甘肃省兰州市华侨集团2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中的无理数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．7，9，11 C．6，9，12 D．
3．若点在轴上， 则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点是的边延长线上一点，射线在内部，下列条件中能判定的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中，真命题是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
B．相等的角是对顶角
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．同旁内角互补
7．已知方程组的解满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用有序数对表示“炮”的位置，表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为（ ）
A． B． C． D．
9．我区某学校学生会为了贯彻“减负增效”精神，了解八年级学生每天的自主学习情况，随机抽查了八年级一班10名学生每天自主学习的时间情况，得到的数据如表所示下列说法正确的是（ ）
自主学习时间/h 0.5 1 1.5 2 2.5
人数/人 1 2 4 2 1
A．本次调查学生自主学习时间的方差是0.3
B．本次调查学生自主学习时间的平均数是1
C．本次调查学生自主学习时间的中位数是4
D．本次调查学生自主学习时间的众数是2
10．如图，一块边长米的正方形绿地四周被小路环绕，点B在正方形的边上，则居民从比从A沿直线直接到B处要多走（ ）
A．5米 B．米 C．米 D．6米
11．已知一次函数，若，则它的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
12．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：；；平分；平分．其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 ．
14．如图为某椅子的侧面图，交于点C，点A，C，E，F在同一条直线上，，与地面平行，，则的度数为 °．
15．如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形，连接，点M在点B的左侧的数轴上，，则点M表示的数是 ．
16．如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是 .
三、解答题
17．计算：．
18．解二元一次方程组：
19．已知实数的平方根是，的立方根是．求的算术平方根．
20．如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．请画出关于y轴对称的，其中分别是A、B、C的对应点，并写出的坐标．
21．在一次有个队参加的足球单循环赛（每两队之间必须比赛一场）中，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在这次足球赛中所胜场数比所负场数多2场，结果共积18分，该队战平几场？
22．2023年6月5日是第50个世界环境日，今年的主题是“减塑捡塑”，旨在提高人们对塑料污染的认识，鼓励人们减少使用一次性塑料制品．为了庆祝第50个世界环境日，学校举办环境保护知识竞赛活动，竞赛内容分“自然环境保护”，“地球生物保护”，“人类环境保护”，“生态环境保护”四个项日，下表是小亮和小彬的各项成绩：（百分制）
项目 自然环境保护 地球生物保护 人类环境保护 生态环境保护
小亮 95 90 85 90
小彬 80 90 100 90
若“自然环境保护”，“地球生物保护”，“人类环境保护”，“生态环境保护”四个项目按确定综合成绩，则小亮和小彬谁的综合成绩高？请通过计算说明理由．
23．“白银2号”种子的价格是元/kg,如果一次性购买kg以上的种子，则超过kg部分的种子价格打折．购买种子所需的付款金额y（单位：元）与购买量x（单位：kg）之间的函数关系如图所示：
(1)根据图象，求当购买种子超过kg时，付款金额y（单位：元）关于购买量x（单位：kg）的函数关系式；
(2)当顾客付款金额为元时，求此顾客购买了多少种子？
24．如图，在中，平分交边于点E，在边上取点F，连结，使．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
25．学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：
平均数 中位数 方差
张明 13.3 13.3 0.004
李亮 13.3 3
(1)李亮成绩的中位数为： 秒；
(2)计算李亮成绩的方差；
(3)现在从张明和李亮中选择一名成绩比较稳定的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．
26．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，AD=
(1)求CD、BD的长；
(2)求证：△ABC是直角三角形
27．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，直线与轴交于点．
(1)求直线的函数表达式及线段的长；
(2)点关于轴的对称点为点，在所在的直线上找点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标．
28．【问题初探】
（1）如图①，在中，，于点，若，，则的长为 ；
【问题探究】
（2）如图②，在中，，为边上的中线，试探究、、之间的数量关系，并说明理由；
【拓展迁移】
（3）如图③，在中，，，点为的中点，连接， 于点，在的右侧作，，，问的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】本题考查了无理数和有理数，熟练掌握无理数是无限不循环的小数成为解题的关键．
