第三章 圆锥曲线的方程全章综合测试卷（提高篇）
【人教A版（2019）】
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022秋·山东聊城·高二校考期末）方程表示的曲线，下列说法错误的是（ ）
A．当时，表示两条直线
B．当，表示焦点在x轴上的椭圆
C．当时，表示圆
D．当时，表示焦点在x轴上的双曲线
2．（5分）（2023春·福建福州·高二校联考期末）设点、分别是椭圆的左、右焦点，点、在上（位于第一象限）且点、关于原点对称，若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）（2023春·广西河池·高二统考期末）已知双曲线的左 右焦点分别是，焦距为，以线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）（2023·西藏日喀则·统考一模）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为3，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且位于第一象限，于点，过点作QF的平行线交轴于点，若，且四边形PQKR的面积为，则直线QR的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C方程为，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2023·全国·高三专题练习）椭圆的右焦点为，上顶点为，若存在直线与椭圆交于不同两点，重心为，直线的斜率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2023秋·湖北恩施·高二校联考期末）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆：的蒙日圆为：，过C上的动点M作的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．面积的最大值为
C．到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在上，将直线DA，DB的斜率分别记为，，则
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023春·贵州黔南·高二统考期末）已知P是椭圆上的动点，Q是圆上的动点，则（ ）
A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为
C．圆D在椭圆C的内部 D．的最小值为
10．（5分）（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期末）已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点
11．（5分）（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）已知椭圆的离心率为，椭圆上一点P与焦点，所形成的三角形面积最大值为，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆方程为
B．直线：与椭圆C无公共点
C．若过点O作，A，B为椭圆C上的两点，则过O作OH垂直于弦AB于H，H所在轨迹为圆，且
D．若过点Q（3，2）作椭圆两条切线，切点分别为A，B，P为直线PQ与椭圆C的交点，则
12．（5分）（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（ ）
A．的最小值为8
B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6
C．为定值
D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023春·广东揭阳·高二校联考期中）现有双曲线，，为双曲线的左、右顶点，，为双曲线的虚轴端点，动点满足，面积的最大值为，面积的最小值为2，则双曲线的离心率为 .
14．（5分）（2023·吉林长春·校考模拟预测）已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为 ．
15．（5分）（2023·重庆巴南·统考一模）已知抛物线上存在两点（异于坐标原点），使得，直线AB与x轴交于M点，将直线AB绕着M点逆时针旋转与该抛物线交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最小值为 ．
16．（5分）（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、，为坐标原点.有下列结论：①四边形是平行四边形；②若轴，垂足为，则直线的斜率为；③若，则四边形的面积为；④若为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是 .
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023春·河北·高二校联考期末）已知为抛物线上一点，，为的中点，设的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线E于点M、N，点为直线l：上一动点．问是否存在点使为正三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
18．（12分）（2023·江苏·高二专题练习）双曲线的焦点的坐标分别为和，离心率为，求：
(1)双曲线的方程及其渐近线方程；
(2)已知直线与该双曲线交于交于两点，且中点，求直线AB的弦长．
19．（12分）（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为、，过点作直线与椭圆交于、两点，且、位于第一象限，在线段上，直线与直线相交于点，连接、，直线、的斜率分别记为、，求的值．
20．（12分）（2023春·湖北恩施·高二校联考期末）已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为，的中点为，求的取值范围．
21．（12分）（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）在直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为的直线交椭圆于A，B
(1)求椭圆的标准方程
(2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值；
(3)设点A，B关于原点对称的点分别为C，D，求四边形ABCD面积的最大值.
22．（12分）（2023春·上海青浦·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为．
(1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的方程；
(2)设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程；
(3)经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线、分别与相交于点、．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．
第三章 圆锥曲线的方程全章综合测试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022秋·山东聊城·高二校考期末）方程表示的曲线，下列说法错误的是（ ）
A．当时，表示两条直线
B．当，表示焦点在x轴上的椭圆
C．当时，表示圆
D．当时，表示焦点在x轴上的双曲线
【解题思路】根据的值或范围结合各曲线或直线方程的特点对选项一一验证即可.
