九年级（上）期末教学质量监测
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑．
1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A B. C. D.
2. 下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
3. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
4. 已知m，n是方程的两根，则的值是（ ）
A. 8 B. C. 0 D.
5. 如图，以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A. B. 点A，O，三点在同一条直线上
C D.
6. 电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图下列条件不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（ ）
A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
10. 如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P，Q两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点同时停止，当的面积等于4时，则P，Q两点同时移动的时间是（ ）
A. 1秒或4秒 B. 1秒 C. 2秒或4秒 D. 4秒
11. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则．其中正确结论的个数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
12. 如图，在菱形中，，交的延长线于点E．连结交于点F，交于点G，于点H，连结．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上．
13. 如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a的值是_____________
14. 如果，那么的值是______．
15. 如图，随机闭合开关，，中的两个，能够让灯泡发亮的概率是_________．
16. 如图，在中，，，则______．
17. 已知二次函数可以写成，则的取值范围是______．
18. 在中，，，连接，若，，的面积为7.5，则___________．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．
19. 计算：
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为，求的值．
21. 如图，正方形中，M为上一点，F是的中点，，垂足为F，交的延长线于点E，交于点N．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22. 仁寿某中学为了了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为______人，扇形统计图中m的值为______．
（2）补全条形统计图；
（3）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．
23. 某湿地公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度为1米）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为．请帮助他们计算出最高塔的高度约为多少米？（参考数据：，，）
24. 某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
25. 如图，在等边ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．
（1）求证：AD＝BE；
（2）若BO＝6OE，求CD的长．
（3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式．
26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上任意一点，连接．
（1）求这个抛物线与直线解析式；
（2）如图1，如果点P是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如图2，过点P与点B作直线，交直线与点Q，是否存在一点P，使得，存在直接写出点P的横坐标，不存在说明理由．九年级（上）期末教学质量监测
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑．
1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的相关知识是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数，即可求解．
【详解】解：若式子在实数范围内有意义，
则
的取值范围是：．
故选：A．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加减、乘除法则计算进行判断即可．
【详解】解：A、、被开方数不同，不能合并，计算错误，不合题意；
B、，计算错误，不合题意；
C、，计算错误，不合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算．注意二次根式的加减可以类比合并同类项法则，化简后只有被开方数相同才能进行合并．
3. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且，
即m的取值范围为且．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
4. 已知m，n是方程的两根，则的值是（ ）
A. 8 B. C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后进行解答即可．
【详解】解：∵m，n是方程的两根，
∴，，
∴
．
故选：D．
5. 如图，以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A. B. 点A，O，三点在同一条直线上
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答．本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
【详解】∵以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，
∴，，，点A，O，三点在同一条直线上．
∴，，
综上，只有选项C错误，符合题意．
故选：C．
6. 电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，第一天为2亿元，根据增长率为得出第二天为亿元，第三天为，根据第三天为5亿元，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：B．
7. 如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及正弦，根据勾股定理得，在中，利用正弦即可求解即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：如图：
根据勾股定理得：，
在中，
，
故选B．
8. 如图下列条件不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两个三角形相似的判定逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、，
补充，根据两个三角形相似的判定定理“两组对应角相等的两个三角形相似”确定A正确，不符合题意；
B、，
补充，根据两个三角形相似的判定定理“两组对应角相等的两个三角形相似”确定B正确，不符合题意；
C、，
补充，得到，根据两个三角形相似的判定定理“两条对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”确定C正确，不符合题意；