根据无理数和有理数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、，所以是有理数，故此选项不符合题意；
B、是有理数，故此选项不符合题意；
C、是有理数，故此选项不符合题意；
D、是无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
2．A
【分析】本题考查勾股数，勾股数的定义：满足勾股定理的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．
【详解】解：A，，故5，12，13是勾股数；
B，，故7，9，11不是勾股数；
C，，故6，9，12不是勾股数；
D，不是整数，故不是勾股数．
故选A．
3．B
【分析】根据在轴上的点横坐标为可以求出的值，代入即可求出点的坐标．
【详解】解：点在轴上，
，
，
，，
，
故选：．
【点睛】本题考查了坐标系点坐标的规律，熟练掌握坐标系中点的特征是解答本题的关键．
4．A
【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系．利用点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案．
【详解】解：与直线相交于点，
方程组的解为，
故选：A．
5．A
【分析】根据平行线的判定方法即可求解．
【详解】解：选项，，内错角相等，两直线平行，故符合题意；
选项，，不能判定，故不符合题意；
选项，，不能判定，故不符合题意；
选项，，不能判定，故不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
6．A
【分析】根据平行线的判定、对顶角的性质和平行线的性质逐项判断即可.
【详解】解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；
B、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题是假命题；
D、两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题；
故选：A.
【点睛】本题考查了真假命题，熟练掌握平行线的判定和性质以及对顶角相等的性质是解题的关键.
7．B
【分析】将方程组中两方程相减可得x-y=1-k，根据x-y=3可得关于k的方程，解之可得．
【详解】解：
②-①，得：x-y=1-k，
∵x-y=3，
∴1-k=3，
解得：k=-2，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及解法：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．本题用整体代入的方法达到了简便计算的目的．
8．A
【分析】根据平移变化与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减；根据“将”的位置可由“士”先向左平移一个单位，再向上平移一个单位，即可．
【详解】解：∵“将”的位置可由“士”先向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
∴“将”的位置为，即，
故选：A．
【点睛】本题考查坐标的平移，解题的关键是掌握平移变化与坐标变化规律．
9．A
【分析】本题主要考查数据的收集与整理，平均数、方差、众数的求法．根据中位数、平均数、方差、众数的求法直接求解即可．
【详解】解：本次调查学生自主学习时间的平均数是：，故B不符合题意；
本次调查学生自主学习时间的方差是：，故A符合题意；
本次调查学生自主学习时间的中位数是；故C不符合题意；
本次调查学生自主学习时间的众数是1.5；故D不符合题意；
故选：A．
10．D
【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：由正方形的性质得：米，米
∴（米），
∴（米），
即居民从比从A沿直线直接到B处要多走6米，
故选：D．
11．C
【分析】根据一次函数的性质求解，即可得到答案．
【详解】解：一次函数， ，
函数图象经过第二、四象限，
，
函数图象经过第三象限，
函数图象经过第二、三、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．
12．A
【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，延长，交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
【详解】解：延长，交于，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴错误；正确，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
可见，的值未必为，只要和为即可，
∴平分，平分不一定正确．
故选：．
13．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数可得答案．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
14．70
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，根据平行线，把已知角和待求角迁移到同一个三角形中计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵与地面平行，
∴，
∵，
∴．
故答案为：70．
15．/
【分析】本题考查实数与数轴，正方形的性质，先根据勾股定理计算的长，可得，再确定点表示的数．
【详解】解：由勾股定理得正方形对角线的长度为：，
∴，
∴，
又∵点M在原点O的左侧，
∴点M表示的数为：，
故答案为：．
16．61
【详解】解: 如图①:AM2=AB2+BM2=16+(5+2)2=65;
如图②:AM2=AC2+CM2=92+4=85;
如图③:AM2=52+(4+2)2=61.
∴蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是:61.
故答案为:61.
