专题3.9 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练
【九大题型】
【人教A版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2023春·宁夏石嘴山·高二校考期末）已知椭圆C：的离心率是，点在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l:交C于P，Q两点（不同于点A），直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，线段MN的中点为，证明：直线l过定点，并求出定点坐标．
2．（2023春·贵州安顺·高二统考期末）已知椭圆：的右顶点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．
(1)求的方程
(2)椭圆的左顶点为，点为坐标原点，直线：与交于两点，圆过，，交于点，，直线，分别交于另一点，．证明：直线过定点．
3．（2023春·云南曲靖·高二校考期末）已知椭圆的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆的左焦点，顶点，在上，且边过的右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上、下顶点分别为，，点（，），若直线，与椭圆的另一个交点分别为点，，证明：直线过定点，并求该定点坐标．
4．（2023春·广东揭阳·高二校联考期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，且也是抛物线：的焦点，为椭圆与抛物线在第一象限的交点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设动直线与椭圆交于，两点，存在一点使，判断直线是否经过定点 若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.
5．（2023春·贵州六盘水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆：经过点，且离心率．
(1)求的标准方程；
(2)经过原点的直线与椭圆交于，两点，是上任意点，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：是定值．
6．（2023春·福建厦门·高二统考期末）已知点在曲线 上，为坐标原点，若点满足，记动点的轨迹为.
(1)求的方程：
(2)已知点在曲线上，点，在曲线上，若四边形为平行四边形，则其面积是否为定值 若是，求出定值；若不是，说明理由
7．（2023春·广西南宁·高二校考期末）已知椭圆：的一个端点为，且离心率为，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于点，与轴正半轴交于点，过原点且与直线平行的直线交椭圆于点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：为定值．
8．（2023春·江西上饶·高二统考期末）已知椭圆（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，为的上顶点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、．求证：为定值．
9．（2023春·江苏镇江·高二校考期末）如图，在中，，若以所在直线为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.设动顶点.
(1)求顶点A的轨迹方程；
(2)记第（1）问中所求轨迹曲线为，设，过点作动直线与曲线交于两点（点在轴下方）.求证：直线与直线的交点在一条定直线上.
10．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知曲线．
(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．
(2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
11．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于异于，的M，N两点，当l与x轴垂直时，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与直线交于点P，证明点P在定直线上，并求出该定直线的方程．
12．（2023春·河南安阳·高三校考阶段练习）已知椭圆C：的离心率为，且为C上一点．
(1)求C的标准方程；
(2)点A，B分别为C的左、右顶点，M，N为C上异于A，B的两点，直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点О，点M关于原点О的对称点为，若直线与直线BN相交于点P，直线OP与直线MN相交于点Q，证明：点Q位于定直线上．
13．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，右顶点到渐近线的距离等于.
(1)求双曲线的方程.
(2)点，在上，且，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
14．（2023春·湖南岳阳·高二统考期末）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上.
(1)求的方程；
(2)设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为证明：过定点.
15．（2023春·上海嘉定·高二校考阶段练习）双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交双曲线C于B，D两点，且是直角三角形．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率为k1，k2，若，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论．
16．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知双曲线：的离心率为，且过．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
17．（2023春·湖北咸宁·高二统考期末）已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍.
(1)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值；
(2)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值.
18．（2023春·安徽·高二校联考期末）已知直线过定点，双曲线过点，且的一条渐近线方程为.
(1)求点的坐标和的方程；
(2)若直线与交于，两点，试探究：直线，的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19．（2023春·重庆渝中·高二校考期末）已知双曲线C： 的渐近线方程为，其左右焦点为，，点D为双曲线上一点，且的重心G点坐标为.
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)过x轴上一动点作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为（与B不重合），连接并延长交x轴于点Q，问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
20．（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）已知双曲线：（，）的渐近线方程为，焦距为10，，为其左右顶点．
(1)求的方程；
(2)设点是直线：上的任意一点，直线、分别交双曲线于点、，，垂足为，求证：存在定点，使得是定值．
21．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
22．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）从双曲线上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，点分别是双曲线的左、右顶点，点，且 ，.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线分别交双曲线左右两支于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上.
23．（2023·安徽安庆·安徽省校考一模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为、，从发出的光线经过图2中的、两点反射后，分别经过点和，且，.
(1)求双曲线的方程；
(2)设、为双曲线实轴的左、右顶点，若过的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．
24．（2023·安徽六安·安徽省校考模拟预测）已知点在双曲线上．
(1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点 ，在线段上取异于点 的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．
25．（2023春·辽宁朝阳·高二统考期末）已知，是抛物线的准线与轴的交点，过的直线与交于不同的，两点.
