2024届高三第四次校际联考
数学（文科）试题
注意事项：
1．本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟．
2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（ ）
1．已知复数（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
2．设全集，集合，，则的值为（ ）
A． B． C．和 D．2
3．设函数是定义在上的奇函数，且，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
4．某工厂生产，，三种不同型号的产品，它们的产量之比为，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本．若样本中型号的产品有20件，则样本容量为（ ）
A．50 B．80 C．100 D．200
5．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．或
6．如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方体中，为线段AC的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．若实数，满足约束条件则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．在三棱锥中，已知底面ABC，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．若函数在区间恰有一个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知平面向量，，若，则_______．
14．一个路口的红绿灯，红灯的时间为40秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，则当你到达该路口时，看见黄灯的概率为________．
15．已知为第二象限角，满足，则_________．
16．过四点、、、中的三点的一个圆的方程为_________．（写出一个即可）
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
设等差数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求．
18．（本小题满分12分）
大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据：
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
零件的横截面积 0.03 0.05 0.04 0.07 0.07 0.04 0.05 0.06 0.06 0.05 0.52
耗材量 0.24 0.40 0.23 0.55 0.50 0.34 0.35 0.45 0.43 0.41 3.9
并计算得，．
（Ⅰ）估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量；
（Ⅱ）求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）．
附：相关系数；．
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）求证：．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求的面积．
（二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，的圆心为，半径为4．
（Ⅰ）写出的一个参数方程；
（Ⅱ）直线与相切，且与轴和轴的正半轴分别交于A，B两点，若，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围．
a2024届陕西省汉中市汉台区高三上学期第四次校际联考数学（文）试题
一、单选题
1．已知复数（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
【答案】A
【分析】根据共轭复数的定义，结合复数虚部的概念求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以共轭复数的虚部为，
故选：A.
2．设全集，集合，则的值为（ ）
A． B．和 C． D．
【答案】C
【分析】利用补集的定义即可求解.
【详解】由题知，因为，
所以，，.
故选：C
3．设函数是定义在上的奇函数，且，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据题意，分别求得和，即可求解.
【详解】因为函数为定义在上的奇函数，可得，
又因为，可得，所以，
所以.
故选：C.
4．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为（ ）
A．50 B．80 C．100 D．200
【答案】C
【分析】直接由分层抽样的定义按比例计算即可.
【详解】由题意样本容量为.
故选：C.
5．在中，内角，，所对的边为，，，若，，，则角的大小为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理及三角形内角和性质求角的大小.
【详解】由，则，而，故或，
显然，所得角均满足.
故选：B
6．如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数、指数函数、对数函数、反比例比偶的单调性进行求解即可.
【详解】A：当时，显然成立，但是，因此本选项不等式不成立；
B：因为反比例函数是正实数集上的减函数，
因此当时，不等式不成立，因此本选项不等式不成立；
C：因为函数是实数集上的减函数，
因此当时，不等式不成立，因此本选项不等式不成立；
D：因为函数是正实数集上的增函数，
因此当时，不等式成立，因此本选项不等式成立，
故选：D
7．如图，在正方体中，F为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据异面直线夹角的定义，连接 ，则 就是所求的角，
解三角形即可.
【详解】
连接，则 ，故为异面直线与所成角或其补角，
连接，则，
因为F为的中点，故，在中，
因为，故，
即异面直线与所成角的大小为；
故选：C．
8．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用焦点重合可得的值，结合双曲线的渐近线方程可得答案.
【详解】因为抛物线的焦点为，所以双曲线的一个焦点也是，
所以，解得，即双曲线的方程为，
其渐近线的方程为：.
故选：A.
9．若实数满足约束条件则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出可行域，结合图形即可得出结果.
【详解】如图所示作出可行域，当过直线和的交点即时，此时.
故选：C
10．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对称轴的性质，结合正弦型函数的周期公式、对称性进行求解即可.
【详解】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以该函数的最小正周期为，
又因为，所以有，即，
因为该函数关于点对称，
所以，
因为，
所以令，
故选：B
11．在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设中点，中点，由直角三角形外接圆为斜边中点，且由题意可知，所以底面，则为三棱锥外接球的球心，可解.
【详解】设中点，中点，
由，，所以的外接圆直径，
且圆心为，
由于底面，，所以底面，
则为三棱锥外接球的球心，
所以外接球的直径，
所以外接球的体积．
故选：B
12．若函数在区间内恰有一个极值点，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意,，
则，
即，
解得，
另外,当时,在区间( 1,1)恰有一个极值点，
当时,函数在区间( 1,1)没有一个极值点，
实数的取值范围为.
故选B.
二、填空题
13．已知平面向量，，若，则 ．
【答案】/
【分析】根据题意，结合，列出方程，即可求解.