D、根据两个三角形相似的判定定理，该选项不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查两个三角形相似的判定，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键．
9. 将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（ ）
A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，
而点向左平移2个，再向下平移3个单位可得到，
所以抛物线向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x2+2x+3．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式；二是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式．
10. 如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P，Q两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点同时停止，当的面积等于4时，则P，Q两点同时移动的时间是（ ）
A 1秒或4秒 B. 1秒 C. 2秒或4秒 D. 4秒
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设t秒后，的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设t秒后，的面积等于4，
由题意得：，则
∵，
∴，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
即1秒后，的面积等于4．
故选：B．
11. 二次函数图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则．其中正确结论的个数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0
所以abc＜0．
故①错误．
②∵抛物线对称轴为直线x=，
∴b=-2a，即2a+b=0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，
故③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x=1，
∴（3，0）关于直线x=1的对称点为（-1，0），抛物线与x轴的另一个交点在（-1，0）的右侧
∴当x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，
故④错误；
⑤∵ax12+bx1=ax22+bx2，
∴ax12+bx1-ax22-bx2=0，
∴a（x1+x2）（x1-x2）+b（x1-x2）=0，
∴（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=，
∵b=-2a，
∴x1+x2=2，
故⑤正确．
综上所述，正确有②⑤．
故选：A．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
12. 如图，在菱形中，，交的延长线于点E．连结交于点F，交于点G，于点H，连结．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，根据菱形的对称轴即可判断①，证明，根据相似三角形的性质即可判断②，设 ，根据已知条件，结合含30度角的直角三角形的性质，进而可得 ，证明，可得，设 ， 则 ，根据，求得，进而即可判断③，根据，分别求得，即可求解．掌握菱形的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴对角线所在直线是菱形的对称轴， A与C关于对称，
，， 故①正确，
，
，
，
又 ，
，
，
，
， 故②正确，
菱形中，，
，，，
设 ，
，
，
Rt中，，
，
，
，
，
设，则，
∴，
又，
，
，
，
， 故③错误，
中，，
∴，
中，，
，
，
中，，
中，，
，
，
，
， 故④正确，
故正确的为∶ ①②④．共3个
故选：C．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上．
13. 如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a的值是_____________
【答案】2
【解析】
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方求解．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
解得：
故答案是：2.
【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.
14. 如果，那么的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据可用b表示出a，代入所求分式，根据分式的性质即可得答案，
【详解】∵，
∴a=2b，
∵b≠0，
∴==，
故答案为：
【点睛】本题考查了比例的性质及分式的性质，分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变；熟练掌握相关性质是解题关键．
15. 如图，随机闭合开关，，中的两个，能够让灯泡发亮的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列举法求概率，本题随机闭合开关，，中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．
【详解】解：随机闭合开关，，中的两个，可以闭合、；、 ；、三种情况，其中闭合、 或，时，灯泡可以发光，
∴．
故答案为：．
16. 如图，在中，，，则______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点D作，交于点G，根据已知可得，，继而分别用表示，求解即可，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．
【详解】如图，过点D作，交于点G，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 已知二次函数可以写成，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键．
【详解】解：
故答案为 ：．
18. 在中，，，连接，若，，的面积为7.5，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】先推出∠3=∠4，从而得，进而得，由，得，设AE=5x，则CE=BE=6x，根据三角形的面积公式，列出方程，进而即可求解．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵BD∥AC，
∴∠3=∠2=∠1，
又∵，
∴2∠3+∠5=90°，
过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，
∴∠3+∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠4，
又∵∠F=∠F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠1=∠3，∠AEB=∠CFB=90°，
∴，
∴，
设AE=5x，则CE=BE=6x，
，解得：x2=，
∴AB=，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形，是解题的关键．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．
19. 计算：
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查含特殊角三角函数的混合运算，零指数幂公式，负整数指数幂公式，去绝对值等知识，将特殊角的三角函数值代入，再运用相关运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）要证明一元二次方程有两个实数根，只要证明根的判别式即可．
