2024年中考数学压轴题专项
训练04 二次函数的应用大题专练
类型一、销售问题
例1．（2023·浙江湖州·统考一模）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴．已知某种品牌服装的成本价为每件100元，每件政府补贴20元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：．
(1)若第一个月将销售单价定为160元，政府这个月补贴多少元
(2)设获得的销售利润（不含政府补贴）为（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大销售利润
(3)若每月获得的总收益（每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴）不低于28800元，求该月销售单价的最小值．
【答案】(1)8400元
(2)200元
(3)140元
【分析】（1）把代入，求出销售的件数，从而得到政府补贴金额；
（2）根据总利润=数量×单件利润列出函数关系式，再利用二次函数的最值求解；
（3）每月获得的总收益为，列出函数关系式，再令，求出x值，结合函数的性质得到最小值．
【详解】（1）解：在中，令，则，
∴政府这个月补贴元；
（2）由题意可得：，
∵，
∴当时，w有最大值30000．
即当销售单价定为200元时，每月可获得最大利润30000元．
（3）设每月获得的总收益为，
由题意可得：，
令，则，
解得：或，
∵，则抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，，
∴该月销售单价的最小值为140元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最值的求解，此题难度不大．
类型二、图形面积问题
例2．（2023春·湖北武汉·九年级校联考期中）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
(1)设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____，花卉B的种植面积是______，花卉C的种植面积是_______．
(2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
【答案】(1)；；
(2)32m或10m
(3)168000元
【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案；
（2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）先根据花卉A与B的种植面积之和不超过建立不等式，得到，再设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，得到y关于x的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案．
【详解】（1）解：∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，
∴花卉A的面积为： ，
花卉B的面积为： ，
花卉C的面积为： ，
故答案为：；；；
（2）解：∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
∴A，B两种花卉的总产值分别为百元和百元，
∵A，B两种花卉的总产值相等，
∴，
∴，
解方程得或，
∴当育苗区的边长为32m或10m时，A，B两种花卉的总产值相等；
（3）解：∵花卉A与B的种植面积之和为： ，
∴，
∴，
∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，
∴，
∴，
∴，
∴当时，y随x的增加而减小，
∴当时，y最大，且（百元），
故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．
【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程和函数表达式．
类型三、拱桥问题
例3．（2023·安徽黄山·统考一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成.矩形的边米，米，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为.
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑轴，米，点是上方抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点.
①求的最大值.②某工人师傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围.
【答案】(1)；
(2)①当时，有最大值；②
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数表达式；
（2）①先求出点坐标为，再求出 ，进而求出 ，根据二次函数性质即可求出当时，有最大值；
②根据师傅能刷到的最大垂直高度是米，得到当时，他就不能刷到大门顶部，令，得到解得，结合二次函数性质即可得到他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点的坐标为，
设抛物线的表达式为，
将点 代入抛物线解析式得，
解得 ，
∴抛物线对应的函数的表达式为；
（2）解：①将代入中，得，
∴点，
设直线的解析式为，
将点代入得，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴当时，有最大值，为；
②师傅能刷到的最大垂直高度是米，
∴当时，他就不能刷到大门顶部，
令，即
解得，
又是关于的二次函数，且图象开口向下，
∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是．
【点睛】本题考查为二次函数的实际应用，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知识，熟知二次函数的性质并灵活应用是解题关键．
类型四、投球问题
例4．（2023·浙江丽水·统考一模）某天，小明在足球场上练习“落叶球”（如图1），足球运动轨迹是抛物线的一部分，如图2，足球起点在处，正对一门柱，距离，足球运动到的正上方，到达最高点2.5m，此时．球门宽，高．
(1)以水平方向为轴，为原点建立坐标系，求足球运动轨迹抛物线的函数表达式．
