四川省成都市蒲江县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．我国航天事业取得了跨越式发展，下列航天图标属于中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，弦，相交于点P，连接，．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的顶点坐标是( )．
A． B． C． D．
5．如图，把绕着点A顺时针方向旋转，得到，点C刚好落在边上．则（ ）
A． B． C． D．
6．将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数 （a，k，h均为常数）的图象与x轴的交点的横坐标分别为和5，则关于x的一元二次方程的两个实数根分别是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，M为弦上一点，且，连接，过M作交于点N，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．
9．如图，矩形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图像恰好经过顶点B，的延长线交y于点E，已知的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
10．小明在研究抛物线（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．无论x取何实数，y的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线上
C．当时，y随x的增大而增大，则
D．该抛物线上有两点，，若，，则
二、填空题
11．已知是关于x的一元二次方程，则m= ．
12．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm的半圆，则这个圆锥的底面半径长是
13．如图，在中，，．若，则的值为 ．
14．如图，点在反比例函数的图象上，且垂直于x轴，垂足为点B，则 .
15．已知二次函数图像如图所示，则下列正确的是 ．
①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．
三、解答题
16．解下列一元二次方程．
(1)；
(2)．
17．如图，是斜靠在墙上的长梯，与底面的夹角为，当梯顶A下滑到时，梯脚B滑到处，与地面的夹角为．若，求的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，三顶点坐标分别为，，．
(1)在平面直角坐标系内画出；
(2)以点为位似中心，在点的下方画出，使与相似比为；
(3)直接写出点，坐标．
19．已知抛物线的顶点坐标为（－1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式．
20．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
21．新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为20元，经市场调研，销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋．
(1)直接写出：①每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式______；
②每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式______．
(2)小王希望每天获利1760元，则销售单价应定为多少元？
(3)若每袋口罩的利润不低于15元，则小王每天能否获得2000元的总利润，若能，求出销售定价；否则，说明理由．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）该抛物线的解析式为 ；
（2）直线y＝kx+l（k＞0）与y轴交于点D，与直线BC交于点M，与抛物线上直线BC上方部分交于点P，设m＝，求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）若点D、P为（2）中求出的点，点Q为x轴的一个动点，点N为坐标平面内一点，当以点P、D、Q、N为顶点的四边形为矩形时，直接写出点N的坐标．
23．如图1，中，，点分别在边上，，将绕点A逆时针旋转，直线相交于点P．
(1)若，将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)若，将绕点A逆时针旋转．
①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图3所示的情况加以证明；否则，请写出正确结论，并说明理由．
②若，E是的中点，当以为顶点的四边形是矩形时，请直接写出的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A. ，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
2．D
【分析】根据中心对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】解：选项A、B、C中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
．
3．A
【分析】根据圆周角定理即可得到的度数．
【详解】解：∵，、所对弧都是，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．掌握圆周角定理是解题的关键．
4．A
【分析】根据抛物线顶点式的顶点坐标为可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．D
【分析】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识，根据题意得出是解题关键．
【详解】解：∵把绕着点A顺时针方向旋转，得到，
∴，，
∴．
故选：D．
6．A
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
【详解】解：将将抛物线向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：，即；
再向下平移2个单位为：，即，
故选：A．
7．A
【分析】设二次函数，根据二次函数的平移规律可得y向左平移2个单位长度得到，即可得出与x轴的交点横坐标，即可进行解答．
【详解】解：设二次函数，
∵，
∴y向左平移2个单位长度得到，
∵二次函数y的图象与x轴的交点的横坐标分别为和5，
∴二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为和3，
∴一元二次方程的两个实数根分别是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，以及二次函数与x轴交点的横坐标的值等于所对应一元二次方程的根．
8．C
【分析】过点O作于点C，连接，根据得出，根据垂径定理可得，，设，根据勾股定理可得，最后根据，即可求解．
【详解】解：过点O作于点C，连接，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，根据勾股定理可得：，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，正确画出辅助线，构造直角三角形，用勾股定理求解．
9．D
【分析】设，则，通过证明，可得，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：∵点B在反比例函数图像上，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
∵，
∴，解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比函数的图像和性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
10．C
【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，判断即可．
【详解】解：A．，当时，，当时， ，故错误；
B．抛物线的顶点坐标为，当时，，故错误；
C．抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，，故正确；
D．抛物线上有两点，，若，，，点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，，故错误．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．-2
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：由题意，得|m|=2，且m-2≠0，解得m=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
12．9cm/9厘米
【分析】设该圆锥的底面半径为rcm，根据圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的半圆的圆弧长，列出方程即可求解．
【详解】设该圆锥的底面半径为rcm，
根据题意得：，
解得（cm）．
故答案为：9cm．
【点睛】本题主要考查了圆锥体展开图的知识，掌握圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的半圆的圆弧长，是解答本题的关键．
13．3
【分析】由，利用平行线分线段成比例，可得出，代入及，即可求出的值．
【详解】解：∵在中，，
∴，即，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．
14．5
【分析】根据反比例函数系数的几何意义即可求解．
【详解】
解：点在反比例函数的图象上，且垂直于轴，垂足为，
．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即．