(1)若直线的斜率为，求的面积；
(2)若直线交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
26．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知抛物线：焦点为，为上的动点，位于的上方区域，且的最小值为3.
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交于，两点，交于，两点，且，分别为线段和的中点.直线是否恒过一个定点 若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
27．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知抛物线 的焦点为，点在直线上运动，直线，经过点，且与分别相切于两点．
(1)求的方程；
(2)试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
28．（2023春·四川资阳·高二统考期末）过点作抛物线在第一象限部分的切线，切点为A，F为的焦点，为坐标原点，的面积为1．
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交于C，D两点，交于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
29．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知抛物线：的焦点为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值．
30．（2023春·广东·高二校联考期末）设点F为抛物线C：的焦点，过点F且斜率为的直线与C交于A，B两点（O为坐标原点）
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点作两条斜率分别为，的直线，，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知，问：是否存在实数，使得为定值 若存在，求的值，若不存在，请说明理由.
31．（2023·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为3.
(1)求，的值；
(2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.
32．（2023·河北·模拟预测）已知抛物线的焦点为，圆恰与的准线相切.
(1)求的方程及点与圆上点的距离的最大值；
(2)为坐标原点，过点的直线与相交于A，B两点，直线，分别与轴相交于点P，Q，，，求证：为定值.
33．（2023春·黑龙江大庆·高二校考期末）已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，．
(1)求的标准方程；
(2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上．
34．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，过点P(2，0)作直线交抛物线于A，B两点．
(1)若的倾斜角为，求△FAB的面积；
(2)过点A，B分别作抛物线C的两条切线，且直线与直线相交于点M，问：点M是否在某定直线上？若在，求该定直线的方程，若不在，请说明理由．
35．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线给出如下三个条件：
①焦点为②准线为③与直线相交所得弦长为．
(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程
(2)已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由．
36．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，直线交抛物线于两点（异于坐标原点），交轴于点（），且，直线，且与抛物线相切于点.
(1)求证：三点共线；
(2)过点作该抛物线的切线（点为切点），交于点.
（ⅰ）试问，点是否在定直线上，若在，请求出该直线，若不在，请说明理由；
（ⅱ）求的最小值.
专题3.9 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练
【九大题型】
【人教A版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2023春·宁夏石嘴山·高二校考期末）已知椭圆C：的离心率是，点在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l:交C于P，Q两点（不同于点A），直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，线段MN的中点为，证明：直线l过定点，并求出定点坐标．
【解题思路】（1）根据离心率和过点即可求出即可求出椭圆方程；
（2）先设直线根据根与系数的关系结合中点坐标，可求关系即可得出定点.
【解答过程】（1）由题意得：，，
椭圆C的方程为
（2）由题意得：
设，
由得：，
，
直线AP：
当时，，即M的坐标为
同理可得：N的坐标为
，即：
直线l过定点.
2．（2023春·贵州安顺·高二统考期末）已知椭圆：的右顶点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．
(1)求的方程
(2)椭圆的左顶点为，点为坐标原点，直线：与交于两点，圆过，，交于点，，直线，分别交于另一点，．证明：直线过定点．
【解题思路】（1）求出的坐标，再利用给定的离心率求出椭圆方程作答.
（2）根据给定条件，借助向量垂直的坐标表示求出直线的斜率积，再设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率的坐标公式求解作答.
【解答过程】（1）抛物线的焦点，即，，由椭圆的离心率为，得，解得，
所以椭圆的方程是.
（2）显然点关于直线对称，则过点的圆的圆心在直线上，即线段为圆的直径，
即有，设，于是，即，
而，直线的斜率分别为，从而，
显然直线不垂直于y轴，设的方程为，，
由消去并整理得：，
，，
显然，
整理得，
于是，而，
则，解得，满足，直线方程为，
所以直线恒过定点.
3．（2023春·云南曲靖·高二校考期末）已知椭圆的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆的左焦点，顶点，在上，且边过的右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上、下顶点分别为，，点（，），若直线，与椭圆的另一个交点分别为点，，证明：直线过定点，并求该定点坐标．
【解题思路】（1）根据题意，结合椭圆的定义和几何性质，求得的值，即可求解；
（2）由直线：，与椭圆方程联立得，求得和，化简得到，得出直线方程，即可求解.
【解答过程】（1）解：根据题意知，椭圆的焦点在轴上，可设椭圆方程为，
因为的周长为，根据椭圆的定义，可得，即，
又因为椭圆左焦点，可得，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：由椭圆的方程，可得，，
且直线，，斜率均存在，
所以直线：，与椭圆方程联立得，
可得,对，恒成立，
则，即，则，
同理，，
所以，
所以直线方程为：，
所以直线过定点，定点坐标为．
4．（2023春·广东揭阳·高二校联考期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，且也是抛物线：的焦点，为椭圆与抛物线在第一象限的交点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设动直线与椭圆交于，两点，存在一点使，判断直线是否经过定点 若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.
