1.1认识三角形-双角平分线
一、单选题
1．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，BD与CE交于点O．如果∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC（ ）
A．（45+n）° B．（180﹣n）° C．（90+n）° D．（90+n）°
2．如图，已知为中的平分线，为的外角的平分线，与交于点．若∠ABD=20°，，则（ ）
A．70° B．90° C．80° D．100°
3．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线相交于点D，，则∠D的度数是（ ）
A．44° B．24° C．22° D．20°
4．如图中，，延长到，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，则的度数为（ ）
A．48° B．24° C．36° D．12°
5．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠BAC＝n°（0＜n＜180），那么∠BOE的度数是（ ）
A．90°n° B．90°n° C．45°+n° D．180°﹣n°
6．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
7．如图，已知P是三角形ABC内一点，∠BPC=120°，∠A=50°，BD是∠ABP的平分线，CE是∠ACP的平分线，BD与CE交于点F，则∠BFC等于（ ）
A．100° B．90° C．85° D．95°
如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，、、分别平分的外角，内角，外角，以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
二、填空题
10．如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
(1)若∠A＝60°，则∠P＝ °；
(2)若∠A＝40°，则∠P＝ °；
(3)若∠A＝100°，则∠P＝ °；
(4)请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系 ．
11．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝_____
12．如图所示，已知△ ABC中，∠A＝84°，点B、C、M在一条直线上，∠ABC和∠ACM两角的平分线交于点P1，∠P1BC和∠P1CM两角的平分线交于点P2，∠P2BC和∠P2CM两角的平分线交于点P3，则∠P3=_____°．
13．如图 ，BI、CI分别平分∠ABD和∠ACD，∠A＝40°，∠D＝160°，则∠I＝___________
14．如图，△ABC中，∠A=57°，BD、BE将∠ABC三等分，CD、CE将∠ACB三等分，则∠BDE=_______.
15．如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_____．
16．如图，在中，，将分成三个相等的角，，将分成三个相等的角.若，则等于_________度
17．如图，中，的三等分线交于点、，若，则的度数为__________．
18．如图，，分别平分，，且分别与，相交于点，．已知，，则的大小为__________．
19．如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则________．
20．如图，△ABC中，∠A=100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC=____°，若BM、CM分别是∠ABC，∠ACB的外角的平分线，则∠M=____°．
21．已知△ABC，∠A=80°，BF平分外角∠CBD，CF平分外角∠BCE，BG平分∠CBF，CG平分外角∠BCF，则∠G=______°．
22．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90 ，并画出了两锐角的角平分线AD， BE及其交点F．小明发现，无论怎祥变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为________．
23．如图所示，四边形ABCD中，∠A＋∠B＝222°，且∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，则∠COD的度数是______．
24．如图，，BD、BE三等分，CD、CE三等分．那么______．
三、解答题
25．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O
①若∠ABC= 40°，∠ACB=50°，则∠BOC的度数为 ；
②若∠A=76°，则∠BOC的度数为 ；
③你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？说明理由
26．（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：．
如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：．
（3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：．
27．（1）如图（1）所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由.
（2）如图（2）所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？
答案
一、单选题
1．D 2．B 3．C4．B 5．A 6．B 7．C 8．B 9．B
二、填空题
10．(1)65；(2)45；(3)40； (4)∠P=90°-∠A，
11．40°
12．10.5
13．100°．
14．49°
15．66.5°．
16．
17．145°
18．45°
19．36
20．
21．115
22．135°
23．111
24．92°
三、解答题
25．
解： ①∵∠ABC=40°，∠ACB=50°，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠ABC=20°，∠OCB=∠ACB=25°，
又∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°- （∠ABC+∠ACB）=135°，
故答案为：135°；
②∵在△ABC中，∠A=76°，
∴∠ABC+∠ACB=104°，
∴由①知，∠BOC=180°- （∠ABC+∠ACB）=128°，
故答案为：128°
③∠BOC=90°+∠A，理由如下：
∠BOC=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=90°+∠A．
26．
解：（1）设．
由的内角和为，得．①
由的内角和为，得．②
由②得．③
把③代入①，得，
即，
即
（2）∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴
由三角形内角和定理得，，
=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-（∠A+180°），
=90°-∠A；
（3）如图：
∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D
∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A①
在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），
即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，
把①代入②得∠D=∠A．
27．
解：(1)、∠BOC=∠A+90°．
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
又∵ BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB.
∴ ∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°.
∴ ∠BOC=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)= 90°+∠A.
(2)、∠BOC=∠A．
∵ ∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE， ∴ ∠A=∠ACE-∠ABC, ∠BOC=∠OCE-∠OBC
又∵ BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线， ∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE.
∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=∠ACE-∠ABC=(∠ACE-∠ABC)=∠A．