【解答过程】对于A：当时，方程为，表示与两条直线，则A说法正确；
对于B：化为，当时，，则，则表示焦点在轴上的椭圆，故B说法错误；
对于C：当时，方程为，表示圆心为原点，半径为1的圆，则C说法正确；
对于D：化为，当时，，则，则表示焦点在x轴上的双曲线，故D说法正确；
故选：B.
2．（5分）（2023春·福建福州·高二校联考期末）设点、分别是椭圆的左、右焦点，点、在上（位于第一象限）且点、关于原点对称，若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分析可知，四边形为矩形，设，则，利用椭圆定义可得出与的等量关系，利用勾股定理可得出与的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值.
【解答过程】如下图所示：
由题意可知，为、的中点，则四边形为平行四边形，则，
又因为，则四边形为矩形，
设，则，所以，，
由 勾股定理可得，
所以，该椭圆的离心率为.
故选：B.
3．（5分）（2023春·广西河池·高二统考期末）已知双曲线的左 右焦点分别是，焦距为，以线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先根据圆的直径得出垂直关系，再根据正弦值得出边长，结合双曲线定义可得2a，计算渐近线即可.
【解答过程】
因为线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点
所以，
则渐近线方程为．
故选:B．
4．（5分）（2023·西藏日喀则·统考一模）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为3，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】由抛物线的定义，数形结合可知当共线，且在线段上时，最短，此时有最小值，列方程即可求解.
【解答过程】圆的圆心，半径，
抛物线的焦点为，准线为，
则由抛的线的定义可知点到y轴的距离为，
所以，
由图可知，当共线，且在线段上时，最短，
而，
因为，
所以，解得，
故选：B.
5．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且位于第一象限，于点，过点作QF的平行线交轴于点，若，且四边形PQKR的面积为，则直线QR的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据几何关系可判断出PQFR为菱形，其可判断与均为正三角形，由此得到p与菱形边长关系，再根据面积得到p值，最终根据点斜式得到方程.
【解答过程】如图，因为，，所以四边形PQFR为平行四边形．
又因为，所以四边形PQFR为菱形，所以．
由抛物线的定义知，则，
即与均为正三角形，设，
则在中，，即，即．
因为四边形PQKR的面积为，所以，
解得，则，又直线QR的斜率，
所以直线QR的方程为，即.
故选D．
6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C方程为，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设直线l的方程为：，，与抛物线联立求出，再利用导数的几何意义分别求出抛物线在A，B两点处的切线方程，得到的坐标，即可得到的表达式，然后根据基本不等式即可求出．
【解答过程】因为抛物线C方程为，所以其焦点为，所以可设直线l的方程为：，，（斜率不存在的直线显然不符合题意），
联立抛物线方程可得，，所以，
又，所以抛物线在A处的切线方程为：，即，令，可得点的坐标为，同理可得，点的坐标为，
所以
，当且仅当时取等号，
即的取值范围为．
故选：B．
7．（5分）（2023·全国·高三专题练习）椭圆的右焦点为，上顶点为，若存在直线与椭圆交于不同两点，重心为，直线的斜率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，根据重心性质可得，由点差法可得，结合关系和基本不等式可求直线的斜率取值范围
【解答过程】设椭圆的半焦距为，
由已知，，
设，
因为重心为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以直线的斜率，
当且仅当时等号成立，
又，
所以直线的斜率取值范围是，
故选：B.
8．（5分）（2023秋·湖北恩施·高二校联考期末）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆：的蒙日圆为：，过C上的动点M作的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．面积的最大值为
C．到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在上，将直线DA，DB的斜率分别记为，，则
【解题思路】对于A，取椭圆左顶点与上顶点处的切线，建立齐次方程，可得答案；
对于B，根据圆的性质，结合三角形的面积公式，可得答案；
对于C，设出点的坐标，由两点距离公式，利用函数的思想，可得答案；
对于D，设出点的坐标，代入椭圆的标准方程，利用点差法，结合两点之间斜率公式，可得答案.