【解题思路】（1）根据抛物线方程可求出，则，设，则由抛物线的定义列方程可求出，从而可求出点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程，结合可求出，从而可得椭圆方程；
（2）若动直线过，可得满足条件，若直线不过，假设直线过定点，设直线的方程是：，设，，将直线方程代入椭圆方程化简后利用根与系数的关系，由，可得，结合前面的式子化简可得，从而可得结论.
【解答过程】（1）∵也是抛物线：的焦点，∴，
∴，且抛物线的准线方程为，
设点，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，解得，，
∴椭圆方程为；
（2）①若动直线过，此时、、共线，满足题设.
②若直线不过，假设直线过定点，由椭圆的对称性可知定点必在轴上，设为；则直线的方程是：，
设，，则
联立，消整理得，
由得
由韦达定理有，
由（显然，的斜率存在），故，
即，.
∴.
由，两点在直线上，故，
代入上式，整理可得：
即有.
整理可得：，无论为何值使等式成立.
又时满足；故直线恒经过定点.
时恒成立，此时直线不过定点.
综上①②，动直线不过定点.
5．（2023春·贵州六盘水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆：经过点，且离心率．
(1)求的标准方程；
(2)经过原点的直线与椭圆交于，两点，是上任意点，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：是定值．
【解题思路】（1）将已知点代入方程，再由离心率的定义可求方程；
（2）因为直线过原点，设，，，由斜率公式化简可得.
【解答过程】（1）依题意得：
，
解得．
所以椭圆的标准方程为．
（2）因为直线过原点，设，，．
所以，，
所以
又因为，，
所以
所以是定值．
6．（2023春·福建厦门·高二统考期末）已知点在曲线 上，为坐标原点，若点满足，记动点的轨迹为.
(1)求的方程：
(2)已知点在曲线上，点，在曲线上，若四边形为平行四边形，则其面积是否为定值 若是，求出定值；若不是，说明理由
【解题思路】（1）设，，依题意可得，再由点在曲线，代入方程即可得解；
（2）设，，，依题意可得，根据点在曲线上得到，表示出直线，求出点到直线的距离，根据计算可得.
【解答过程】（1）设，，因为点在曲线 上，
所以，
因为，所以，代入可得，
即，即的方程为；
（2）设，，，
因为点在曲线上，所以，
因为四边形为平行四边形，所以，
所以，
所以，又、，
所以，
因为，
所以，直线：，
点到直线的距离，
所以平行四边形的面积.
7．（2023春·广西南宁·高二校考期末）已知椭圆：的一个端点为，且离心率为，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于点，与轴正半轴交于点，过原点且与直线平行的直线交椭圆于点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：为定值．
【解题思路】（1）根据离心率和过点列方程组求出，得到椭圆的标准方程；
（2）应用弦长公式分别求出计算化简可得定值.
【解答过程】（1）因为椭圆：过点，
所以，
又椭圆的离心率为，则
所以，
故椭圆方程为
（2）设直线的方程为，
所以，
设，由，
得，
则，
所以，
设直线的方程为，
由，得，
设，则，则，
所以，
故，
因此为定值.
8．（2023春·江西上饶·高二统考期末）已知椭圆（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，为的上顶点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、．求证：为定值．
【解题思路】（1）根据给定条件，求出即可作答.
（2）直线的斜率存在时，设出其方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理推理计算，再验证斜率不存在的情况作答.
【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为，因为的周长为，则，
椭圆的离心率为，则，解得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线，与椭圆方程联立解得，
则，
当直线的斜率存在时，设直线，
由消去y并整理得：，
显然点在椭圆内，即直线与必交于两点，有，
又直线与圆相切，即，即
得，
显然，即有，
因此
，
所以为定值.
9．（2023春·江苏镇江·高二校考期末）如图，在中，，若以所在直线为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.设动顶点.
(1)求顶点A的轨迹方程；
(2)记第（1）问中所求轨迹曲线为，设，过点作动直线与曲线交于两点（点在轴下方）.求证：直线与直线的交点在一条定直线上.
【解题思路】（1）根据椭圆的定义，求得椭圆的的值，可得答案；
（2）根据联立直线与椭圆写出的韦达定理，表示出直线的直线方程，联立整理方程，可得答案.
【解答过程】（1）由，则A的轨迹为以为焦点的椭圆，且，；
由，则，，即，
故A的轨迹方程为.
