长郡中学2023年下学期高一期未考试
数学
时量：120分钟 满分：150分得分
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在平行四边形中，是边上一点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
5.若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，若命题“，或”为真命题，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（ ）
A. B. C.9 D.27
8.若且，则可以记；若且，则可以记.实数，且，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知关于的不等式的解集为，或，则（ ）
A.
B.不等式的解集是
C.
D.不等式的解集是，或
10.设正实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数，函数的图象由图象向右平移个单位长度得到，则下列关于函数的说法正确的有（ ）
A.的图象关于点对称
B.的图象关于直线对称
C.在上单调递增
D.在上单调递减
12.定义在上的函数满足为偶函数，，函数满足，若与恰有2023个交点，从左至右依次为，，则下列说法正确的是（ ）
A.为奇函数 B.2为的一个周期
C. D.
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知幂函数的图象过点，则__________.
14.已知向量满足，则__________.
15.若，则的值为__________.
16.已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为__________.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
（1）；
（2）.
18.（本小题满分12分）
解下列不等式：
（1）；
（2）.
19.（本小题满分12分）
如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.
（1）求的值；
（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
20.（本小题满分12分）
已知函数的最小正周期为，
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设，求不等式的解集.
21.（本小题满分12分）
已知函数，对于任意的，都有，当时，，且.
（1）判断的奇偶性和单调性；
（2）设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）设函数，若不等式对任意的恒成立.求实数的取值范围；
（3）设，当为何值时，关于的方程有实根？
长郡中学2023年下学期高一期京考试
数学参考答案
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B D B B A B
6.B 【解析】当时，，由于题中条件可得，对）恒成立，
当时，显然不符合条件；
当时，的2个根为，
和大前提取交集结果为，故答案为B.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 AD BCD ABC ACD
9.AD 【解析】由关于的不等式解集为或，知-3和2是方程的两个实根，且，故A正确；
根据根与系数的关系知：，
，
选项B：不等式化简为，解得：，故B不正确；
选项C：，故C不正确；
选项D：不等式化简为：解得：或，故D正确；故选AD.
10.BCD 【解析】对于选项，，
当且仅当时取得等号，故A错误；
对于选项，，故，
当且仅当时取得等号，故B正确；
对于C选项，，
当且仅当时取得等号，故C正确；
对于D选项，
，
当且仅当时取得等号成立，故D正确；故选BCD.
11.ABC 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数为，
对于，当，可得，正确；
对于，当时，，正确；
对于C，当时，递增，故正确；
对于D，当时，递增，故错误，
故选.
12.ACD 【解析】为偶函数，则函数的图象关于直线对称，
，则函数的图象关于点对称，
即.
选项，令，则，即，所以为奇函数，A正确；
选项，，所以函数是周期函数，4为其一个周期，，显然，故B错误；
选项，，所以函数的图象关于直线对称，因此函数与的交点也关于对称，则，故正确；
选项，，故D正确.故选ACD.
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.4 14. 15.
16.
【解析】分别为与图象交点的横坐标，
而与的图象关于直线对称，如图所示：
，
.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17.【解析】（1）原式，
（2）原式.
18.【解析】（1）不等式，移项得，通分得，
可转化为且，
解得，不等式解集为.
（2）令
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
综上所述：不等式解集为.
19.【解析】（1）依题意，设函数表达式为，
水轮半径为，所以振幅，
水轮每分钟按逆时针方向转动1.5圈，故角速度为，
水轮上点从水中浮现时开始计时，所以，且，
解得，
所以函数表达式为，
故；
（2）令，
可得.
盛水筒出水后至少约就可到达最高点.
20.【解析】（1）由题意，函数，
因为的最小正周期，所以，所以函数，
令，
解得，
所以函数单调递增区间为；
（2）因为，所以，
所以，
解得，
因为，当时，，当时，，
所以原不等式的解集为或.
21.【解析】（1）令，代入可得，
令，代入，可得，
所以，可得函数为奇函数；
任取，且，
因为，即，
令，则，可得，
又因为时，，且，所以，
所以，即，所以函数是上的减函数.
（2），即，
所以
，
令，即，
因为函数是上的减函数，所以，即，
令
则函数的图象，如图所示，
结合图象，可得：当时，函数有4个零点，
即实数的取值范围为.
22.【解析】（1）由函数是定义域在上的偶函数，
则对于，都有，即，
即对于，都有，得.
（2）结合（1）可得，
则，
令，
由在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，得，
则不等式对任意的恒成立等价于在上恒成立，
所以即可，
又
由对勾函数的性质可得当时，取得最小值，
所以的最小值为，即，
所以实数的取值范围为.
（3）令，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值2，
所以，则，
令，则，
则原问题转化为关于的方程的根的个数，
对于有解，令，则表示开口向上的抛物线，
，
①当时，或，此时对称轴，
函数在有唯一零点；
②当且在有唯一零点时，
，可得：或；
③当在有两个不相等零点时，
可得：.
综上：或.
