第二十一章 一元二次方程 寒假复习综合卷 人教版九年级数学上册
一、选择题
1．如果关于x的方程(m-3) -x+3=0是一元二次方程，那么m的值为：（ ）
A．±3 B．3 C．-3 D．都不是
2．已知x=2是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A．﹣12 B．﹣4 C．4 D．12
3．已知关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m<-1 B．m>1 C．m<1且m≠0 D．m>-1且m≠0
4．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（ ）
A．x2+3x+4=0 B．x2﹣4x+3=0 C．x2+4x﹣3=0 D．x2+3x﹣4=0
5．用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1=0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）
A．8 B．7 C．8或7 D．9或8
7．把一块长80mm、宽60mm的铁皮的4个角分别剪去一个边长相等的小正方形，做成一个底面积是1500mm2的无盖铁盒．若设小正方形的边长为x mm，下面所列的方程中，正确的是（ ）
A．（80﹣x）（60﹣x）=1500 B．（80﹣2x）（60﹣2x）=1500
C．（80﹣2x）（60﹣x）=1500 D．（80﹣x）（60﹣2x）=1500
8．为满足消费者需要，红星厂一月份生产手提电脑200台，计划二、三月份共生产2500台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．200（1+x）2=2500
B．200（1+x）+200（1+x）2=2500
C．200（1﹣x）2=2500
D．200+200（1+x）+2000（1+x）2=250
二、填空题
9．已知 是关于x的方程 的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为 ．
10．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有实数根，则k的取值范围是 ．
11．设x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
12．某一计算机的程序是：对于输入的每一个数，先计算这个数的平方的6倍，再减去这个数的4倍，再加上1，若一个数无论经过多少次这样的运算，其运算结果与输入的数相同，则称这个数是这种运算程序的不变数，这个运算程序的不变数是 ．
13．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是 ．
三、计算题
14．根据要求解下列方程：
（1） （公式法）；
（2） （配方法）．
四、解答题
15．已知关于 的一元二次方程
求证:不论 为何值，该方程总有两个实数根；
16．自由下落物体的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为h＝4.9t2，现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要多少秒？
17．已知a、b、c为三角形三个边， +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程吗？
18．如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？
19．一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数.
20．如图，等边三角形ABC的边长为6cm，点P自点B出发，以1cm/s的速度向终点C运动；点Q自点C出发，以1cm/s的速度向终点A运动．若P，Q两点分别同时从B，C两点出发，问经过多少时间△PCQ的面积是2 cm2？
21．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场经调查发现，如果每件衬衫降价0.5元，商场平均每天可多售出1件，若商场平均每天想盈利1200元，是否可能，若可能则每件衬衫应降价多少元？
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程(m-3) -x+3=0是一元二次方程，
∴，
∴m=-3.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义得出，求出m的值，即可得出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：把x=2代入x2﹣4x+c=0得4﹣8+c=0，
解得c=4．
故选C．
【分析】根据一元二次方程的解，把x=2代入x2﹣4x+c=0可求出c的值．
3．【答案】D
【解析】【解答】根据题目2个条件，一个是二次方程，限定 ，另一个为两个不等的实数根，则要求 >0，即 >0，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式可知：当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。由一元二次方程的定义可知a≠0.于是把a、b、c的值代入不等式计算即可求解。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 的两根分别为
故答案为：B
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=3+1= p ， x1·x2=3×1=q ，从而得出答案。
5．【答案】A
【解析】【解答】移项得：
方程两边都加上 得：
所以：
故答案为：A.
【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、把常数项移到方程的右边；2、把二次项系数化为1；3、在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，4、将方程化成（x-m）2=n的形式，就可得出答案。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，
∴a=b，或a、b中有一个数为4．
当a=b时，有b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4（n+1）=0，
解得：n=8；
当a、b中有一个数为4时，有42﹣6×4+n+1=0，
解得：n=7，
故选C．
【分析】由等腰三角形的性质可知“a=b，或a、b中有一个数为4”，当a=b时，由根的判别式b2﹣4ac=0即可得出关于k的一元一次方程，解方程可求出此时n的值；a、b中有一个数为4时，将x=4代入到原方程可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出此时的n值，结合三角形的三边关系即可得出结论．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）=1500
故选：B．
【分析】设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x）cm，宽是（60﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出．
8．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得，
200（1+x）+200（1+x）2=2500，
故选B．
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
9．【答案】14
【解析】【解答】∵2是关于x的方程x2–2mx+3m=0的一个根，∴把x=2代入方程整理得：4–4m+3m=0，∴解得m=4，∴原方程为：x2–8x+12=0，∴方程的两个根分别是2，6，
又∵等腰△ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，∴若2是等腰△ABC的腰长，则2+2=4<6构不成三角形，∴等腰△ABC的腰长为6，底边长为2，∴△ABC的周长为：6+6+2=14，故答案为：14
【分析】根据方程根的概念，将x=2代入原方程，求出m的值，将m的值代入原方程，求解得出方程的两个根，然后分2是等腰△ABC的腰长，4是等腰三角形底边，与4是等腰△ABC的腰长，2是等腰三角形底边，两种情况根据三角形三边的关系作出判断能否围成三角形，能的再利用三角形周长计算方法算出答案。
10．【答案】k≤ 且k≠0
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有实数根，
∴ ，
解得：k≤ 且k≠0．
故答案为：k≤ 且k≠0．
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
11．【答案】3；－1
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，
∴ .