（2）直线方程可设为，
联立可得，消去可得：，
显然成立，
设，则，即，
设，，
联立上述两方程，消去可得，
，，
，，
由，则，
，解得；
综上所述，动点的轨迹方程为直线.
10．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知曲线．
(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．
(2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【解题思路】（1）由椭圆的标准方程计算即可；
（2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线MN与椭圆联立消，设直线AN、BM的方程解出G纵坐标，结合韦达定理化简计算即可.
【解答过程】（1）因为曲线C是椭圆，所以，解得；.
（2）是在定直线上，理由如下：
当时，此时椭圆，设点与直线l联立得，
，且，
所以
易知，则，
两式作商得是定值，
故G在定直线上.
11．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于异于，的M，N两点，当l与x轴垂直时，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与直线交于点P，证明点P在定直线上，并求出该定直线的方程．
【解题思路】（1）由题知，再利用已知条件求出的值即可；
（2）由题知直线与直线的斜率存在， 分别联立直线、直线与椭圆方程解出的坐标，根据共线，找出直线与直线的斜率的关系，再联立直线与直线，得出点坐标，化简即可.
【解答过程】（1）由题知椭圆焦点在轴上，左、右顶点分别为，，
所以，
又过点的直线l与椭圆C交于异于，的M，N两点，
当l与x轴垂直时，，
所以将代入中，求得：
，所以，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）如图所示：
由题知直线与直线的斜率存在，
设，，
由，消去整理得：
，
解得：，
又是异于，的两点，
所以有，
同理可得：，
又，且共线，
所以，
化简得：，
由题知同号，
所以，
联立：，
所以，
将代入点的横坐标，
则，
所以点在定直线上.
12．（2023春·河南安阳·高三校考阶段练习）已知椭圆C：的离心率为，且为C上一点．
(1)求C的标准方程；
(2)点A，B分别为C的左、右顶点，M，N为C上异于A，B的两点，直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点О，点M关于原点О的对称点为，若直线与直线BN相交于点P，直线OP与直线MN相交于点Q，证明：点Q位于定直线上．
【解题思路】（1）利用离心率和点在椭圆上，建立的方程，求解椭圆方程即可；
（2）设点M，N坐标，联立直线与椭圆方程，韦达定理，利用坐标关系找到点在定直线上.
【解答过程】（1）设椭圆C的焦距为，
由题意得，解得，
∴C的标准方程为．
（2）由题可知，，
设，，
则，设：．
联立消去x得，
∴，，
又，∴：，：，
又∵点P为直线AM'和BN的交点，
∴，
故
，
∴，故：．
联立消去y得，
因此，点Q位于定直线上．
13．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，右顶点到渐近线的距离等于.
(1)求双曲线的方程.
(2)点，在上，且，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【解题思路】（1）利用点到直线的距离公式，的关系和离心率即可求解.
（2）由题知直线的斜率存在且不为，设直线：，与的方程联立，可得，因为，用代替，同理解得，进而表示出直线的方程，即可得解.
【解答过程】（1）由题意，取渐近线，
右顶点到该渐近线的距离，
又，，解得，，，
的方程为.
（2）由题意知直线的斜率存在且不为，
设直线：，
与的方程联立，消去得，
易知，
由韦达定理得，则.
因为，所以，
用代替（显然此时），
同理得，
得，
直线：，
过定点.
当时，直线的斜率不存在，
易知直线的方程为，过左焦点.
综上，直线过定点.
14．（2023春·湖南岳阳·高二统考期末）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上.
(1)求的方程；
(2)设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为证明：过定点.
【解题思路】（1）根据题意代入相应的点运算求解即可；
（2）设直线的方程以及的坐标，再根据题意结合韦达定理运算求解.
【解答过程】（1）易知双曲线关于轴对称，，关于轴对称，故，都在双曲线上，
若，，在双曲线上，
则，解得，不满足；
若，，在双曲线上，
则，解得，满足；
综上所述：双曲线的方程为.
（2）设直线与直线的斜率分别为，
如果直线斜率不存在，则，不符合题设，
设直线：，，，，
联立，整理得，
，化简得：.
则，，
则 ，
整理得，
即，
化简得：，解得或，
当时，直线的方程为，
令时，，所以直线过定点，
又因为直线不经过点，不合题意；
当时，直线的方程为，
当时，，所以直线过定点；
综上所述：过定点.
15．（2023春·上海嘉定·高二校考阶段练习）双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交双曲线C于B，D两点，且是直角三角形．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率为k1，k2，若，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论．
【解题思路】（1）根据题意及椭圆的性质，建立方程即可求解；
（2）根据题意设直线的方程为，联立椭圆方程，根据根与系数的关系及，建立方程，从而可求出的值，进而可求出直线过的定点.
