2023—2024学年度第一学期期末检测
九年级数学试题
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点在上，若，则的度数为（ ）
3题图
A． B． C． D．
4．某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2、3月的总营业额为1000万元，设每月营业额的平均增长率为，由题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．潼南明天会下雪
B．任意画一个平行四边形，其对角线互相平分
C．经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
D．抛掷一枚质地均匀的骰子，7点向上
6．已知关于的一元二次方程的一个根是，则该方程两个根的和等于（ ）
A． B． C．3 D．10
7．关于二次函数的图象及性质，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．图象与轴交于点
C．函数的最小值为 D．当时，的值随值的增大而减小
8．如图，矩形的边，平分，交于点，若点是的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
8题图
A． B． C． D．
9．现有7张正面分别标有数字，，，0，1，2，3的相同卡片，将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，使以为自变量的函数的顶点落在第二象限的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…如此进行下去，直至得．若在上，则的值为（ ）
10题图
A． B．3 C．5 D．12
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______．
12．关于的一元二次方程的两根是，则抛物线的对称轴是______．
13．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的10个红球，5个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中绿球有______个．
14．如图，是的直径，，过点作的切线交的延长线于点，则等于______．
14题图
15．如图，一个正六边形内接于，且的半径为1，该正六边形的面积为______．
15题图
16．如图，在中，，，，以点为旋转中心，把顺时针旋转得，则的面积为______．
16题图
17．方程是关于的一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，原方程可变为，先求解，再求解．在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想，请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题：若，则______．
18．如图，抛物线与轴交于点，点在抛物线上，是抛物线对称轴上任意一点，分别是的中点，连接，则的最小值为______．
18题图
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，第20题—第26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．解下列方程：
（1）； （2）．
20．如图，的顶点坐标分别为，，，（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出关于原点对称的；
（2）画出绕点逆时针方向旋转后得到的，并直接写出点的坐标．
20题图
21．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）若方程的一个根是2，求的值；
（2）求的取值范围．
22．2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员在中国空间站再次进行太空授课，生动地演示了微重力环境下的四个实验现象（A．太空冰雪实验；B．液桥演示实验；C．水油分离实验；D．太空抛物实验），神奇的太空实验堪称宇宙级精彩！为加深同学们的印象，某校团委组织了太空实验原理讲述的活动．
（1）小宇从四个试验中任意选取两个进行实验原理讲述，请写出他所有可能的选法（四个实验现象用字母表示即可）；
（2）若小东和小南两人各从四个实验中随机选取一个实验进行原理讲述，请你用列表或树状图的方法，求他们恰好选到同一实验的概率．
23．如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，若一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点．
（1）分别求出一次函数与二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足的的取值范围．
23题图
24．如图，是的直径，弦于点，点在上，弦与交于点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
24题图
25．“潼南柠檬”获评国家地理标志商标，被认定为全国名特优新农产品，柠檬即食片是其加工产品中非常受欢迎的一款零食．一家超市销售了净重500g一袋的柠檬即食片，进价为每袋10元．销售过程中发现，如果以单价14元销售，那么一个月内可售出200袋．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少20袋．根据物价部门规定，这种柠檬即食片的销售单价不得低于进价且不得高于18元．
（1）求每月销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）设超市每月销售柠檬即食片获得离利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）若超市想每月销售柠檬即食片所得利润稳定在900元，销售单价应定为多少元？
26．如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），直线与抛物线交于两点，其中点的横坐标为2．
（1）求两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）若点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值；
（3）若点是抛物线上的一个动点，在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．
26题图
2023—2024学年度第一学期期末检测
九年级数学试题 参考答案及评分意见
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B B B C D C B
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11． 12． 13．5 14．
15． 16． 17．2 18．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，第20题~第26题每小题10分，共78分）
19．（1），；
（2），．
【详解】（1）解：，配方，得，
即，根据平方根的意义，得，
解得，；
（2）解：，，
，解得，．
20．（1）
（2）
的坐标为，的坐标为
21．（1）
（2）且
【详解】（1）解：把代入得：
，解得，
（2）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，解得：且．
22．（1）共有6种等可能的结果数，它们是：．
（2）
【详解】（2）解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，所以他们两人恰好选修同一门课程的概率．
23．解：（1）∵抛物线经过点，
∴，∴，
∴抛物线解析式为，∴点坐标为，
∵抛物线的对称轴是直线，且关于对称轴对称，
∴点坐标为，
∵经过点，
∴，解得，∴一次函数解析式为．
（2）由图象可知，满足的的取值范围为．
24．
（1）证明：，∴，
∵，∴，∴．
（2）解：连接．
∵是直径，，∴为的中点，
∵，，∴，，
∴，∴．
25．（1）；
（2）当销售单价定为17元时，每月可获得最大利润；每月获得最大利润为980元．
（3）当销售单价定为15元时，每月获得利润可稳定在900元．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴每月销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式
（2）解：由题意，得：
，
∵且对称轴为，∴当时，最大为980
∴当销售单价定为17元时，每月获得最大利润为980元．
（3）解：由题意得：
整理得：，解得：或
∵，∴
∴当销售单价定为15元时，每月获得利润可稳定在900元．
26．（1），，
（2）
（3）存在，，，，
【详解】（1）解：令，解得或，
∴，，
将点的横坐标代入得，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的函数解析式是；
（2）设点的横坐标为，
则的坐标分别为：，，
∵点在点的下方，
∴，
∴当时，的最大值为；
（3）存在这样的点，
①如图，
连接点与抛物线和轴的交点，那么轴，此时，
∴点的坐标是；
②如图，
同①，则，∵点的坐标为，
∴点的坐标为；
③如图，
此时两点的纵坐标化为相反数，
∴点的纵坐标为，代入抛物线中即可得：点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点代入后可得出直线的解析式为，
令，则，
因此直线与轴的交点的坐标为；
④如图，
同③可求出的坐标为．
综上：存在这样的点，坐标为，，，．