(2)请判断足球能否进球网？并说明理由．
(3)小明改变踢球方向，踢球时，保持足球运动轨迹抛物线形状不变的前提下，足球恰好在点处进入球网．若离点8m处有人墙，且，人起跳后最大高度为2.2m，请探求此时足球能否越过人墙，并说明理由．
【答案】(1)足球运动轨迹抛物线的函数表达式为
(2)足球不能进球网，理由见解析
(3)足球能越过人墙，理由见解析
【分析】（1）由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，将，代入求解值，进而可得结果；
（2）将代入，求值，然后和2比大小，进而可得结论；
（3）由题意，设抛物线的函数表达式为．如图，四边形是矩形，则，在中，由勾股定理求得，将代入得，，解得，可得，证明，则，解得，把代入抛物线解析式，求值，然后与2.2比大小，进而可得结论．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，
将代入得，，解得，
∴足球运动轨迹抛物线的函数表达式为；
（2）解：足球不能进球网，理由如下：
当时，，
∵，
∴足球不能进球网．
（3）解：足球能越过人墙，理由如下：
∵足球运动轨迹抛物线形状不变，并经过点，
∴设抛物线的函数表达式为．
如图，
由题意知，四边形是矩形，则，
在中，由勾股定理得，
∵足球恰好在点处进入球网，
∴抛物线经过点，
将代入得，，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得，
把代入得，，
∵，
∴足球能越过人墙．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的应用，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
类型五、喷水问题
例5．（2023·山东潍坊·统考一模）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到l的距离为d米．
(1)求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围．
【答案】(1)6米
(2)，
(3)
【分析】（1）根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可，再求出时，的值，由此即可得；
（2）法一：根据对称性求出平移方式，再根据平移方式即可求出点的坐标；法二：先根据二次函数平移的特点求出下边缘的解析式，进而求出B的坐标即可；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过点，下边缘抛物线，计算即可．
【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，则设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
（2）法一：∵上边缘抛物线对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴将点C向左平移得到点B的坐标为
法二：∵下边缘抛物线可以看做是上边缘抛物线向左平移t个单位长度得到的，
∴可设，
将点代入得，（舍去）
∴下边缘抛物线的关系式为，
∴当时，，
解得，（舍去），
∴点B的坐标为；
（3）解：如图，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为．
当抛物线恰好经过点时，．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
类型六、几何动点问题
例6．（2023·山东青岛·统考一模）如图，在四边形中，，，，点P、Q分别是线段和上的动点．点P以的速度从点D向点C运动，同时点Q以的速度从点A向点D运动，当其中一点到达终点时，两点停止运动，将沿翻折得到，连接交直线于点E，连接．设运动时间为，回答下列问题：
(1)当t为何值时，？
(2)求四边形的面积关于时间的函数关系式；
(3)是否存在某时刻t，使点Q在平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）过点A作于点K，由勾股定理得，继而得到，可证四边形是矩形，继而得出，由平行线分线段成比例得到，由题意得， 则 ，代入计算即可；
（2）过点Q作，交于点T，交于点H，先由锐角三角函数推出，再根据四边形的面积，代入化简即可；
（3）设 交于点E，过点Q作于点F，由折叠的性质得 ， ，根据角平分线的性质定理可得，即可表示出，由代入求解即可．
【详解】（1）解：过点A作于点K，
，
由勾股定理得，
，
，
∴是等腰三角形，
，
又，
，
四边形是矩形，
，
，
若，
，
由题意得， 则，
，
解得，
所以，时，；
（2）过点Q作，交于点T，交于点H，
，
由（1）知，，
∴，
，
，
，
四边形的面积
，
整理得，
即四边形的面积关于时间的函数关系式为；
（3）如图，设 交于点E，过点Q作 于点F，
由折叠的性质得 ，，
平分，，
,
点Q在平分线上，，
，
，
，
即，
解得，
经检验是分式方程的解且符合题意，
所以时，点Q在平分线上．
【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质与判定、平行线分线段成比例、轴对称的性质、解直角三角形、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握知识点是解题的关键．
类型七、图形运动问题
例7．（2023·天津·校联考一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是正方形，顶点，点在轴正半轴上，点在第二象限，的顶点，点．
(1)如图①，求点的坐标；
(2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点A，O，B，C的对应点分别为．设，正方形与重合部分的面积为．
①如图②，当时，正方形与重合部分为五边形，直线分别与轴，交于点，与交于点，试用含的式子表示；
②若平移后重合部分的面积为，则的值是_______（请直接写出结果即可）．
【答案】(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）根据正方形的性质以及坐标与图形即可解答；
（2）①求得是等腰直角三角形，得到，再利用即可求解；
②分当和时两种情况讨论，分别求解即可．
【详解】（1）解：由，得，
四边形正方形，
．
，；
（2）解：①，，，
，．
由平移知，四边形是正方形，得，．
四边形是矩形．
，，．
，
，．
，
．