【解答过程】（1）根据题意可得，，半焦距，则
当时，， ，
所以，所以，
由，得，所以，
，解得或（舍去），
所以，
所以双曲线方程为，
（2）由题意可知直线的斜率不为零，所以设直线为，设，
由，得，
由，得，
所以，
由（1）知，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
化简得，
所以，
所以，
化简得，解得或，
因为M，N是C右支上的两动点，所以，所以，
所以直线的方程为，所以直线恒过定点
16．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知双曲线：的离心率为，且过．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
【解题思路】（1）根据题意可得关于的方程组，解得，即可得到双曲线的方程；
（2）联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理再化简得，即可得出直线恒过定点．
【解答过程】（1）根据题意可得，解得，，
所以双曲线的方程为．
（2）设，，
联立，得，
，
，，又
所以
，
所以，
所以直线的方程为，恒过定点．
17．（2023春·湖北咸宁·高二统考期末）已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍.
(1)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值；
(2)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值.
【解题思路】（1）求出双曲线的方程，设：，：，分别联立与、联立与、联立与的方程可得、、，由可得答案；
（2）延长、分别交渐近线于、两点，设，求出、的方程与的方程联立解得、，可得，设的倾斜角为，利用正切的二倍角公式和三角形面积公式可得答案.
【解答过程】（1）依题意，根据双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍，可得，
即，故双曲线：，
不妨设：，则设：，
联立，可得，联立可得，
联立可得，
从而；
（2）如图，延长，分别交渐近线于，两点，
由（1）可知，则，
设，则：，联立，
解得，
而：，联立，解得，
从而，
设的倾斜角为，则，而，故，
则，因此.
18．（2023春·安徽·高二校联考期末）已知直线过定点，双曲线过点，且的一条渐近线方程为.
(1)求点的坐标和的方程；
(2)若直线与交于，两点，试探究：直线，的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解题思路】（1）将直线化简为即可得出点的坐标，再根据渐近线方程即可求出的方程；
（2）联立双曲线和直线表达出韦达定理，表达出代入韦达定理即可求出结果.
【解答过程】（1）由直线知，，
得定点.
则，解得，
故的方程为.
（2）
由（1）知，，设，.
联立，
整理得，
则，且，
∴且，
∴，，
∴
所以直线，的斜率之和是为定值，定值为3.
19．（2023春·重庆渝中·高二校考期末）已知双曲线C： 的渐近线方程为，其左右焦点为，，点D为双曲线上一点，且的重心G点坐标为.
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)过x轴上一动点作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为（与B不重合），连接并延长交x轴于点Q，问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【解题思路】（1）根据双曲线方程设，，根据重心坐标公式求出，代入原方程即可得到的值，则得到双曲线方程；
（2）设的方程为，，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，写出直线的方程，令，解出，将韦达定理式代入整理得，则得到定值.
【解答过程】（1）因为双曲线的渐近线方程为，
故可设双曲线的方程为，
设，因为的重心点的坐标为，
所以，解得，所以，则代入得，
所以双曲线的标准方程为
（2）由题意知直线的斜率必存在，设的方程为，
，则，联立，
化简得，
则，且，
由韦达定理得
，，
则直线的方程为：，
令，则
，故.
.
20．（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）已知双曲线：（，）的渐近线方程为，焦距为10，，为其左右顶点．
(1)求的方程；
(2)设点是直线：上的任意一点，直线、分别交双曲线于点、，，垂足为，求证：存在定点，使得是定值．
【解题思路】（1）由双曲线的渐近线方程及焦距求解双曲线的方程即可；
（2）设出直线的方程与双曲线的方程联立得到韦达定理，与直线，，联立最终得到点的轨迹方程，即可求解.
【解答过程】（1）依题意：.
（2）证明：如图：
设、，，
直线：，即：.
（记，）代入中得：
.
所以，.
又因为直线：、直线：联立得：
.
.
.
.
即或（舍）.
所以.
所以，点轨迹为，以为圆心，2为半径的圆上，所以，.
21．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【解题思路】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.
【解答过程】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
22．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）从双曲线上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，点分别是双曲线的左、右顶点，点，且 ，.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线分别交双曲线左右两支于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上.
【解题思路】（1）由 可得，再由可得，解方程即可求出，即可得出答案.
（2）设，，直线，联立直线与双曲线的方程可求出的范围，再根据根与系数的关系可得③，设直线方程结合③求解，即可证明点在定直线上.
【解答过程】（1）令，代入双曲线方程可得，所以设，，
因为 ，所以，即，所以.
