全市 2023~2024 学年度第一学期期末教学质量监测考试
高一 数学试题
特别提示：
1. 本卷为数学试题单，共22个题，共4页；
2. 考试采用闭卷形式、用笔在特制答题卡上答题，不能在本题单上作答；
3. 答题时请仔细阅读答题卡上的注意事项，并根据本题单的编号在答题卡上找到答题的对应位置，用规定的笔书写。
第Ⅰ 卷(选择题共60分)
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 已知集合A={-2,-1,0,1,2}, 则A∩B=
A. {0,1,2} B. {1,2} C. {-1,0} D. {0,1}
2.在直角坐标系xOy中，角α与角β均以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，则“α与β的终边相同”是“sinα=sinβ” 的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数 的最小正周期为
A. π 6 B. π/2 C. π D. 2π
4. 下列选项中满足在定义域上单调递增的函数为
5. 已知某扇形的圆心角是 π/ ，半径是3，则该扇形的面积是
A. 4π B. 6π C. 8π D. 12π
高一数学试题 第1页 共4页
6.为了能在规定时间T内完成预期的运输量 Q ，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量 Q与时间t的关系如下图(四个选项) 所示，其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是
7. 若不等式 恒成立，则实数m的最大值为
A. 2 B. 3 C. 4 D, 9
8. 设(a=log 2, b=log 3, c=log 4, 则
A. a
9. 下列运算正确的有
A. lg2+lg3=lg5
10. 已知实数a，b满足a>b>1，则下列不等式一定成立的是
11. 下列说法正确的是
A. 命题 的否定为“ x≤0, e -2x+1≠0”
B. 若幂函数y=f(x) 的图象过点(3, ), 则f(4)=2
与.y=x为同一函数
D. 函数.y=10 .与函数y=-lgx的图象关于直线y=x对称
12. 设函数 则下列结论正确的是
A. f(x)的一个零点为 B. y=f(x)的图象关于直线 对称
是周期函数 D. 方程f(x)=-lgx有 3 个解
高一数学试题 第2页 共4页
第 II 卷(非选择题 共90分)
三、填空题：本题共4 小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数。f(x)=(1+x)(a-x)是偶函数, 则a= .
14. 已知函数.f(x)=log。(2x-1)-2图象恒过定点p, 在直角坐标系xOy中, 角θ以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，角θ的终边也过点p，则sinθ的值是 .
15. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为： 当 时(其中m，n为整数， 为既约真分数)，若f(x) 当x=0或1或区间(0，1)上的无理数时.
是定义在 R 上且最小正周期为 1 的函数，当x∈[0，1]时， 则
16. 已知函数.f(x)=|log x-1|-k(k∈R).若k=0, 则f(x)的零点为 ; 若函数f(x)有两个零点. 则 的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本题满分 10分)
已知 求下列各式的值.
18. (本题满分 12分)
已知集合
(1) 若a=2, 求A∪B;
(2) 若存在实数a, 使得“x∈A”是“x∈B”成立的 , 求实数a的取值范围 从“①充分不必要条件”和“②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答. 若两个都选，则按第一个作答进行给分.
高一数学试题 第3页 共4页
19. (本题满分 12分)
已知函数 的最小正周期为π/2.
(1) 求函数f(x)的单调递减区间；
(2) 若a>0, 且函数g(x)=af(x)+b在区间[0,π/4]上的值域为[0,3], 求实数a, b的值.