17．
【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：原式
18．
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程组中第一个方程减去第二个方程求得，把代入②求得，即可确定出原方程组的解．
【详解】解：
①-②得：，
把代入②得，，
解得，，
∴该方程组的解为．
19．6
【分析】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根．根据平方根、立方根以及算术平方根的定义解决此题．
【详解】解：由题意得，，．
，．
．
的算术平方根是．
20．图见解析，
【分析】本题考查了画轴对称图形，关于y轴对称的两点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此即可完成作图．
【详解】解：如图，即为所求，
21．该队战平了场．
【分析】设该队负了场，则胜了场，平局的场数为场，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设该队负了场，则胜了场，平局的场数为场．
根据题意，得
解得，
答：该队战平了场．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程．
22．小彬的综合成绩高，理由见解析
【分析】根据加权平均数的计算方法分别求出小亮和小彬的综合成绩，然后可得答案．
【详解】小彬的综合成绩高；
理由：，，
，
小彬的综合成绩高．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
23．(1)
(2)kg
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题关键．
（1）设将点代入即可求解；
（2）令即可求解．
【详解】（1）解：当时，
由图象可知y是x的一次函数，且过点
∴设
则
解得：
∴；
（2）解：根据图像可知当顾客付款金额为元时，购买数量大于kg，
令时，
解得：，
∴当顾客付款金额为元时，此顾客购买了种子．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义和平行线的性质与判定，
（1）根据平分得到，再由等量代换推出， 根据“内错角相等，两直线平行”即可得证；
（2）先根据平行线的性质求出的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，由平分推出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）解：，
，
在中，，
，
平分，
，
．
25．(1)13.3
(2)0.02
(3)选择张明，理由见解析
【分析】本题考查了方差，算术平均数和中位数、统计图．
（1）利用折线统计图确定李亮成绩的中位数；
（2）利用平均数、中位数和方差的定义求解；
（3）根据方差的意义进行判断．
【详解】（1）解：把李亮5次成绩成绩从小到大排列，排在中间的数是13.3，故中位数是13.3；
故答案为：13.3；
（2）解：李亮成绩的方差为：
；
（3）解：选择张明．理由如下：
因为张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，所以张明成绩比李亮成绩稳定，因此选择张明．
26．（1）CD=，BD=；（2）详见解析.
【分析】（1）在Rt△ACD中，利用勾股定理列式求出CD，在Rt△BCD中，利用勾股定理列式计算即可求出BD；
（2）根据AB=AD+BD求出AB的长，再利用勾股定理逆定理证明．
【详解】（1）解：在Rt△ACD中，CD=;
在Rt△BCD中，BD=.
（2）证明：AB=AD+BD=，
∵AC2+BC2=42+32=25，
AB2=52=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理（如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形），根据图形判断出所求的边所在的直角三角形是解题的关键．
27．(1)直线AB的函数表达式为，
(2)点的坐标为或或或．
【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，求函数与坐标轴的交点，等腰三角形的存在性问题，本题还涉及分类讨论解决题目．
（1）设直线的函数表达式为，把，代入即可求得直线的函数表达式，把代入函数表达式可得点的坐标，从而求出的长度；
（2）求出直线的解析式，设点的坐标，分和两种情况求出点的坐标．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，把，代入，
得，解得，
直线的函数表达式为，
把代入，得，
点的坐标为，
，，
；
（2）解：点关于轴的对称点为点，，
点的坐标为，
直线的解析式为直线，
由点在直线上，设点的坐标为，
使是以为腰的等腰三角形，
①若，
得，
解得，
，；
②若，
得，
解得，
，；
综上所述，点的坐标为或或或．
28．（1）12；（2），理由见解析；（3）是定值，长为8m
【分析】本题考查三角形综合题、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
（1）由勾股定理求出的长，由三角形的面积可求出答案；
（2）由勾股定理得出，，则可得出结论；
（3）由勾股定理得出，证出，等量代换可证出，则可得出结论．
【详解】解：（1）在中，，
．
，，
，
，
．
，
，
，
故答案为：12；
（2）．
理由：，
，
为边上的中线，
，
，
又，
，
即；
（3）是定值，长为．
在中，，
，
，
又，
，
点为的中点，，
，
，
，
，
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