．
当时，
．
②当时，
由题意得，
解得或（舍去）；
当时，点与点N重合，
此时，
∴，
∴，
由题意得，
解得或（舍去）；
综上，的值是或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，平移的性质，图形的面积，二次函数的性质等知识，根据题意分别画出图形，通过面积的和差关系求出S关于t的函数表达式是解题的关键．
一．解答题（共24小题）
1．（2023 宁波一模）抗击疫情期间，某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数），部分对应值如下表：
每件售价（元） 9 11 13
每天的销售量（件） 105 95 85
（1）求y与x的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元．
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），问：当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣5x+150（8≤x≤15）；
（2）13元；
（3）当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）由题意知，利润w＝（x﹣8）（﹣5x+150）＝﹣5（x﹣19）2+605，令w＝425，则﹣5（x﹣19）2+605＝425，计算求解满足要求的x值即可；
（3）根据二次函数的性质以及x的取值范围进行求解即可．
【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，（8≤x≤15），
将（9，105），（11，95）代入得，
解得，
∴y＝﹣5x+150，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+150（8≤x≤15）；
（2）由题意知，利润w＝（x﹣8）（﹣5x+150）＝﹣5（x﹣19）2+605，
令w＝425，
则﹣5（x﹣19）2+605＝425，
解得x＝13或x＝25（不合题意，舍去），
∴每件消毒用品的售价为13元；
（3）由（2）知w＝﹣5（x﹣19）2+605（8≤x≤15），
∵﹣5＜0，
∴当8≤x≤15时，w随着x的增大而增大，
∴当x＝15时，w＝525，此时利润最大，
∴当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
2．（2023 莱西市一模）某公司电商平台经销一种益智玩具，先用3000元购进一批．售完后，第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进益智玩具的数量比第一次少了25件．销售时经市场调查发现，该种益智玩具的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x（元/件），周销售量y（件）的三组对应值数据．
x 40 70 90
y 180 90 30
（1）求第一次每件玩具的进价；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）售价x为多少时，第一周的销售利润W最大？并求出此时的最大利润．
【答案】（1）第一次每件玩具的进价为20元
（2）y＝﹣3x+300
（3）当x＝60时，第一周的销售利润W最大，此时的最大利润为4800元
【分析】（1）设第一次每件玩具的进价为m元，则第二次每件玩具的进价为（1+20%）m元，根据题意列出方程求解即可；
（2）用待定系数法将x＝40，y＝180；x＝70，y＝9代入y＝kx+b，求解即可；
（3）根据题意得到W＝y（x﹣20）＝﹣3（x﹣60）2+4800，根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】解：（1）设第一次每件玩具的进价为m元，则第二次每件玩具的进价为（1+20%）m元，由题意得，
，
解得m＝20，
经检验m＝20是原方程的解且符合题意，
答：第一次每件玩具的进价为20元；
（2）设y＝kx+b，把x＝40，y＝180；x＝70，y＝9分别代入得，
，
解得，
∴y＝﹣3x+300，
即y关于x的函数解析式是y＝﹣3x+300；
（3）W＝y（x﹣20）
＝（﹣3x+300）（x﹣20）
＝﹣3x2+360x﹣6000
＝﹣3（x﹣60）2+4800，
∵a＝﹣3＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝60时，第一周的销售利润W最大，此时的最大利润为4800．
【点睛】此题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、二次函数的应用等知识，读懂题意，正确列式是解题的关键．
3．（2023 天山区一模）一名高校毕业生响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的种植成本为16元/千克、设销售时间为x（天），通过一个月（30天）的试销，该种水果的售价P（元/千克）与销售时间x（天）满足如图所示的函数关系（其中0≤x≤30，且x为整数）．已知该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克．
（1）直接写出售价P（元/千克）与销售时间x（天）的函数关系式；
（2）求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）；
（2）试销第30天时，当天所获利润最大，最大利润是1408元．
【分析】（1）分当0≤x≤20时，当20＜x≤30时两种情况求出对应的函数关系式即可；
（2）分当0≤x≤20时，当20＜x≤30时两种情况根据利润＝（售价﹣成本价）×数量列出W关于x的函数关系式，再利用一次函数和二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）当0≤x≤20时，设售价P（元/千克）与销售时间x （天）的函数关系式为P＝kx+b，
把（0，34），（20，24）代入得，
∴，
∴；
由函数图象可知当20＜x≤30时，P＝24；
综上所述，；
（2）设第x天的利润为W，
∵该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克，
∴第x天的销售量为60+4（x﹣1）＝（4x+56）千克，
当0≤x≤20时，
∴2x2+72x﹣28x+1008＝﹣2x2+44x+1008＝﹣2（x﹣11）2+1250
∵﹣2＜0，
∴当x＝11时，W最大，最大为1250；