因为，所以，
所以，，，
所以双曲线的方程为.
（2）设，，直线，
联立可得，，
由可得或，
所以，，
直线 ①
直线 ②
③
由①÷②可得
把③代入上式化简可得，
解得，所以点在定直线上.
23．（2023·安徽安庆·安徽省校考一模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为、，从发出的光线经过图2中的、两点反射后，分别经过点和，且，.
(1)求双曲线的方程；
(2)设、为双曲线实轴的左、右顶点，若过的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）延长与交于，分析可得，令，则，，利用双曲线的定义可得出的值，利用勾股定理求出的值，进而可求得的值，由此可得出双曲线的方程；
（2）分析可知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，联立直线、的方程，求出的值，即可得出结论.
【解答过程】（1）解：如图所示：
延长与交于，因为，，
则，即，
令，则，
所以，，
由双曲线的定义可得，则，
，则，
又因为，即，解得，
所以，，，
由勾股定理可得，则，
故，
因此，双曲线的方程为.
（2）解：若直线与轴重合，则直线与双曲线的交点为双曲线的两个顶点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
易知点、，则，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线、的方程并消去可得，
可得
，解得，
因此，直线与直线的交点在定直线上.
24．（2023·安徽六安·安徽省校考模拟预测）已知点在双曲线上．
(1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点 ，在线段上取异于点 的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．
【解题思路】（1）先求出双曲线方程，设，则过点的切线方程为，联立与两条渐近线方程，得到点坐标，利用求出面积为定值；
（2）考虑直线斜率不存在，不合题意，故直线斜率存在，设直线方程，与双曲线方程联立，设出，得到两根之和，两根之积，再设点的坐标为，由得到，，消去参数得到点恒在一条定直线上.
【解答过程】（1）将代入双曲线中，，
解得，故双曲线方程为，
下面证明上一点的切线方程为，
理由如下：当切线方程的斜率存在时，
设过点的切线方程为，与联立得，
，
由
化简得，
因为，代入上式得，
整理得，
同除以得，，
即，
因为，，
所以，
联立，两式相乘得，，
从而，
故，
即，
令，则，即，
解得，即，
当切线斜率不存在时，此时切点为，切线方程为，满足，
综上：上一点的切线方程为，
设，则过点的切线方程为，
故为过点的切线方程，
双曲线的两条渐近线方程为，
联立与，解得,
联立与，解得,
直线方程为，即，
故点到直线的距离为，
且，
故的面积为
，为定值；
（2）若直线斜率不存在，此时直线与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件，
故直线斜率存在，设直线方程，
与联立得，
由，
因为恒成立，所以，
故，
解得,
设，则，
设点的坐标为，
则由得，，
变形得到，
将代入，解得，
将代入中，解得，
则，
故点恒在一条定直线上.
25．（2023春·辽宁朝阳·高二统考期末）已知，是抛物线的准线与轴的交点，过的直线与交于不同的，两点.
(1)若直线的斜率为，求的面积；
(2)若直线交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【解题思路】（1）首先求出抛物线的准线方程，即可得到点坐标，从而得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，设，，消元、列出韦达定理，利用弦长公式求出，再求出点到直线的距离，即可求出面积；
（2）设，，，即可得到直线的方程，即可得到，再得到直线的方程，即可得到，同理可得直线的方程，即可得解.
【解答过程】（1）抛物线的准线方程为，所以，
若直线的斜率为，则直线的方程为，
由得，设，，
显然，所以，，
所以，
又到直线的距离，
所以.
（2）设，，，则，
所以直线的方程为，即，
又直线过，所以，所以，
同理可得直线的方程为，
又直线过，所以，
同理可得直线的方程为，又，
所以，
即，即，
又，即，
即，所以，解得，
所以直线恒过定点.
26．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知抛物线：焦点为，为上的动点，位于的上方区域，且的最小值为3.
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交于，两点，交于，两点，且，分别为线段和的中点.直线是否恒过一个定点 若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
【解题思路】（1）首先得到抛物线的焦点与准线方程，根据抛物线的定义可得，即可求出，从而得解.
（2）依题意直线和的斜率均存在且不为，设直线的方程为，则直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，即可求出点坐标，同理得到点坐标，即可得到直线的方程，从而得解.
【解答过程】（1）抛物线：焦点为，准线为 ，
设到的距离为，因为位于的上方区域，
根据抛物线的定义可知（当且仅当时取等号），
又的最小值为，所以，解得，
所以抛物线：.
（2）依题意直线和的斜率均存在且不为，
设直线的方程为，则直线的方程为，，，
联立方程得，消去并整理得，
则，则，，
所以，
因为为的中点，所以，同理，
所以直线的方程为，
整理得，所以直线恒过点.