【解答过程】依题意，过椭圆的上顶点作y轴的垂线，过椭圆的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，
所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确；
因为点M，P，Q都在圆C上，且，所以PQ为圆C的直径，所以，
所以面积的最大值为，故B不正确；
设，的左焦点为，连接MF，
因为，所以，
又，所以，
则M到的左焦点的距离的最小值为，故C正确；
由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，
设，，则，，，
又，所以，所以，所以，故D正确
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023春·贵州黔南·高二统考期末）已知P是椭圆上的动点，Q是圆上的动点，则（ ）
A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为
C．圆D在椭圆C的内部 D．的最小值为
【解题思路】A和B：利用椭圆的方程求解判断；C：由椭圆方程和圆的方程联立，利用判别式法判断；D：利用圆心到点的距离判断.
【解答过程】因为椭圆方程为：，
所以，焦距为，故A错误，B正确；
由，得，
因为，
所以椭圆与圆无公共点，又圆心在椭圆内部，
所以圆在椭圆内部，故C正确；
设，
则，
当时，取得最小值，则的最小值为，故D错误，
故选：BC.
10．（5分）（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期末）已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点
【解题思路】根据为准线上的点列方程，解方程即可得到可判断A；利用导数的几何意义得到过点，的切线斜率，可得到，为方程的解，然后利用导数的几何意义和韦达定理得到，即可判断B；利用韦达定理和斜率公式求即可判断C；联立和得到，同理可得，即可得到直线的方程为，可判断D.
【解答过程】因为为准线上的点，所以，解得，故A错；
根据抛物线方程得到，则，设切点坐标为，，
则，整理得，同理得，
所以，为方程的解，，
所以，则，故B正确；
由B选项得，所以，故C错；
由B选项得，又，联立得，
同理得，所以直线AB的方程为，恒过点，故D正确．
故选：BD．
11．（5分）（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）已知椭圆的离心率为，椭圆上一点P与焦点，所形成的三角形面积最大值为，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆方程为
B．直线：与椭圆C无公共点
C．若过点O作，A，B为椭圆C上的两点，则过O作OH垂直于弦AB于H，H所在轨迹为圆，且
D．若过点Q（3，2）作椭圆两条切线，切点分别为A，B，P为直线PQ与椭圆C的交点，则
【解题思路】先利用离心率，焦点三角形面积最大值算出a，b，得出椭圆方程，再逐一分析.
【解答过程】由题意，∴，∴，故A正确；
联立，得，，
故有两个交点，故B错误；
因为，
且
而
∴
设，则，又
∴，故C正确；
设过椭圆外的点Q（3，2）的切线方程为
联立得；
∵与椭圆相切，
∴，整理得：，，
故两切线为定直线，则A，B为定点，故为定值，
∵P为直线PQ与椭圆C的交点，则P为动点
则为定值不成立，故D错误．
故选：AC.
12．（5分）（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（ ）
A．的最小值为8
B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6
C．为定值
D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为
【解题思路】设出点P坐标，直接计算可判断A、C；比较双曲线的通径长和实轴长可判断B；设出直线l的方程后联立渐近线方程，求出点M，N的坐标，再联立直线l与双曲线方程，利用判别式为零可得参数关系，进而计算点M，N的纵坐标之积可得结果.
【解答过程】依题意，，，，，，
设，则，，即，
双曲线C的两条渐近线方程为，
对于A，，A正确；
对于B，若Q在双曲线C的右支，则通径最短，通径为，
若Q在双曲线C的左支，则实轴最短，实轴长为，B错误；
对于C，
是定值，C正确；
对于D，不妨设，，直线l的方程为，
由得，
若直线l与双曲线C相切，则，
化简整理得，
则点M，N的纵坐标之积，D正确.
故选：ACD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023春·广东揭阳·高二校联考期中）现有双曲线，，为双曲线的左、右顶点，，为双曲线的虚轴端点，动点满足，面积的最大值为，面积的最小值为2，则双曲线的离心率为 .