当20＜x≤30时，W＝（24﹣16）（4x+56）＝32x+448，
∵32＞0，
∴当x＝30时，W最大，最大为32×30+448＝1408；
∵1408＞1250，
∴试销第30天时，当天所获利润最大，最大利润是1408元．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键．
4．（2023 武汉模拟）某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场地面积雪厚达40cm，整个赛道长150m，全天共可容纳约3300人滑雪嬉戏．小明和小华相约去体验滑雪，小明从赛道顶端A处下滑，测得小明离A处的距离s（单位：m）随运动时间x（单位：s）变化的数据，整理得下表．
滑行时间x/s 0 1 2 3 4
滑行距离s/m 0 6 14 24 36
经验证小明离A处的距离s与运动时间x之间是二次函数关系．
小明出发的同时，小华在距赛道终点30m的B处操控一个无人机沿着赛道方向以2m/s的速度飞向小明，无人机离A处的距离y（单位：m）与运动时间x（单位：s）之间是一次函数关系．
（1）直接写出s关于x的函数解析式和y关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）小明滑完整个赛道需要耗时多久？
（3）小明出发多久后与无人机相遇？
【答案】（1）s关于x的函数解析式为s＝x2+5x，y关于x 的函数解析式为y＝﹣2x+120；
（2）小明滑完整个赛道需要耗时10s；
（3）小明出发8s与无人机相遇．
【分析】（1）设s关于x的函数解析式为s＝ax2+bx+c，用待定系数法可得s＝x2+5x；根据题意得y＝150﹣30﹣2x＝﹣2x+120，
（2）在s＝x2+5x中，令s＝150可解得小明滑完整个赛道需要耗时10s；
（3）由x2+5x＝﹣2x+120可解得小明出发8s与无人机相遇．
【详解】解：（1）设s关于x的函数解析式为s＝ax2+bx+c，
将（0，0），（1，6），（2，14）代入得：
，
解得，
∴s＝x2+5x；
根据题意得y＝150﹣30﹣2x＝﹣2x+120，
∴s关于x的函数解析式为s＝x2+5x，y关于x 的函数解析式为y＝﹣2x+120；
（2）在s＝x2+5x中，令s＝150得：
150＝x2+5x，
解得x＝10或x＝﹣15（舍去），
∴小明滑完整个赛道需要耗时10s；
（3）由x2+5x＝﹣2x+120得：x＝8或x＝﹣15，
∴小明出发8s与无人机相遇．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
5．（2023 邯郸模拟）将小球（看作一点）以速度v1竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至为0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度y（m）与时间t（s）的函数解析式为两部分之和，其中一部分为速度v1（m/s）与时间t（s）的积，另一部分与时间t（s）的平方成正比．若上升的初始速度v1＝10m/s，且当t＝1s时，小球达到最大高度．
（1）求小球上升的高度y与时间t的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升的最大高度；
（2）如图，平面直角坐标系中，y轴表示小球相对于抛出点的高度，x轴表示小球距抛出点的水平距离，向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度v2（m/s），发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度y（m）与时间t（s）的函数解析式与（1）中的解析式相同．
①若v2＝5m/s，当 时，小球的坐标为 （，） ，小球上升的最高点坐标为 （5，5） ；求小球上升的高度y与小球距抛出点的水平距离x之间的函数关系式；
②在小球的正前方的墙上有一高 的小窗户PQ，其上沿P的坐标为（6，），若小球恰好能从窗户中穿过（不包括恰好去中点P，Q，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度v2的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣5t2+10t，小球上升的最大高度是5m；
（2）①（，）；（5，5）；yx2+2x；
②v2＜4．
【分析】（1）根据题意可设y＝at2+10t，根据当t＝1s时，小球达到最大高度，有1，故a＝﹣5，y＝﹣5t2+10t，令t＝1得y＝5，从而小球上升的最大高度是5m；
（2）①把ts代入（1）中所求解析式，求出此时小球纵坐标，再根据s＝vt可得出此时的横坐标；根据（1）中t＝1s时，取得最大高度，可求出最高点的横坐标；
②先分别求出小球刚好到P，Q点时t的值，再求出对应的v2的值，即可得出v2的范围．
【详解】解：（1）根据题意可设y＝at2+10t，
∵当t＝1s时，小球达到最大高度，
∴抛物线y＝at2+10t的对称轴为直线t＝1，即1，
解得a＝﹣5，
∴上升的高度y与时间t的函数关系式为y＝﹣5t2+10t，
在y＝﹣5t2+10t中，令t＝1得y＝5，
∴小球上升的最大高度是5m；
（2）①当ts时，y＝﹣5×（）2+10，
x＝v2t＝5，
∴小球的坐标为（，）；
由（1）可知，t＝1s时，取得最大高度，
x＝v2t＝5×1＝5，
∴小球上升的最高点坐标为（5，5）；
由题意可知，x＝v2t，
∴t，
∴y＝﹣5×（）2+10x2+2x；
∴小球上升的高度y与小球距抛出点的水平距离x之间的函数关系式是yx2+2x；
故答案为：（，）；（5，5）；
②∵PQm，P的坐标为（6，），
∴Q（6，）；
当小球刚好击中P点时，﹣5t2+10t，
解得t＝1.5或t＝0.5，
∵t＞1，
∴t＝1.5，
此时v24m/s，
当小球刚好击中Q点时，﹣5t2+10t，
解得t或t，
∵t＞1，
∴t，
此时v2m/s，
∴v2的取值范围为：v2＜4．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，读懂题意，理解小球的水平距离和竖直距离是解题关键．
6．（2023 崂山区一模）跳台滑雪简称“跳雪”，选手不借助任何外力、从起滑台P处起滑，在助滑道PE上加速，从跳台E处起跳，最后落在山坡MN或者水平地面上．运动员从P点起滑，沿滑道加速，到达高度OE＝42m的E点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角坐标系，OM＝38m，ON＝114m，设MN所在直线关系式为y＝kx+b．
