漳州市2023-2024学年（上）期末高中教学质量检测
高二数学试题
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知为等比数列，，，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．已知圆的标准方程为，则与圆有相同的圆心，且经过点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插人节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．72
4．已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，为双曲线的两个焦点，为虚轴的一个端点，，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，点在坐标轴上，若，则满足条件的点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长是（ ）
A．6 B． C． D．8
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．已知直线，，则（ ）
A．过定点 B．当时，
C．当时， D．当时，的斜率不存在
10．2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法
B．共有14种安排方法
C．若“绿水晶”去展馆，有8种安排方法
D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法
11．已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为线段中点 B．若，则
C．存在直线，使得 D．面积的最小值为8
12．已知数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．可能为1 B．数列是等比数列
C． D．若，的最大值为64
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．圆在点处的切线方程为________．
14．已知，则________．
15．数列满足，且，则数列的通项公式________．
16．已知双曲线的左焦点为，以为圆心、为半径作圆，若圆上存在点，双曲线的右支上存在点使得，则双曲线的离心率的取值范围为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知的展开式中，所有二项式系数的和为32．
（1）求的值；
（2）若展开式中的系数为，求的值．
18．（12分）
已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
19．（12分）
已知圆的圆心在轴上，且经过，两点，过点的直线与圆相交于，两点．
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程．
20．（12分）
已知圆，动圆与圆内切，且与定直线相切，设动圆圆心的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于、两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程．
21．（12分）
已知数列的前项和为，满足．
（1）求的通项公式；
（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和．
22．（12分）
已知为坐标原点，，的坐标分别为，，动点满足直线与的斜率之积为定值，设动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设直线与曲线相交于，两点，直线，，的斜率分别为，，（其中），的面积为，以，为直径的圆的面积分别为，．若，，恰好构成等比数列，求的取值范围．
漳州市2023-2024学年（上）期末高中教学质量检测
高二数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．C 7．B 8．D
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．ABD 10．AB 11．ABD 12．BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
【解析】
（1）∵所有二项式系数的和为32，
∴， 3分
∴． 5分
（2）二项式展开式的通项公式为 7分
∴展开式中的系数为， 9分
∴解得． 10分
18．（12分）
【解析】
（1）∵，，成等比数列，且公差
∴ 2分
∴，解得 4分
∴ 6分
（2）∵ 9分
记的前项和为
∴
12分
注：不扣分．
19．（12分）
【解析】
（1）∵圆的圆心在轴上，
∴设圆的方程为，
∵圆经过，两点，
∴， 2分
解得， 4分
∴圆的方程为． 5分
（2）记圆心到直线的距离为，
∵，解得， 6分
当直线的斜率不存在时，，
此时圆心到直线的距离，符合； 7分
当直线的斜率存在时，，即，
由， 8分
解得， 10分
∴直线，即． 11分
综上，直线为或． 12分
20．（12分）
【解析】
（1）方法一：设圆心到直线的距离为，则由题意得，即，从而动点到定点的距离与到定直线的距离相等， 2分
故点的轨迹为抛物线，设的方程为，，由题意， 4分
∴的方程为 5分
方法二：设动点，由题意得， 3分
整理得，∴的方程为 5分
（2）方法一：易知直线斜率不为0，故可设方程为，，，
联立得：， 6分
，， 7分
，
由题意，两点位于轴异侧，所以，符号相反，
所以 10分
解得，所以直线的方程为 12分
方法二：易知直线斜率不为0，故可设方程为，，，
联立得：， 6分
，， 7分
则
8分
原点到直线的距离， 9分
所以 10分
解得，所以直线的方程为 12分
21．（12分）
【解析】
（1）当时，有，解得； 1分
当时，有，联立条件，
得，
即，即； 4分
所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，
因此，． 6分
（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大排列依次为：
，，，，，，…
数列前6项为2，，，，．
． 8分
注意到，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列，
，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列，
11分
． 12分
22．（12分）
【解析】
（1）设的坐标为，
依题意，得 2分
整理得．
的轨迹是长轴长为4，短轴长为2的椭圆，不含长轴两端点． 4分
（2）设直线的方程为（，且），
联立，得， 5分
，即，
设，，
则，， 6分
因为，，成等比，所以，即，
即，所以，
因为且及，上式可解得， 8分
所以，，，，且
到的距离，
，
因且
所以，
从而． 12分