【解题思路】根据条件，设，由两点间距离公式并化简可得动点的轨迹方程,并判断出动点的轨迹为圆.结合题意，当点位于最高点时，的面积最大，可求出；当点位于左端时，的面积最小，可求出，进一步计算即可.
【解答过程】设
依题意得，,
即
两边平方化简得
则点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
当点位于最高点时，的面积最大，最大面积为
解得
当点位于最左端时，的面积最小，最小面积为，
解得
故双曲线的离心率
故答案为：
14．（5分）（2023·吉林长春·校考模拟预测）已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为 ．
【解题思路】设斜率为直线方程为，联立方程组，写出韦达定理，然后求出线段的中点为的参数方程，消参后得到的轨迹方程，然后利用数形结合方法分析即可.
【解答过程】设斜率为直线方程为：，
代入椭圆中，消元整理得：
，
线段的中点为，设，
则，
所以，
，
所以，消去得：，
所以线段的中点为的轨迹方程为：，
如图所示：
的轨迹即为线段，
由或，
所以，
所以的轨迹长度为：
，
故答案为：.
15．（5分）（2023·重庆巴南·统考一模）已知抛物线上存在两点（异于坐标原点），使得，直线AB与x轴交于M点，将直线AB绕着M点逆时针旋转与该抛物线交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最小值为 ．
【解题思路】设直线的方程为，联立方程组，由条件证明，由此可得，再求，求四边形ACBD面积的解析式，求其最小值即可.
【解答过程】由已知直线的斜率存在，且不为，
故可设直线的方程为，
联立，
消得，，
方程的判别式，
设，则，
所以
因为，
所以，所以，
所以，
又异于坐标原点，所以，所以，
所以，
所以直线的方程为，
且
所以直线与轴的交点为，
所以点的坐标为，
所以直线的方程为，
联立，
消得，，
方程的判别式，
设，则，
所以，
由已知，
所以四边形ACBD面积，
设，则，，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，此时，
设，可得，，
所以当时，即时，取最小值，最小值为，
所以四边形ACBD面积的最小值为.
故答案为：.
16．（5分）（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、，为坐标原点.有下列结论：①四边形是平行四边形；②若轴，垂足为，则直线的斜率为；③若，则四边形的面积为；④若为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是 ①②④ .
【解题思路】对于①，利用双曲线的性质判断四边形的形状，对于②，利用斜率公式判断，对于③，由题意可判断四边形为矩形，从而可求出其面积，对于④，由为正三角形，可表示出点的坐标，代入双曲线方程化简可求出离心率.
【解答过程】对于①，因为双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、，
所以，
所以四边形为平行四边形，所以①正确，
对于②，设，则，
因为轴，垂足为，所以，
所以，，所以②正确，
对于③，因为，所以，
所以为直角三角形，所以四边形为矩形，
设，则，所以，
因为，所以，
所以，所以四边形的面积为，所以③错误，
对于④，因为为正三角形，，所以，
因为点在双曲线上，
所以，化简得，
所以，，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以④正确，
故答案为：①②④.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023春·河北·高二校联考期末）已知为抛物线上一点，，为的中点，设的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线E于点M、N，点为直线l：上一动点．问是否存在点使为正三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）设，表达出，代入抛物线方程中，求出的轨迹方程；
（2）设出直线MN：，联立抛物线方程，根据等边三角形，得到方程，求出，进而得到.
【解答过程】（1）设，则
因为点B在抛物线上，即，
化简得，所以曲线E的方程为．
（2）假设存在点使为正三角形．
当MN垂直于y轴时，不符合题意；
当MN不垂直于y轴时，
设直线MN：，MN的中点为，
联立得：，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∵为正三角形，∴，
即，
∴，
PK：，令，
∴
所以存在点使为正三角形．
18．（12分）（2023·江苏·高二专题练习）双曲线的焦点的坐标分别为和，离心率为，求：
(1)双曲线的方程及其渐近线方程；
(2)已知直线与该双曲线交于交于两点，且中点，求直线AB的弦长．
【解题思路】（1）由题意可得的值，再由离心率，可得的值，进而求出的值，由此可求出双曲线的方程以及渐近线方程；
（2）设直线：，与双曲线联立，根据中点坐标求出直线方程，再利用弦长公式计算即可.