甲运动员起跳后，与跳台OE水平距离xm、竖直高度ym之间的几组对应数据如下：
水平距离x/m 0 10 20 30 40
竖直高度y/m 42 48 50 48 42
（1）求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式；
（2）运动员得分由距离得分+动作分+风速得分组成距离得分：运动员着陆点到跳台OE水平距离为50m，即得到60分，每比50m远1米多得2分；反之，当运动员着陆点每比50m近1米扣2分．距离分计算采取“2舍3入法”，如60.2米计为60米，60.3米则计为60.5米．
动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分．
风速得分：由逆风或者顺风决定．
甲运动员动作分、风速加分如下表：
距离分 动作分 风速加分
50 ﹣2.5
请你计算甲运动员本次比赛得分．
【答案】（1）yx2x+42；
（2）甲运动员本次比赛得分为147.5分．
【分析】（1）利用待定系数法可得结论；
（2）根据题意知，是求水平距离的，即把y＝0时对应的x值求出取正数值，代入到总分的式子即可算出．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点（10，48），（30，48），
∴对称轴是：直线x20，
∴顶点坐标为（20，50），
设甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y＝a（x﹣20）2+50，
将（0，42）代入得：a（0﹣20）2+50＝42，
∴a，
∴甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y（x﹣20）2+50x2x+42；
（2）根据题意可得，当y＝0时，即（x﹣20）2+50＝0，
解得：x1＝70，x2＝﹣30（舍），
则60+2×（70﹣50）+50+（﹣2.5）＝147.5，
所以甲运动员本次比赛得分为147.5分．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题关键：一是要会用待定系数法求解析式，二是会求与x轴的交点．
7．（2023 镇平县模拟）为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线AED和矩形ABCD构成．已知矩形的长BC＝12米，宽AB＝3米，抛物线最高点E到地面BC的距离为6米．
（1）按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线AED的解析式；
（2）冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱PQ和NM，如图②所示．
①若两根支撑柱的高度均为5.25米，求两根支撑柱之间的水平距离；
②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁PN，搭建成一个矩形“脚手架”PQMN，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和w的最大值，请你帮管理处计算一下．
【答案】（1）抛物线AED的解析式为：yx2+6；
（2）①两根支撑柱之间的水平距离为6米；
②“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和w的最大值为18米．
【分析】（1）由题意可得出顶点E的坐标，设出抛物线解析式为y＝ax2+6，然后再把点A的坐标代入即可求出；
（2）①根据（1）中解析式可得出当y＝5.25时对应x的值，两个x值相减即可得出水平距离；
②设N点坐标为（m，m2+6），列出w关于m的解析式，由函数的性质求最大值即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12（米），
∴点A（﹣6，3），点D（6，3），
根据题意和图象可得，顶点E的坐标为（0，6），
∴可设抛物线AED的解析式为：y＝ax2+6，
把点A（﹣6，3）代入解析式可得：36a+6＝3，
解得：a，
∴抛物线AED的解析式为：yx2+6；
（2）①当y＝5.25时，x2+6＝5.25，
解得x＝±3，
3﹣（﹣3）＝3+3＝6（米），
∴两根支撑柱之间的水平距离为6米；
②设N点坐标为（m，m2+6），
则MQ＝2m，MNm2+6，
∴w＝2m+2（m2+6）m2+2m+12（m﹣6）2+18，
∵0，
∴当m＝6时，w有最大值，最大值为18，
∴“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和w的最大值为18米．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，解题关键求出函数的解析式．
8．（2023 宝应县一模）科学研究表明：一般情况下，在一节45分钟的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在0≤x≤8时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间x（分钟）满足关系y＝2x+68，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）的图象呈抛物线形，到第16分钟时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束．
（1）当x＝8时，注意力指数y为 84 ，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）的函数关系式是 yx2+4x+60 ；
（2）若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）
（3）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）（参考数据：
【答案】（1）84，yx2+4x+60；
（2）在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；
（3）教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．
【分析】（1）根据题意把x＝8代入y＝2x+8即可得出答案，由题意可设出抛物线的顶点解析式为：y＝a（x﹣16）2+92，再把（8，84）代入即可解出答案；
（2）根据y≥80，可列出2x+68≥80和x2+4x+60≥80两种情况，在自变量的取值范围下解出不等式，即可求出答案；