【详解】由平面向量，，
因为，可得，解得.
故答案为：.
14．一个路口的红绿灯，红灯的时间为40秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，则当你到达该路口时，看见黄灯的概率为 ．
【答案】
【分析】根据几何概型运算求解即可.
【详解】根据题意得：看见黄灯的概率为.
故答案为：
15．已知为第二象限角，满足，则 ．
【答案】
【分析】运用正、余弦的二倍角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】，
因为为第二象限角，所以，
因此由，
故答案为：
16．过四点、、、中的三点的一个圆的方程为 （写出一个即可）.
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用圆的一般式方程求过三点的圆.
【详解】过，，时，设圆的方程为，
则，解得，
圆的方程是：，即；
同理可得：
过、、时，圆的方程是：；
过，，时，圆的方程是：；
过，，时，圆的方程是：.
故答案为：.（、、、写其中一个即可）
三、解答题
17．设等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出的公差为，利用等差数列通项公式和前项和公式求解即可；
（2）由（1）判断出前六项为正，后四项为负，进而利用前项和公式求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
，，，
解得，，
故.
（2）由（1）知，，
，，，
．
18．大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据：
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
零件的横截面积 0.03 0.05 0.04 0.07 0.07 0.04 0.05 0.06 0.06 0.05 0.52
耗材量 0.24 0.40 0.23 0.55 0.50 0.34 0.35 0.45 0.43 0.41 3.9
并计算得，．
(1)估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量；
(2)求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）．
附：相关系数；．
【答案】(1)横截面积为，耗材量为．
(2)0.94
【分析】（1）根据表格中的数据，结合平均数的计算公式，即可求解；
（2）由表格中的参考数据和相关系数的公式，准确计算，即可求解.
【详解】（1）解：样本中10个这种零件的横截面积的平均值，
样本中10个这种零件的耗材量的平均值，
由此可估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积为，平均一个零件的耗材量为．
（2）解：由表格中的参考数据和相关系数的公式，可得
，
所以这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数.
19．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据勾股定理证得，根据直棱柱的性质和线面垂直的性质定理证得；再根据线面垂直的判定定理证得平面；最后根据面面垂直的判定定理即可证得平面平面.
（2）根据三棱锥等体积及锥体体积公式可求解.
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴.
∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，
∴，
又因为，平面，平面，
∴平面，
又平面ACE，
∴平面平面．
（2）由（1）知，平面，
∴AC为三棱锥的高，且.
由直三棱柱的性质可得：四边形为矩形.
因为，分别为，的中点，
所以，，，
则，
∴．
20．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求证：．
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）利用求导得出的递增区间和递减区间，即可得到结果；
（2）构造新函数，利用导数判断函数的单调性，即可得证.
【详解】（1），∴，
令，解得，
所以当时，，
当时，，
的单调递减区间为，单调递增区间为，
有极小值且为，无极大值．
（2）设函数，
则，，
因为递增，递增，
可得在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，故，
即得证．
21．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出即可求得椭圆的标准方程.
（2）先根据题意写出直线的方程；再联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出点到直线AB的距离；最后利用三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由题意可得：焦距为，离心率,
则，.
又由，得，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）
由（1）知：左焦点为.
则直线的方程为：.
设，，
联立整理可得：，
则，且，.
由弦长公式得，
又因为点到直线AB的距离，
所以．
22．在直角坐标系中，的圆心为，半径为4.
(1)写出的一个参数方程；
(2)直线与相切，且与轴和轴的正半轴分别交于，两点，若，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.
【答案】(1)（为参数）；
(2)，或.
【分析】（1）由题可得的标准方程进而可得的参数方程；
（2）根据题意可得直线的斜率为，然后利用直线与圆的位置关系可得直角坐标方程，进而即得.
【详解】（1）由题意可知，的标准方程为，
所以的参数方程为（为参数）；
（2）由题意可知，直线的斜率为，设其方程为，即，
因为圆心到直线的距离为4，所以，
化解得，解得，或，
所以直线的直角坐标方程为，或，
所以直线的极坐标方程为，或.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据函数的解析式，去掉绝对值号，分，和讨论，即可求得不等式的解集；
（2）求得二次函数的最大值，以及分段函数的最小值，根据恒由公共点，列出关于的不等式，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，
当时，令，即，所以；
当时，此时恒成立，所以；
当时，令，即，所以，
所以不等式的解集为.
（2）由二次函数，
知函数在取得最大值，
因为，在处取得最小值2，
所以要是二次函数与函数的图象恒有公共点.
只需，即.
【点睛】本题主要考查了含有绝对值的不等式的求解，以及二次函数与分段函数的性质的应用，着重考查了分类讨论与转化思想，以及推理与计算能力.
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