（2）将方程已知根代入方程即可．
【小问1详解】
解：由一元二次方程的根的判别式，
取任意实数时，，即，
无论取何值，方程总有两个实数根，
故命题得证．
【小问2详解】
把代入方程，得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是要理解方程的根只与系数有关，（2）题也可以使用韦达定理解题．
21. 如图，正方形中，M为上一点，F是的中点，，垂足为F，交的延长线于点E，交于点N．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）16.9
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，相似三角形的法判定和性质，勾股定理，
（1）由正方形的性质可得，继而得出，再证明，即可求解；
（2）先由勾股定理求得的长，再根据相似三角形的性质求解即可；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
22. 仁寿某中学为了了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为______人，扇形统计图中m的值为______．
（2）补全条形统计图；
（3）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．
【答案】（1）50，3
（2）图形见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）用D组的人数除以对应的百分比即可得到本次抽取的学生人数，用总人数乘以B组的百分比即可得到m的值；
（2）用总人数减去其它组的人数即可得到C组的人数，补全条形统计图即可；
（3）画出树状图，利用满足要求的情况数除以总的情况数即可得到答案．
此题考查了扇形统计图和条形统计图的关联、树状图或列表法求概率等知识，读懂题意并准确进行求解是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据题意得，本次抽取的人数为：人，
∵，
∴扇形统计图中m的值为30．
【小问2详解】
解：C组人数为：人，
补全统计图如图所示：
【小问3详解】
解：树状图如图，
共有20种等可能结果，其中满足条件的有12种，
故抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为．
23. 某湿地公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度为1米）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为．请帮助他们计算出最高塔的高度约为多少米？（参考数据：，，）
【答案】最高塔的高度约为241米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据已知条件得出，设，得出，再根据58度角的正切值进行计算即可，能够根据仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴（米），
∵测角仪的高度为1米，∴最高塔的高度约为241米．
答：最高塔高度约为241米．
24. 某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）销售单价应定为30元或40元．（2）当单价为35元时，该文具每天的最大利润为2250元．
【解析】
【分析】（1）设销售单价为x元，可列方程为（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，解方程即可解决问题．
（2）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）设销售单价为x元，根据题意列方程得，
（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，
解得x1＝30，x2＝40
答：销售单价应定为30元或40元．
（2）设销售单价为x元，每天的销售利润w元，可列函数解析式为：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）] ＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，当x＝35时，w有最大值，最大值为2250元，
答：当单价为35元时，该文具每天的最大利润为2250元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
25. 如图，在等边ABCAC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．
（1）求证：AD＝BE；
（2）若BO＝6OE，求CD的长．
（3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）
【解析】
【分析】（1）只需要证明△BAE≌△ACD即可得到 答案 ；
（2）证明△CAD∽△OAE得到，然后求出OE和AD的长即可；
（3）过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G，先求出∴，，，从而得到三角形ABC的边长为6，再证明△OGE∽△BAE，得到，，，，最后证明△PQC∽△OPG，，由此求解即可．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
又∵AE=CD，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE；
（2）由（1）得△BAE≌△ACD，
∴∠ABO=∠CAD，AD=BE
∴∠BAO+∠ABO=∠AOE=∠EAO+∠BAO=∠BAC=∠C=60°，
又∵∠CAD=∠OAE，
∴△CAD∽△OAE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵CD=AE，
∴，
∴CD=2；
（3）如图所示，过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G，
∵∠FAG=60°，∠AEF=30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵OG∥AB，
∴△OGE∽△BAE，∠OGE=∠BAC=60°
∴，
∴，，
∴，
∵∠AOE=60°，
∴∠OEP=∠AOE+∠OAE=60°+∠OAE，
∵∠EPQ=∠C+∠PQC=∠OPQ+∠OPE，∠C=∠OPQ=60°，
∴∠OPE=∠CQP，
∴△PQC∽△OPG，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上任意一点，连接．
（1）求这个抛物线与直线解析式；
（2）如图1，如果点P是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如图2，过点P与点B作直线，交直线与点Q，是否存在一点P，使得，存在直接写出点P的横坐标，不存在说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）直接把点代入二次函数求出a、b的值即可得出抛物线的解析式；
（2）设点P坐标为，则，连接，作轴于M，轴于N．根据三角形的面积公式得出的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；
（3）首先根据推导出，设P点坐标为，，依据列出关于t，m的二元一次方程组，并解方程即可．
【小问1详解】
解：抛物线过点，
，
解得：，
二次函数的关系解析式为；
令，则，
，
设直线的解析式为，则：
，
，
直线AC的解析式为；
【小问2详解】
存在点P，使的面积最大；理由如下：
如图1所示，设点P坐标为，则，
连接，作PM⊥x轴于M，轴于N，
则，，
当时，
，
，
，
，
，
函数有最大值，
当时，有最大值．
，
存在点，使的面积最大；
【小问3详解】
存在一点P，使得，理由如下：
，
，
，
设P点坐标为，，
，依题意得：
，
解得：或，
点P的横坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，作出辅助线是解题的关键．