（3）设出未知数，根据题中条件可列出方程：2t+68（t+24﹣16）2+92，解出方程的解即可．
【详解】解：（1）根据题意，把x＝8代入y＝2x+68可得：y＝84，
由题意可知，抛物线的顶点坐标为（16，92），
∴可设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣16）2+92，
把（8，84）代入可得：64a+92＝84，
解得：a，
∴y（x﹣16）2+92x2+4x+60，
故答案为：84，yx2+4x+60；
（2）由学生的注意力指数不低于80，即y≥80，
当0≤x≤8时，由2x+68≥80可得：6≤x≤8；
当8＜x≤45是，则x2+4x+60≥80，即（x﹣16）2+92≥80，
整理得：（x﹣16）2≤96，解得：8＜x≤16+4，
∴16+46＝10+420（分钟），
答：在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；
（3）设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题，
∵10+424，
∴0≤t＜6，
要使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，
则当x＝t和当x＝t+24时对应的函数值相同，
即2t+68（t+24﹣16）2+92，整理得：（t+16）2＝384，
解得：，（舍），
∴t≈4，
答：教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，解题关键：一是利用顶点式求出解析式，二是利用条件列出不等式，三是求出根据当x＝t和当x＝t+24时对应的函数值相同求出t的值．
9．（2023 昭阳区一模）新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？
（3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？
【答案】（1）y＝﹣2x2+20x+400；
（2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为130元或120元；
（3）当每套书销售定价为125元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为1250元．
【分析】（1）根据题意先用含有x的式子表示出销售量，然后根据销售利润＝销售量×单件利润，即可写出y与x的函数关系式；
（2）根据（1）所求，列出方程﹣2x2+60x+800＝1200，解出x的值，然后再利用140减去x即可算出售价；
（3）把一般式配成顶点式，即可求出当x＝15时，y有最大值，然后利用140减去x即可算出售价．
【详解】解：（1）由题意可得：销售量＝（20+2x）套，
则y＝（20+2x）（140﹣x﹣100）
＝（2x+20）（40﹣x）
＝﹣2x2+60x+800，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x2+60x+800；
（2）由题意可得：当y＝1200时，即﹣2x2+60x+800＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20，
∴140﹣10＝130（元），140﹣20＝120（元），
答：若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为130元或120元；
（3）由（1）可知：y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵﹣2＜0，
∴当x＝15时，y有最大值，最大值为1250，
此时，售价＝140﹣15＝125（元），
答：当每套书销售定价为125元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为1250元．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程以及二次函数的实际应用，解题关键：一是写出函数关系式，二是配成顶点式．
10．（2023 大丰区一模）比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．
已知：某建筑OA的高度为44.1m，将一个小铁球P（看成一个点）从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离d（m）与运动时间t（s）之间的函数表达式是：d＝7t，在竖直方向物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝4.9t2．以点O为坐标原点，水平向右为x轴，OA所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线．
（1）求小铁球从抛出到落地所需的时间；
（2）当t＝1时，求小铁球P此时的坐标；
（3）求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）小铁球从抛出到落地所需的时间为3秒；
（2）（7，39.2）；
（3）yx2+44.1（0≤x≤21）．
【分析】（1）根据题意可知，当小铁球落地时，此时下落高度h＝OA＝44.1（m），解出t的值即可；
（2）由t＝1，分别先算出d和h的值，则此时点P横坐标与d的值相同，然后根据h的值和OA的长算出此时的纵坐标，即可求出此时的坐标；
（3）根据（1）中条件求出点B的坐标，然后根据顶点坐标A设出解析式，再把点B代入即可算出答案．
【详解】解：（1）根据题意可得，OA的高度为44.1m，且竖直方向物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝4.9t2，
∴当h＝44.1时，小铁球落到地面，
∴4.9t2＝44.1，解得：t1＝3，t2＝﹣3（舍），
答：小铁球从抛出到落地所需的时间为3秒；
（2）当t＝1时，则d＝7×1＝7，
h＝4.9×12＝4.9，
∴yp＝44.1﹣4.9＝39.2，
∴小铁球P此时的坐标为（7，39.2）；
（3）由（1）可知小铁球从抛出到落地所需的时间为3秒，
∴d＝7×3＝21，
∴OB＝21（m），即B（21，0），
根据题意可得，顶点坐标为A（0，44.1），
∴可设抛物线解析式为：y＝ax2+44.1，
将点B（21，0）代入得：441a+44.1＝0，
解得：a，