20. (本题满分 12分)
已知函数 且a≠1) , 且
(1) 求函数f(x)的定义域;
(2) 判断并用定义法证明函数f(x)的单调性；
(3) 求关于x的不等式f(x-2)
人类已经进入大数据时代. 目前，数据量已经从 TB(1TB=1024GB)级别跃升到 PB(1PB=1024TB),EB(1EB=1024PB)乃至 ZB(1ZB=1024EB)级别. 国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示：
年份 2008 2009 2010 2011 ·· 2020
数据量(ZB) 0.49 0.8 1.2 1.82 80
(1)设2008年为第一年，为较好地描述2008 年起第x年全球生产的数据量y(单位：ZB)与 x 的关系，根据上述信息，试从. )且b≠1), y=ax+b(a>0),y=a·logbx(a>0,b>0且b≠1)三种函数模型中选择一个,应该选哪一个更合适 (不用说明理由) ；
(2) 根据(1) 中所选的函数模型，若选取2009 年和 2020 年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的 100倍
22. (本题满分 12分)
函数f(x)和g(x)具有如下性质: ①定义域均为 R; ②f(x)为奇函数, g(x)为偶函数; (常数e是自然对数的底数) .
(1) 求函数f(x)和g(x)的解析式;
(2)对任意实数x, 是否为定值，若是请求出该定值，若不是请说明理由；
(3) 若不等式22f(x)-m·g(2x)≥0对 x∈[ln2,ln3]恒成立, 求实数m的取值范围.
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高一数学参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C B B D A
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题满分 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
题号 9 10 11 12
答案 CD ACD BD BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
1 2 513． 14．
5
1
15． 16．6；60（注：第一空 2 分，第二空 3 分）
2023
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本题满分 10 分）
sin ( cos ) sin 3
解析：（1）原式 tan .……………………………（5
cos ( sin ) ( cos ) 2
分）
2sin 2 3cos2
（2）原式 2 2 1………………………………………………………（7 分）sin cos
2 tan 2 3
2 1
19
.……………………………………………………（10 分）
tan 1 13
18. （本题满分 12 分）
1 x 2 1 x 2 4
解析：（1）当a 2时， A {x | 2 16} {x | 2 2 2 } (1 , 6)，…………
2
（2 分）
B {x | (x 2)(x 5) 0} [ 2 , 5]，……………………………………………（4 分）
所以 A B (1 , 6) [ 2 , 5] [ 2 , 6)．…………………………………………（6分）
第 1 页 共 4 页
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（2）选①：由“ x A”是“ x B”成立的充分不必要条件，
可得 A是 B的真子集．………………………………………………………………（7 分）
1
又 A {x | 2x a 16} (a 1 , a 4)，…………………………………………（8 分）
2
a 1 2 ,
所以 ……………………………………………………………………（10 分）
a 4 5 ,
解得 1 a 1．
所以实数 a的取值范围是[ 1 ,1]．………………………………………………（12 分）
选②：由“ x A”是“ x B”成立的必要不充分条件，
可得 B是 A的真子集．………………………………………………………………（7 分）
又 A 1 {x | 2x a 16} (a 1 , a 4)，…………………………………………（8 分）
2
a 1 2 ,
所以 ……………………………………………………………………（10 分）
a 4 5 ,
解集为空集．
所以不存在实数 a，使得“ x A”是“ x B”成立的必要不充分条件．……（12 分）
19. （本题满分 12 分）
π 2π
解析：（1）因为 f (x)的最小正周期为 ， 0，所以
2 π
4，
2
f (x) sin(4x π所以 ) .……………………………………………………………（2 分）
6
π π 3π
令 2kπ 4x 2kπ (k Z)，…………………………………………（4 分）
2 6 2
π 1 π π 1
解得 kπ 4x kπ (k Z)，
12 2 6 3 2
π 1 π 1
故 f (x)的单调递减区间为 ( kπ , kπ) (k Z) .………………………（6 分）
12 2 3 2
（注：该单调递减区间写成开区间、闭区间、半开半闭区间均可.）
（2）因为 x [0 , π ] 4x π，所以 [ π , 7π]，从而 f (x) [ 1 ,1]，……………（9 分）
4 6 6 6 2
又 a 0 1，所以 g(x) [ a b , a b]，
2
1
a b 0 , a 2 ,
由题意，得 2 解得 …………………………………………（12 分）
a b 3 , b 1.
