§8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
1．设a，b，c是直线，则( )
A．若a⊥b，c⊥b，则a∥c
B．若a⊥b，c⊥b，则a⊥c
C．若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等
D．若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c是异面直线
2．(多选)四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是( )
A．MN与PD是异面直线 B．MN∥平面PBC
C．MN∥AC D．MN⊥PB
3．在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
4. 如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的大小为( )
A．90° B．60° C．45° D．0°
5．如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，则异面直线DE与AB所成角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
7．经过空间一点P作与直线a成60°角的直线，这样的直线有________条．
8. 如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________.
9. 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
10. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．求证：CD1⊥EF.
11. 如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
12．当动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
13. (多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是( )
A．AB⊥EF
B．AB与CM所成的角为60°
C．EF与MN是异面直线
D．MN∥CD
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角为________．
15. 如图，在圆柱OO1中，底面半径为1，OA⊥O1B，异面直线AB与OO1所成角的正切值为，则圆柱的高为________．
16．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝2，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，求AA1的长．
8．6.1 直线与直线垂直
1．C 2.ABD 3.A 4.B 5.B
6．A [如图，连接B1G，CF，
∵A1E∥B1G，
∴∠FGB1(或其补角)为异面直线A1E与GF所成的角．
连接FB1，在△FB1G中，
B1F＝＝，
B1G＝＝，
FG＝＝
＝，
B1F2＝B1G2＋FG2.
∴∠FGB1＝90°，
即异面直线A1E与GF所成的角为90°.]
7．无数
8．5
解析 如图，取AD的中点P，
连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，
PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，
∴MN＝＝5.
9．解 如图，取AC的中点F，连接EF，BF.
在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，
∴∠BEF(或其补角)即为异面直线BE与CD所成的角．
在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，∴AB＝AC＝1.
在Rt△EAB中，AB＝1，
AE＝AD＝，∴BE＝.
在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，
∴BF＝.
∴BE＝BF，
即△EBF为等腰三角形，
在等腰△EBF中，
cos∠FEB＝＝＝，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
10．证明 如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝BC，
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，
∴CD1⊥EF.
11．B [如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.
∵E，F分别是CD，AB的中点，
∴FG∥AC，EG∥BD，
且FG＝AC，EG＝BD.
∴∠EFG为EF与AC所成的角(或其补角)．
又∵AC＝BD，∴FG＝EG.
又∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，
∴∠FGE＝90°，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.]
12．C [设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈，连接AD1，AP(图略)，
由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角，
在△AD1P中，AD1＝，
AP＝D1P＝，
故cos∠AD1P＝，
又∵x∈，
∴ cos∠AD1P＝∈，
又∠AD1P∈(0，π)，
∴∠AD1P∈.]
13．AC [把正方体的平面展开图还原为原来的正方体(图略)可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有AC正确．]
14．90°
解析 如图，取AA1的中点E，连接EN，BE，
设BE交B1M于点O，易知EN∥BC，且EN＝BC，
∴四边形BCNE是平行四边形，
∴BE∥CN，
∴∠BOM(或其补角)即为异面直线B1M与CN所成的角．
由BB1＝AB，AE＝BM，
∠EAB＝∠MBB1，
得Rt△BB1M≌Rt△ABE，
∴∠BMB1＝∠AEB，
∴∠BOM＝90°.
15．4
解析 如图，过B作OO1的平行线交底面圆O于点H，连接OH，AH，
则∠ABH即为异面直线AB与OO1所成的角，
tan∠ABH＝，
易知OH∥O1B且OH＝O1B，
由OA⊥O1B可知，OA⊥OH，
所以AH＝＝，
又tan∠ABH＝，
所以圆柱OO1的高BH＝＝4.
16．解 如图所示，连接CD1，AC.
在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC＝2，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1所成的角，
∵A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
∴∠AD1C＝90°.
又易知AD1＝D1C，
∴△ACD1是等腰直角三角形，
∴AD1＝AC.
∵AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝2×sin 60°×2＝6，
∴AD1＝AC＝3，
∴AA1＝＝.