∴抛物线的函数表达式为：yx2+44.1（0≤x≤21）．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的实际应用，解题关键是求出点B的坐标．
11．（2023 南昌模拟）一个运动员跳起投篮，球的运行路线可以看做是一条抛物线，如图1所示，图2是它的示意图，球的出手点D到地面EB的距离为2.25m（即DE＝2.25m，当球运行至F处时，水平距离为2.5m（即F到DE的距离为2.5m），达到最大高度为3.5m，已知篮圈中心A到地面EB的距离为3.05m，篮球架AB可以在直线EB上水平移动．
（1）请建立恰当的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式；
（2）若篮球架离人的水平距离EB为4.5m，问该运动员能否将篮球投入篮圈？若能，说明理由；若不能，算一算将篮球架往哪个方向移动，移动多少距离，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈．
【答案】（1）该抛物线的解析式为y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5；
（2）将篮球架往E方向移动0.5m，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈．
【分析】（1）以EB为x轴，DE为y轴建立平面直角坐标系，根据题意得出D，F坐标，设出抛物线解析式的顶点式，再把D的坐标代入解析式求出a即可；
（2）把y＝3.05代入解析式求出x的值，与4.5比较即可得出结论．
【详解】解：（1）以E为原点，以EB为x轴，DE为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则D（0，2.25），F（2.5，3.5），
设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5，
将（0，2.25）代入，得2.25＝a（0﹣2.5）2+3.5，
解得：a＝﹣0.2，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5；
（2）当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，
解得x1＝1（舍去），x2＝4，
∵4.5＞4，
∴该运动员不能将篮球投入篮圈，4.5﹣4＝0.5（m），
∴将篮球架往E方向移动0.5m，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．
12．（2023 义乌市校级模拟）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都可以近似的看成抛物线的形状；如图，若在一个斜坡CD上按水平距离间隔90米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20米，如果按如图建立坐标系（x轴在水平方向上），那么下垂的电缆可以看成抛物线．
（1）求出图中点A及点B的坐标；
（2）求斜坡坡面CD所在直线的解析式；
（3）假设这种电缆下垂的安全高度是12米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值大于或等于12米时，符合安全要求，否则不符合安全要求；探索：上述这种电缆的架设是否符合安全要求．
【答案】（1）A（﹣6，0），B（30，）；
（2）坡面CD所在直线的解析式为yx；
（3）这种电缆的架设不符合安全要求．
【分析】（1）先令y＝0，解方程求出A点坐标，再根据两个塔柱的水平距离间隔90米，求出OE＝30，再把x＝30代入抛物线解析式，求出y的值即可；
（2）根据已知和（1）中结论可以求出C，D坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）设电缆与坡面的铅直高度为H米，得出Hx2x﹣（x）（x+15）2+11，由函数性质求出最小值与12比较即可．
【详解】解：（1）令y＝0，则x2x＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣6，
∴OA＝6，
∵AE＝90，
∴OE＝30，
当x＝30时，y30230，
∴A（﹣6，0），B（30，）；
（2）∵AC＝BD＝20，A（﹣60，0），B（30，），
∴C（﹣60，﹣20），D（30，），
设直线CD解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴坡面CD所在直线的解析式为yx；
（3）设电缆与坡面的铅直高度为H米，则：
Hx2x﹣（x）
（x+15）2+11，
∵0，
∴x＝﹣15时，H有最小值11，
∵1112，
∴这种电缆的架设不符合安全要求．
【点睛】本题主要考查了二次函数在实际生活中的应用，应熟练运用二次函数的性质求最值．
13．（2023 城关区一模）如图1为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置OA，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高高度为3m．水柱落地处离池中心的水平距离为3m．小刚以柱形喷水装置OA与地面交点O为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，柱形喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2．
（1）求表示该抛物线的函数表达式；
（2）若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度．
【答案】（1）该抛物线函数表达式为；
（2）柱形喷水装置的高度为m．
【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，3），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，将（3，0）代入得，求出a的值即可；
（2）令y＝0，得出y的值即可．
【详解】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点为（1，3），
因此设该抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
∵该抛物线经过点（3，0），
∴0＝a（3﹣1）2+3，
解得，
∴该抛物线函数表达式为；
（2）当x＝0时，，
解得．
答：柱形喷水装置的高度为m．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