【解答过程】（1）由题意可得，可得＝4，且焦点在轴上，
所以，
所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：；
（2）由于中点不在轴上，根据双曲线的对称性可得直线的斜率必存在，
设直线：，，
联立，
消去得，
则，，解得，
则
.
19．（12分）（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为、，过点作直线与椭圆交于、两点，且、位于第一象限，在线段上，直线与直线相交于点，连接、，直线、的斜率分别记为、，求的值．
【解题思路】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）不妨设、，设直线的方程为，可得，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，设，根据点在直线上，得出，然后利用斜率公式以及韦达定理可求出的值.
【解答过程】（1）解：由题意知，，椭圆的上顶点到右顶点的距离为，
即，解得，，，
因此，椭圆的方程为．
（2）解：如下图所示：
不妨设、，由图可知，直线的斜率存在，
设直线的方程为，因为点，则，则，
联立可得，
，可得，即，
解得，
由韦达定理可得，解得，
所以，，易知、，
由于在直线上，设，
又由于在直线上，则，所以，，
.
20．（12分）（2023春·湖北恩施·高二校联考期末）已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为，的中点为，求的取值范围．
【解题思路】（1）分析可知与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦半径公式结合韦达定理以及可求得的值，由此可得出抛物线的方程；
（2）写出直线的方程，将代入直线的方程，求出的坐标，然后求出的方程，与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出点的坐标，分析可知、、三点共线，可得出，结合可求得的取值范围.
【解答过程】（1）解：抛物线的焦点为，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
，解得，
所以，抛物线的方程为.
（2）解：设点、，则，由（1）可得，，
又因为直线的方程为，
将代入直线的方程可得，可得，即点，
所以，，
因为，则，
所以，直线的方程为，
联立可得，则，
故，则，
由的中点为，可得，
故、、三点共线，则．
又由，知，
故
.
故的取值范围为．
21．（12分）（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）在直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为的直线交椭圆于A，B
(1)求椭圆的标准方程
(2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值；
(3)设点A，B关于原点对称的点分别为C，D，求四边形ABCD面积的最大值.
【解题思路】（1）根据已知条件建立的方程，求解即可；
（2）设，利用点差法求得，利用两点斜率公式求得，计算即可证明；
（3）设直线的方程为，按照利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤可求得弦长，利用点线距离公式可求得原点到直线的距离为.根据对称性可知四边形ABCD的面积，求出面积后再利用基本不等式求得最大值.
【解答过程】（1）依题意可知：，解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）证明：设，则.
把代入椭圆方程得，
两式相减可得：，即，
而，则.
故为定值.
（3）
设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
，即
又.
记原点到直线的距离为，则
因为点A，B关于原点对称的点分别为C，D，
所以四边形ABCD的面积
所以
当且仅当，即时，等号成立，
故四边形ABCD的面积的最大值为4.
22．（12分）（2023春·上海青浦·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为．
(1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的方程；
(2)设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程；
(3)经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线、分别与相交于点、．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．
【解题思路】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的，即可得解；
（2）根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程；
（3）设直线的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点.
【解答过程】（1）抛物线的焦点为，准线为，
双曲线的方程为双曲线，即，则，
由题意可知：，则，
故双曲线的方程；
（2）由（1）可知：，
过点P作直线的垂线，垂足为M，则，
∵，且，
∴，
故直线EP的倾斜角，斜率，
∴直线EP的方程为，即；
（3）设直线，
联立方程，消去y可得：，
则可得：，
∵直线，当时，，
∴，
同理可得：，
∵
，
，
则线段MN为直径的圆C的圆心，半径，
故圆C的方程为，
整理得，
令，则，解得或，
故以线段MN为直径的圆C过定点.