故答案为：3，-1.
【分析】若x1、x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则x1+x2=
，x1x2=
，据此解答.
12．【答案】 和
【解析】【解答】解：设这个输入的数为x，
根据题意可得6x2﹣4x+1=x，
即6x2﹣5x+1=0，
∴（2x﹣1）（3x﹣1）=0，
则2x﹣1=0或3x﹣1=0，
解得：x= 或x= ，
故答案为： 和
【分析】设这个输入的数为x，由题意可列方程6x2﹣4x+1=x，解方程即可求解。
13．【答案】81
【解析】【解答】解：设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，
依题意，得（x+7+x）2=10（x+7）+x，
整理得：4x2+17x-21=0，
解得：x1=1，x2=- （舍去），
所以，x=1，x+7=8．
故这个两位数是81
【分析】设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，这个两位数表示为：10（x+7）+x，根据十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，即可列出方程，求解并检验即可得出答案。
14．【答案】（1）解： ，
整理，得 ，
， ， ，
，
， ；
（2）解： ，
， ，
，
，
， ；
【解析】【分析】（1）利用公式法求解一元二次方程即可；
（2）利用配方法求解一元二次方程即可。
15．【答案】证明：∵
；
∴不论 为何值，该方程总有两个实数根.
【解析】【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当根的判别式△=b2-4ac≥0时，方程总有实数根，据此进行解答即可.
16．【答案】解：当h＝19.6时，4.9t2＝19.6，
解得t1＝2，t2＝－2(不合题意，舍去)，
∴t＝2，
答：铁球到达地面需要2秒
【解析】【分析】将h的值代入方程，再利用直接开平方法解关于t的方程，求解即可。
17．【答案】解：化简 +bx（x-1）= -2b，得（a+b-c） -bx+2b=0，∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，即a+b-c＞0，∴ +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程
【解析】【分析】先将已知方程化成一般形式，再根据a、b、c为三角形的三条边，利用三角形三边关系定理判断二次项系数a+b-c＞0，就可得出此方程是关于x的一元二次方程。
18．【答案】（1）解：∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x，
∴AB=-2x+44
（2）解：由题意得，（-2x+44） x=192，
即2x2-44x+192=0，
解得x1=6，x2=16，
∵x2=16＞ （舍去），
∴AD=6，
∴AB=-2×6+44=32．
答：AD长为6米，AB长为32米．
【解析】【分析】（1）栅栏的长度为40，根据题意AD为x，BC为x-2，根据三条边的和为40，即可表示AB的长度。
（2）已知AD和AB的代数式，根据矩形的面积公式，计算式子，即可得到x的值，根据题目规定的AB＞AD，选择合适的x的值即可，即可求出矩形的长和宽。
19．【答案】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+2)，
根据题意，得 (10x+x+2)2=10(x+2)+x+138.
解得x1=- (舍去)，x2=1.
答：原来的两位数为31
【解析】【分析】设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+2)，原数表示为：10(x+2)+x，新数表示为：10x+x+2；根据新数的平方比原来的两位数大138列出方程，求解并检验即可。
20．【答案】解：设经过xs△PCQ的面积是2 cm2，由题意得
（6﹣x）× x=2
解得：x1=2，x2=4，
答：经过2s或4s△PCQ的面积是2 cm2．
【解析】【分析】设经过xs△PCQ的面积是2cm2，由三角形的面积=底高=CPCP边上的高=2；列方程即可求解。
21．【答案】解：∵100×30=3000＜3150，
∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．
设共有x名同学参加了研学游活动，由题意得：
x[100﹣2（x﹣30）]=3150，
解得x1=35，x2=45，
当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意；
当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．
答：共有35名同学参加了研学游活动
【解析】【分析】根据题意先判断出参加的人数在30人以上，设共有x名同学参加了研学游活动，再根据等量关系：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，列出方程，然后求解即可得出答案．
22．【答案】解：设每件衬衫应降价x元，根据题意得出：
（20+2x）（40﹣x）=1200
解得：x=10或x=20，
∵扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，
∴x取20．
答：每件衬衫降价20元
【解析】【分析】由于每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，所以降价x元后每天可以售出：20+2x，此时每件盈利：40﹣x元，每天盈利：（20+2x）（40﹣x）=1200（元），即可得出答案．
