴ ,
∴直线AB解析式为y=x+1，
∵AC⊥AB，
∴直线AC解析式为y=-x-1，
联立得 ,
解得： ， ,
∴C（-2，1）.
当B为直角顶点时，BC⊥AB，
∵直线AB解析式为y=x+1，
∴直线BC解析式为y=-x+1，
同理可得C（-3，4），
当C为直角顶点不存在 .
综上所述点C坐标为（-2，1）或（-3，4）
（3）解：设DE的解析式为 ，
联立 ，
∴ ，
得： ，
∵D，E关于对称轴对称，
所以 ，
设EF的解析式为 联立，
，
得 ，
，
联立①②③④得n=m+4，
所以 ，过定点（-1，4），
即直线EF经过一个定点，定点的坐标为（-1，4）
16．【答案】（1）解：①过点B作BN⊥x轴于N，由题意可知△AMB为等腰直角三角形，AB∥x轴， 易证MN=BN，设B点坐标为（n，-n），代入抛物线 ，得 ， ∴ ， （舍去），∴抛物线 的“完美三角形”的斜边 ②相等；
（2）解：∵抛物线 与抛物线 的形状相同，
∴抛物线 与抛物线 的“完美三角形”全等，
∵抛物线 的“完美三角形”斜边的长为4，∴抛物线 的“完美三角形”斜边的长为4，
∴B点坐标为（2，2）或（2，-2），∴
（3）解：∵ 的最大值为-1，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线 的“完美三角形”斜边长为n，
∴抛物线 的“完美三角形”斜边长为n，
∴B点坐标为 ，
∴代入抛物线 ，得 ，
∴ （不合题意舍去），
∴ ，
∴
17．【答案】（1）解：将 代入 ，得 解得 ，
，
∵抛物线 经过点 和 ，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式是 ；
（2）解：设点D坐标为 ，则点M坐标为 ，
则 ，
∵ 平移得到 ,
∴DF=EF=4，
∵ ，
∴MF=3.
如图3，当M位于EF上方时，MD=DF+MF=7，
∴ ，
解得 （不合题意，舍去）；
如图4，当M位于EF下方时，MD=DF-MF=1
∴ ，
解得 （不合题意，舍去）；
∴m= 或 ，
∵ ，
∴t= 或 ；
（3）解：连接 ，过点 作 交 于 ，交 于 ，
将 代入 ，解得 ，
，
，
，
，
.
由平移可知 ，
∴四边形 是平行四边形，
，
，
，
.
，
，
，
，
，
由题意点 横坐标是点 的横坐标的 ，
，
.
，
，
，
，
，
解得： （不合题意，舍去），
.
18．【答案】（1）；（-2， ）；（1,0）
（2）解：如图1，过A作AD⊥y轴于点D，
在 中，令y=0可求得x= -3或x=1，
∴C（-3,0），且A（-2， ），
∴AC=
由翻折的性质可知AN=AC= ，
∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，
∴N在y轴上，且AD=2，
在Rt△AND中，由勾股定理可得
DN= ，
∵OD= ，
∴ON= 或ON= ，
∴N点的坐标为（0， ），（0， ）
（3）解：①当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，
则有AC∥EF且AC=EF，
∴∠ ACK=∠ EFH，
在△ ACK和△ EFH中
∴△ ACK≌△ EFH，
∴FH=CK=1，HE=AK= ，
∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴ F点的横坐标为0或-2，
∵点F在直线AB上，
∴当F点的横坐标为0时，则F（0， ），此时点E在直线AB下方，
∴E到y轴的距离为EH-OF= - = ，即E的纵坐标为- ，
∴ E（-1，- ）；
当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；
②当AC为平行四边形的对角线时，
∵ C（-3,0），且A（-2， ），
∴线段AC的中点坐标为（-2.5， ），
设E（-1，t），F（x，y），
则x-1=2×（-2.5），y+t= ，
∴x= -4，y= -t，
-t=- ×（-4）+ ，解得t= ，
∴E（-1， ），F（-4， ）；
综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，- ）、（0， ）或E（-1， ），F（-4， ）