20. （本题满分 12 分）
2
解析：（1）由 f (2) loga (a 1) loga 3，解得 a 2，…………………………………（1
分）
第 2 页 共 4 页
{#{QQABYQiUoggIAAIAAAhCAwEICkGQkBCCAIoGgEAEIAAACQFABAA=}#}
所以 f (x) log (2x 1) x2 ，因此 2 1 0，解得 x 0，
故函数 f (x)的定义域为 (0 , ) .…………………………………………………（4分）
x
（2） f (x) log2 (2 1)在定义域 (0 , )上单调递增.……………………………（5 分）
证明如下：任取 x1 , x2 (0 , )，不妨设 x1 x2，则
x1
f (x x 2 111) f (x2 ) log2 (2 1) log (2
x2
2 1) log2 ，2x2 1
因为 x1 x2 0，所以 2
x1 2x2 1 2x x，从而 1 1 2 2 1 0，
2x1 1 x1
因此 1 log 2 1，于是
2x2 1 2 x
0，所以 f (x1) f (x2 ) 0，2 2 1
故 f (x)在 (0 , )上的单调递增.…………………………………………………（8分）
（3）由（2）可知 f (x)是定义在 (0 , )上的增函数，
由 f (x 2) f (4)，得 0 x 2 4，
解得 2 x 6，
故不等式 f (x 2) f (4)的解集是 (2 , 6) .………………………………………（12 分）
21. （本题满分 12 分）
解析：（1）选择 y a b x (a 0 , b 0且b 1)更合适.……………………………………（4
分）
ab2 0.8 ,
（2）依题意，得 ……………………………………………………………（6分）
ab
13 80 ,
2
a 0.8 100 11 ,
解得 ………………………………………………………………（8 分）1
b 10011 ,
x 2
所以 y 0.8 100 11 .
x 2
设在第 n年，全球生产的数据量将达到 2020年的100倍，且记 f (x) 0.8 100 11 .
f (n)
则 100 ,………………………………………………………………………（10分）
f (13)
n 2
0.8 100 11 n 2 2
即 100，所以100 11 100 ，解得 n 24 ,
80
所以到第 24年即 2031年，全球生产的数据量将达到 2020年的100倍.………（12 分）
22. （本题满分 12 分）
解析：（1）由性质③知 f (x) g(x) e x f ( x) g( x) e x，所以 ，
由性质②知， f ( x) f (x)， g( x) g(x)，所以 f (x) g(x) e x，
f (x) g(x) e x ,
即 ……………………………………………………………（3分） x
f (x) g(x) e ,
第 3 页 共 4 页
{#{QQABYQiUoggIAAIAAAhCAwEICkGQkBCCAIoGgEAEIAAACQFABAA=}#}
e x e x e x e x
解得 f (x) ，g(x) ．…………………………………………（4 分）
2 2
（2）[g(x)]2 [ f (x)]2为定值1．…………………………………………………………（5 分）
证明如下：
x 2 2
[g(x)]2 [ f (x)]2 e e
x e x e
x
由（1）可得 2
2
e2x e 2x 2 e2x e 2x 2
1．………………………………………………（8 分）
4 4
e2x e 2x 2 f (x)
（3）因为 g(2x) 0，所以2 f (x) m g(2x) 0 m ，
2 g(2x)
2 f (x) 2(e x e x ) 2(e x e x )
而 ， x [ln 2 , ln3],
g(2x) e2x e 2x (ex e x )2 2
t e x e x t e x e x 3 8令 ，易知 在[ln 2 , ln3]上单调递增，所以 t [ , ]，
2 3
记 h(t) 2t t [3 8 2 ， , ]，则 h(t)
2
，
t 2 2 3 t 2
t
h(t) [3 , 8] h(t) h(3) 12因为 在 上单调递增，所以 ，
2 3 min 2 17
因此m h(t) 12min ，17
故实数m 12的取值范围是 ( , ]．………………………………………………（12 分）
17
第 4 页 共 4 页
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