15．①②④
【分析】根据图象及二次函数的性质判断即可．
【详解】抛物线开口向下
则①正确；
对称轴为直线
则②正确；
当时，
则③错误；
且对称轴为直线
当时，y随x的增大而增大
则④正确；
综上，正确的是①②④
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数之间的关系、二次函数的性质，熟练掌握知识点及运用数形结合的思想是解题的关键．
16．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
【详解】（1）
∴或
∴，；
（2）
方程化为
∴
∴或
∴，．
17．
【分析】根据，设，则，根据勾股定理，列出方程，求出k的值，进而得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴设，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义及解直角三角形的方法和步骤．
18．(1)如图，即为所求；
(2)如图，即为所求；
(3)由图可得，点，．
【分析】（）在平面直角坐标系描点即可；
（）根据相似比的以及点，，的坐标即可求得；
（）根据位似的性质可得到，；
本题考查了位似作图，图形与坐标，熟练掌握位似的性质是解题的关键．
【详解】（1）如图，
∴即为所求；
（2）如图，
∴即为所求；
（3）根据坐标可知：点，．
19．抛物线的函数关系式为．
【分析】由顶点坐标为（－1，4）得到对称轴为x=-1，又由抛物线与x轴两交点的距离为6，得到两交点的横坐标分别为： ，， 从而得到两交点的坐标为（-4，0）、（2，0），再用待定系数法求解
【详解】因为顶点坐标为（－1，4），
所以对称轴为x=-1，
又因为抛物线与x轴两交点的距离为6，
所以两交点的横坐标分别为： ，， 则两交点的坐标为（-4，0）、（2，0）；
则求函数的函数关系式可有两种方法：
方法（1）：设抛物线的函数关系式为顶点式： （a≠0），把（2，0）代入得，
所以抛物线的函数关系式为；
方法（2）：设抛物线的函数关系式为两点式：（a≠0），
把（－1，4）代入得，
所以抛物线的函数关系式为：．
【点晴】考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
20．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据矩形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6-x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6-x）2，
解得：x= ，
∵BD= =2，
∴OB=BD=，
∵BD⊥EF，
∴EO==，
∴EF=2EO=．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键
21．(1)①；②
(2)小王希望每天获利1760元，销售单价应定为28元
(3)在每袋口罩销售利润不低于15元的情况下，不能获得2 000元的总利润，理由见解析
【分析】（1）①根据销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，即可列出函数关系式；
②根据每天的销售利润w（元）等于每袋的利润乘以每天的销售量即可列出每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）根据平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋，可得关于x的一元一次不等式，从而可解得x的取值范围；根据小王希望每天获利1760元，可得关于x的一元二次方程，解方程并作出取舍即可．
（3）根据每袋口罩的利润不低于15元及每天销售量不得少于120袋，可得x的取值范围；根据利润为2000元，得出关于x的一元二次方程，解方程并与x的取值范围相比较，即可作出判断．
【详解】（1）①∵销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，
∴
；
故答案为：；
②根据题意得：
；
故答案为：．
（2）∵，
∴，
小王希望每天获利1760元，则，
解得：（舍去），
∴要想获利1760元，销售单价应定为28元；
小王希望每天获利1760元，销售单价应定为28元
（3）不能．
理由如下：∵，
∴．
当时，
解得，
与相矛盾．
∴在每袋口罩销售利润不低于15元的情况下，不能获得2 000元的总利润．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，不等式组的应用，以及一元二次方程的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
22．（1）y＝﹣x2+x+4；（2）当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）；（3）满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．
【分析】（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（-2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y=a（x+2）（x-4），求出点C坐标代入求出a即可；
（2）由△CMD∽△FMP，可得，根据m关于n的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形讨论：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时，利用相似三角形的性质和勾股定理可求解．
【详解】（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，
所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），
∵OC＝2OA，OA＝2，
∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，
∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4，
故答案为：y＝﹣x2+x+4；
（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．
∵CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m＝，
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），
∵BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），
∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，
∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）；
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
①当DP是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，
有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，
∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），
由△DOE∽△QOD可得，
∴OD2＝OE OQ，
∴1＝ OQ，
∴OQ＝，
∴Q（，0）．
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，
∴N（2+，4﹣1），即N（，3）
b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，
∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，
∴Q（8，0），
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．
②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，
∵Q是直角顶点，
∴QD2+QP2＝PD2，
∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，
整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数的应用，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
23．【小题1】; 【小题2】①结论不成立，结论：，理由见解析
②或
【分析】（1）利用证明，得到由，得到，即；
（2）①根据得到，，根据，证明，得到，利用，得到，证得；
②根据，，，求得，，根据是的中点，，得到，，根据题意画出图形，利用矩形的性质及勾股定理计算得出的长．
【详解】（1）在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴A，
由旋转得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
故答案为：；
（2）结论不成立．结论：
如图，∵，
∴，
∴，，
图 1 图 2
如图2，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，，
∵是的中点，，
∴，，
如图3，当四边形是矩形时，则，
图 3
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图4，当四边形是矩形时，则，
图 4
∵，
∴，
∴点E在线段上，此时点P与点B重合，
∴，
综上，的长为或．
【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，是一道较难的综合的图形题，综合掌握各部分知识是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
