第七章 复 数 章末检测试卷二
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．(2＋2i)(1－2i)等于( )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
2．已知z＝2－i，则z(＋i)等于( )
A．6－2i B．4－2i C．6＋2i D．4＋2i
3．复数在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．在复平面内，一个正方形的三个顶点分别对应的复数是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )
A．3＋i B．3－i C．1－3i D．－1＋3i
5．已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a等于( )
A．－1 B．1 C．－3 D．3
6．已知集合A＝{1,2z2，zi}，B＝{2,4}，i为虚数单位，若A∩B＝{2}，则纯虚数z为( )
A．i B．－i C．2i D．－2i
7．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于( )
A．2－2i B．2＋2i C．－2＋2i D．－2－2i
8．定义复数的一种运算z1* z2＝(等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，为z的共轭复数，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下面关于复数z＝的四个说法中，正确的有( )
A．|z|＝2
B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i
D．z的虚部为－1
10．下列说法中错误的是( )
A．2＋3i>1＋2i
B．虚轴上的点表示的数都是纯虚数
C．若一个数是实数，则其虚部不存在
D．若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限
11．设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是( )
A．若|z1＋z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z11＝z22
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
12．已知集合M＝{m|m＝in，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是( )
A．(1－i)(1＋i) B.
C. D．(1－i)2
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．i是虚数单位，复数＝________.
14．已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则a＋b＝________.
15．若复数z＝a＋i(a∈R)与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则a＝________.
16．已知复数z1＝cos θ－i，z2＝sin θ＋i(θ∈R)，则z1z2的实部的最大值为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
(1)z1z2；(2).
18．(12分)复平面内有O，A，B，C四点，点O为原点，点A对应的复数是3＋i，向量对应的复数是－2－4i，向量对应的复数是－4－i，求点B对应的复数．
19．(12分)已知m∈R，复数z＝(m－2)＋(m2－9)i.
(1)若z对应的点在第一象限，求m的取值范围；
(2)若z的共轭复数与复数＋5i相等，求m的值．
20．(12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若
|z1－2|<|z1|，求a的取值范围．
21．(12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
22．(12分)设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设μ＝，求证：μ为纯虚数；
(3)求ω－μ2的最小值．
章末检测试卷二(第七章)
1．D 2.C 3.A 4.D 5.C 6.D
7．A 8.B 9.BD 10.ABC 11.BC 12.BC 13.4－i 14.－1 15.±1 16.
17．(1)z1z2＝－7－9i.
(2)＝＋i.
18．解 ∵对应的复数是2＋4i，
对应的复数是4＋i，
＝－，
∴对应的复数为
(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i，
又＝＋，
∴对应的复数为
(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i，
∴点B对应的复数为zB＝5－2i.
19．解 (1)由题意得
解得m>3，
所以m的取值范围是{m|m>3}．
(2)因为z＝(m－2)＋(m2－9)i，
所以＝m－2＋(9－m2)i，
因为与复数＋5i相等，
所以解得m＝－2.
20．解 由题意，得z1＝
＝2＋3i，
z2＝a－2－i，2＝a－2＋i，
所以|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|
＝|4－a＋2i|＝，
|z1|＝，
又因为|z1－2|<|z1|，
所以<，
所以a2－8a＋7<0，解得1
21．解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得a2＋b2＝2，
z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2.
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，
z－z2＝1－i.
所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，
所以S△ABC＝|AC|×1
＝×2×1＝1.
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
所以点A(－1，－1)，B(0,2)，
C(－1，－3)，
所以S△ABC＝|AC|×1
＝×2×1＝1.
综上，△ABC的面积为1.
22．(1)解 ∵z是虚数，
∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
∴ω＝z＋＝x＋yi＋
＝x＋yi＋
＝x＋＋i，
可得
x2＋y2＝1 |z|＝1，
此时，ω＝2x －
(2)证明 μ＝＝
＝＝i，
∵y≠0，∴μ为纯虚数．
(3)解 由ω－μ2＝2x－2，化简得
ω－μ2＝2(x＋1)＋－3
≥2－3＝1.
当且仅当x＋1＝，
即x＝0时，ω－μ2取得最小值1.