27．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知抛物线 的焦点为，点在直线上运动，直线，经过点，且与分别相切于两点．
(1)求的方程；
(2)试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【解题思路】（1）利用抛物线焦点坐标求得，从而得解；
（2）联立直线 与抛物线方程得到，再由，与抛物线相切求得，化简即可得到，从而得解.
【解答过程】（1）由题意得，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）直线恒过定点，定点坐标为，
由题意可知直线斜率不为0，设直线，
联立，得，
则，
由题意可知直线的斜率均存在，且不为0，，
设直线，与联立得，
则，又，则，解得，
所以直线，即，
同理直线，
又点在上，所以，
消去得，即，
所以，
又，所以，所以，解得，
所以直线，故直线恒过定点.
28．（2023春·四川资阳·高二统考期末）过点作抛物线在第一象限部分的切线，切点为A，F为的焦点，为坐标原点，的面积为1．
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交于C，D两点，交于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
【解题思路】（1）利用导数求解切线方程，即可得切点坐标，由面积公式即可求解，
（2）联立直线与抛物线的方程得韦达定理，结合中点坐标公式可得M，N的坐标，即可由点斜式求解直线的方程，化简即可求解.
【解答过程】（1）由题，，
设切点，则切线方程为，,
的坐标代入，得，解得，由于，所以，
由的面积，解得，
所以的方程为．
（2）由题意可知，直线和斜率都存在且均不为0，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立方程组消去并整理得，，
则，
设，，则，，
所以，
因为为CD中点，所以，
同理可得，
所以，直线MN的方程为，
整理得，所以，直线MN恒过定点．
29．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知抛物线：的焦点为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值．
【解题思路】（1）根据已知中抛物线：的焦点为，求出值，可求抛物线的标准方程；
（2）设出直线、的方程与椭圆方程联立，求出、的坐标，利用斜率公式，即可证明直线的斜率为定值．
【解答过程】（1）抛物线：的焦点为，
，解得，
故抛物线的标准方程为：；
（2）点的横坐标为，即，解得，
故点的坐标为，设，，
由已知设：，即，
代入抛物线的方程得，即，
则，故，
所以，
即，
设：，即，
同理可得，则，
即
直线的斜率，
所以直线的斜率为定值．
30．（2023春·广东·高二校联考期末）设点F为抛物线C：的焦点，过点F且斜率为的直线与C交于A，B两点（O为坐标原点）
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点作两条斜率分别为，的直线，，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知，问：是否存在实数，使得为定值 若存在，求的值，若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合三角形面积求解作答.
（2）联立直线与抛物线C的方程，结合弦长公式求出，由已知建立关系推理作答.
【解答过程】（1）抛物线C：的焦点，直线的方程为，
由消去y并整理得：，设，
则，，
因此，而，解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）存在，使得为定值.
依题意，直线，直线，
由消去y并整理得，设，
则，，，
设，同理，且有，
由，得，即，而，则，
所以存在，使得为定值0.
31．（2023·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为3.
(1)求，的值；
(2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.
【解题思路】（1）根据抛物线的定义求出p，利用两点距离公式求出a；
（2）设切线方程，联立方程韦达定理，结合直线与圆相切得到斜率关系，从而求解纵坐标之积为定值.
【解答过程】（1）根据抛物线的定义，到准线的距离为3，
∴，∴；
∴抛物线的焦点坐标为，∴，∴；
（2）设，过点的直线方程设为，
由得，，
若直线，的斜率分别为，，设，，，的纵坐标分别为，，，，
∴，，
∵到的距离，∴，
∴，，
∴ ，
∴，，，四点纵坐标之积为定值，且定值为64.
32．（2023·河北·模拟预测）已知抛物线的焦点为，圆恰与的准线相切.
(1)求的方程及点与圆上点的距离的最大值；
(2)为坐标原点，过点的直线与相交于A，B两点，直线，分别与轴相交于点P，Q，，，求证：为定值.
【解题思路】（1）由题意可列式求得p，即可得抛物线方程，进而求得点与圆上点的距离的最大值；
（2）设直线l方程并联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，设结合，得出的表达式，进而得的表达式，结合根与系数的关系进行化简，即得结论.
【解答过程】（1）由题意得抛物线C的焦点坐标为，准线方程为，
圆的圆心为，半径为，
由圆恰与的准线相切得，
故，故C方程为，，
故点与圆上点的距离的最大值为；
（2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，
设过点的直线的方程为，，，
联立，整理得，
则且，即且，
则，
设，则，
由可得，即，同理可得,
直线的方程为，
令，得，同理可得,
因为
,
即，故为定值.
