2023~2024学年度第一学期期末学情练习卷
高二数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章~第五章5.2。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数列……的一个通项公式可以是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线经过两点，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则（ ）
A． B．1 C． D．2
4．已知是等差数列的前项和，且，则（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
5．已知圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上．则实数（ ）
A．4 B．6 C． D．
6．在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知是数列的前项和，且满足，则（ ）
A．128 B．130 C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在等比数列中，，则的公比可能为（ ）
A． B． C．2 D．4
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为 B．的面积的最大值为2
C．若，则的最小值为 D．的最小值为
12．如图，在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面上的一点，且平面，则下列说法正确的是（ ）
A． B．存在点，使得
C．的最小值为 D．的最大值为6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知数列的通项公式是，则7是该数列中的第___________项．
14．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为___________．
15．曲线在点处的切线方程为___________．
16．已知抛物线的焦点为，直线均过点分别交抛物线于四点，若直线斜率乘积的绝对值为8，则当直线的斜率为时，的值最小，最小值为___________．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知直线经过直线与的交点．
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线在坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
18．（本小题满分12分）
已知圆与圆关于直线对称．
（1）求圆的方程；
（2）求直线被圆截得的弦的长．
19．（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作斜率为4直线，交抛物线于两点，求．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱雉中，四边形是菱形，．点是棱的中点．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若的前项和为，证明：．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2023~2024学年度第一学期期末学情练习卷·高二数学
参考答案、提示及评分细则
1．B A选项，当时，，故A错误；B选项，当时，，当时，，当时，，当时，，故B正确；C选项，当时，，故C错误；D选项，当时，，故D错误．故选B．
2．D 因为，所以该直线的倾斜角为，故选D．
3．C 因为，所以，所以，故选C．
4．C ，解得，所以，故选C．
5．B 圆C：的标准方程为，所以直线经过圆心，即，解得．故选B．
6．C
．故选C．
7．A 由已知可得，当时，由可得，两式作差可得，则，又，所以数列是从第二项开始以3为公比的等比数列，则，．故选A．
8．C设，由双曲线的定义可得，在中利用余弦定理有，解得．可得，设双曲线的焦距为，在中利用余弦定理有，解得．故双曲线的离心率为．
9．BC ，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误．故选BC．
10．ABC 设的公比为，所以，解得或或．故选ABC．
11．ABD 的周长，故A正确；因为点是椭圆上异于左、右顶点的一点，所以，所以的面积，故B正确；，所以，故C错误；当直线与椭圆相切时，即得，所以，解得，所以的最小值为．故D正确．故选ABD．
12．ACD 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，所以，，所以，所以平面，又平面，所以．故A正确；
设，所以，所以，即，所以，解得，又，故B错误；
，所以，故C正确；，所以，，所以．故D正确．故选ACD．
13．25根据题意，得，解得，所以7是该数列中的第25项．
14．因为双曲线的焦点到渐近线的距离为4，所以，所以该双曲线的渐近线方程为．
15．因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．
16．由题意，抛物线的焦点坐标为，设直线的方程为，联立方程组整理得，
设，
所以，
设直线的斜率为，同理可得，
可得，
又由，得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为18，此时．
17．解：（1）由解得即．
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即；
（2）显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，令，解得，
令，解得，
所以，
解得或，所以直线的方程为或．
18．解：（1）设，则
解得
所以圆的方程为；
（2）因为点到直线的距离，
所以．
19．解：（1）由题意知，，抛物线的准线为，
所以焦点关于的准线的对称点为，所以，
解得，
所以抛物线的方程为；
（2）由（1）知，所以直线的方程为．
设，由，得，所以，
所以．
20．（1）证明：连接．在菱形中，，所以．
在中，，所以，所以．
在中，，所以，所以．
又平面，所以平面．
又平面，所以；
因为四边形是菱形，所以．又平面，所以平面．又平面，所以；
（2）解：记，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．
所以．
所以．设平面的一个法向量为．
所以即令，解得，所以平面的一个法向量为．
因为是的中点，所以，所以，又．设平面的一个法向量为．所以即令，解得，所以平面的一个法向量为
所以，即平面与平面所成角的余弦值为．
21．（1）解：当时，．
因为，
所以．
当时，，
又，
所以，所以，
当时，符合．所以；
（2）证明：设，有……
可知数列单调递减，可知，有，
可知．
当时，有．
当时，，
当时，有
由上可知．
22．解：（1）由题意知
解得，
所以椭圆的方程是；
（2）设，
由得，
所以，
所以
所以，解得．
所以存在点，使得为定值．
