六安市重点中学2023-2024学年高一上学期期末考试
数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．已知命题，，则它的否定形式为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．是的（ ）条件
A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要
3．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
4．设，，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，其中表示不超过x的最大整数，下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．的值域为
C．为周期函数，且最小正周期 D．与的图像恰有一个公共点
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若，，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数的图象过点，下列说法中正确的有（ ）
A．若，则在上单调递减
B．若在上有且仅有4个零点，则
C．若把的图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数，则的最小值为2
D．若，则与有3个交点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一个扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为________．（用弧度制表示）
14．已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动初相为________．
15．________．
16．已知方程，则当时，该方程所有实的和为________．
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知集合，集合．
（1）求；
（2）若集合，且，求实数a的取值范围．
18．（本小题满分12分）
如图，以Ox为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
19．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）填写下表，并用“五点法”画出在上的图象；
x 0
1 0
（2）将的图象横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）当时，求函数的值域．
21．（本小题满分12分）
六安一中新校区有一处矩形地块ABCD，如图所示，米，万米，为了便于校园绿化，计划在矩形地块内铺设三条绿化带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．
（1）设，，试将的周长l表示成的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，为增加夜间照明亮度，决定在两条绿化带OE和OF上按装智能照明装置，已知两条绿化带每米增加智能照明装置的费用均为m元，当新加装的智能照明装置的费用最低时，求大小（备注：）
22．（本小题满分12分）
已知函数（且）．
（1）求的定义域；
（2）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的范围；
（3）是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
六安市重点中学2023-2024学年高一上学期期末考试
数学试卷参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C C D B A A D BC BD AC ABC
二、填空题
13．
14．将点带入可得，．
15．原式．
16．令，，作图可知，图像都关于点中心对称且，图像在上共有8个交点，故根的和为8．
三、解答题
17．（1），． 4分
（2）当时，，即，满足条件； 7分
当时，且，无解．综上所述：实数a的取值范围． 10分
18．（1）由题得，，，
所以． 6分
（2）由题得，，，所以，
所以． 12分
19．（1），列表如下：
0
x 0
1 0 0
4分
图象如图：
7分
（2）的图象横坐标扩大为原来的2倍得，
再向左平移个单位后，得，
令，，得，，
所以函数的对称中心为，． 12分
20．（1）， 2分
所以最小正周期为， 4分
由，
得单调递减区间是； 6分
（2）当时，，则，即时，最小值为1，
，即时，有最大值为2，所时的值为． 12分
21．（1）在中，由，可得，
在中，由，可得，
又在中，由勾股定理得
，
所以，． 5分
（2）根据题意，要使费用最低，只需最小即可，
由（1）得，，
设，则，
得，
由，得，
令，易知在上为增函数，
所以当时，最小，此时． 12分
22．（1）由，得或．
∴的定义域为． 2分
（2）令，
∵，∴在上为减函数；
又∵函数在有且只有一个零点，
即在上有且只有一个解，∵函数在上的值域为，
∴b的范围是． 7分
（3）假设存在这样的实数a，使得当的定义域为时，
值域为，由且，可得．
又由（2）知在上为增函数，在上为减函数．
则在上为减函数，得
即在上有两个互异实根，因
即，有两个大于1相异实数根．
则 12分