33．（2023春·黑龙江大庆·高二校考期末）已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，．
(1)求的标准方程；
(2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上．
【解题思路】（1）当直线的斜率为时，写出直线的方程，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的方程，结合可求出的值，即可得出抛物线的标准方程；
（2）分析可知直线、都不与轴重合，设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，设、，由韦达定理可得，同理可得出，写出直线、的方程，求出这两条直线的交点的横坐标，即可证得结论成立.
【解答过程】（1）解：当直线的斜率为时，直线的方程为，设点、，
联立可得，
，因为，可得，
由韦达定理可得，，
，
整理可得，解得或（舍去），
因此，抛物线的方程为.
（2）证明：当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
所以，直线不与轴重合，同理可知直线也不与轴重合，
设直线的方程为，联立可得，
则可得，
设点、，由韦达定理可得，
设直线的方程为，设点、，同理可得，
直线的方程为，即，
化简可得，
同理可知，直线的方程为，
因为点在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，
交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证明点的横坐标为定值即可，
由，消去，
因为直线与相交，则，
解得
，
所以，点的横坐标为，因此，直线与的交点必在定直线上.
34．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，过点P(2，0)作直线交抛物线于A，B两点．
(1)若的倾斜角为，求△FAB的面积；
(2)过点A，B分别作抛物线C的两条切线，且直线与直线相交于点M，问：点M是否在某定直线上？若在，求该定直线的方程，若不在，请说明理由．
【解题思路】（1）根据已知条件，可得直线的方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式以及点到直线的距离公式，即可求得△FAB的面积；
（2）根据已知条件，结合导数，分别求出两条切线，，再联立两条切线方程，并利用韦达定理的条件，即可得出结果．
【解答过程】（1）∵l的倾斜角为，∴，
∵直线为点P(2，0)，∴直线的方程y＝x－2，即x＝y＋2，
联立直线与抛物线方程，化简可得，
设A，B，则，，
∴，
又∵点F(1，0)到直线的距离是，
∴．
（2）设的方程为，
联立直线与抛物线方程，化简可得，
则，由韦达定理可得＝4m，＝－8，
∴，
不妨设点A在x轴上方，点B在x轴下方，
当时，，求导可得，∴，
∴抛物线C上过点A的切线的方程为，即①，
当时，，求导可得，∴，
∴抛物线C上过点B的切线方程为，即②，
联立①②可得，，
∵，
∴，
∵＝4，∴，
又∵，∴x＝－2，即M的横坐标恒为－2，
∴点M在定直线x＝－2上．
35．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线给出如下三个条件：
①焦点为②准线为③与直线相交所得弦长为．
(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程
(2)已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由．
【解题思路】（1）选 ①②直接得出即可求出，得抛物线方程；选③联立方程求出弦端点横坐标表示出弦长，即可解出，得出抛物线方程；
（2）令，，，利用导数求出切线方程,由点坐标适合方程，可得出直线的方程，代入点可证.
【解答过程】（1）即为，
若选①，抛物线方程为，
选②，由准线为知，，解得，所以抛物线方程为.
选③，代入，解得，所以弦长为，解得，
所以抛物线方程为.
（2）令，，，则，,
，,
即为，
又即，
同理，，
，
而过点即，
点在直线上.
36．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，直线交抛物线于两点（异于坐标原点），交轴于点（），且，直线，且与抛物线相切于点.
(1)求证：三点共线；
(2)过点作该抛物线的切线（点为切点），交于点.
（ⅰ）试问，点是否在定直线上，若在，请求出该直线，若不在，请说明理由；
（ⅱ）求的最小值.
【解题思路】（1）易知焦点，设出两点坐标，根据得到，再由可知两直线斜率相等，可得点坐标的表达式，再利用即可证明三点共线；（2）（ⅰ）分别写出直线，的方程，求出两直线交点的坐标表达式即可得出点在定直线上；（ⅱ）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出的表达式，再求出点到的距离写出面积表达式利用基本不等式即可求得的最小值.
【解答过程】（1）由题可知，设，
又，由得，
所以，即，
所以直线的斜率为，
设，由可得，
所以直线的斜率为，
又，即，所以，得
所以，，
即，则三点共线.
（2）（ⅰ）点在定直线上，理由如下：
直线的斜率为，所以直线的方程为
即
过点的切线斜率为，所以直线的方程为
即，
交于点，解得
因此，点在定直线上.
（ⅱ）由（1）知直线的斜率为，方程为，
即，
联立抛物线方程整理得，
所以，
所以
又因为，所以点到的距离等于点到直线的距离，
而到直线的距离为
所以
而，当且仅当，即时等号成立；
所以，
即的最小值为16.