14．（2023 城阳区一模）某农户家的菜地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系．大棚的一端固定在墙体AO离地面高米的点A处，另一端固定在地面的点B处，已知大棚上横截面抛物线顶部某点离地面的垂直高度y（米）与其离墙体AO的水平距离x（米）之间的关系满足ybx+c，现测得点B到墙体AO之间的水平距离为10米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求大棚的最高点到地面的距离；
（3）该农户想在大棚横截面抛物线顶部两侧，紧贴抛物线顶部安装照明灯，且照明灯到地面垂直高度为米，则两个照明灯的水平距离是多少米？
【答案】（1）抛物线的表达式为yx2x；
（2）大棚的最高点到地面的距离为3米；
（3）两个照明灯的水平距离是5米．
【分析】（1）把A（0，），B（10，0）代入ybx+c，解方程组求出b，c的值即可；
（2）把（1）中解析式化为顶点式，由函数的性质求最值；
（3）当y时，x2x，解方程得出方程的解，再求出|x1﹣x2|即可．
【详解】解：（1）∵抛物线经过A（0，），B（10，0），
则，
解得，
∴抛物线的表达式为yx2x；
（2）yx2x（x﹣4）2+3，
∵0，
∴当x＝4时，y有最大值，最大值为3，
∴大棚的最高点到地面的距离为3米；
（3）当y时，x2x，
整理得2x2﹣16x+7＝0，
解得x1＝4，x2＝4，
∴|x1﹣x2|＝445．
∴两个照明灯的水平距离是5米．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，不仅要求对二次函数的相关性质很熟练，还要结合具体的实际意义解此类题目．
15．（2023 亳州二模）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形DEFG．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．灌溉车到绿化带的距离OD为dm．当OH＝1.5m，DE＝3m，EF＝0.5时，解答下列问题.
（1）①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求出点B的坐标；
（2）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
【答案】（1）①喷出水的最大射程OC为6m；
②点B的坐标为（2，0）；
（2）d的取值范围是2≤d≤21．
【分析】（1）①由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；
②由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
（2）根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【详解】解：（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
②∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
（2）∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴0.5（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+23＝21，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤21．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
16．（2023 市南区一模）榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，今年情况有所不同，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为10元/kg，设售价为x元/kg，图中线段是总进价y1（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额y2（元）与x关系的图象，y2经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为15元时，销售量为200kg．
（总利润＝总销售额﹣总进价）
（1）直接写出t、p、q的值；
（2）分别求出y1，y2与x的关系式；
（3）当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）t＝10，p＝2000，q＝3000；
（2）y1与x的关系式为y1＝﹣100x+3500；y2与x的关系式为y2＝﹣10x2+350x；
（3）当售价定为22.5元时，该水果店出售这批榴莲所获利润最大，最大利润是1562.5．
【分析】（1）根据图象和题意确定t，p，q的值；
（2）用待定系数法求出y1，y2的函数解析式即可；
（3）根据总利润＝总销售额﹣总进价列出函数解析式，由函数的性质求最值．
【详解】解：（1）∵当售价为15元时，销售量为200kg，
∴q＝200×15＝3000，
此时进价为10×200＝2000（元），
∴p＝2000；
当总进价为2500元时，y1＝y2，即利润为0，
此时进价＝售价，
∴t＝10；
（2）设y1＝kx+b，把（10，2500）和（15，2000）代入解析式：
，
解得，
∴y1＝﹣100x+3500；
设y2＝mx2+nx，把（10，2500）和（15，3000）代入解析式得：
，
解得，
∴y2＝﹣10x2+350x，
∴y1与x的关系式为y1＝﹣100x+3500；y2与x的关系式为y2＝﹣10x2+350x；
（3）该水果店出售这批榴莲所获利润为w元，
w＝y2﹣y1＝﹣10x2+350x﹣（﹣100x+3500）＝﹣10x2+450x﹣3500＝﹣10（x﹣22.5）2+1562.5，
∵﹣10＜0，
∴当x＝22.5时，w有最大值，最大值1562.5，
∴当售价定为22.5元时，该水果店出售这批榴莲所获利润最大，最大利润是1562.5．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
17．（2023 临潼区二模）2023兔年春节期间，全国各地举办焰火晚会，庆祝农历新年的到来．九年级学生王毅也在父母的陪同下前往指定区域燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，王毅燃放的手持烟花发射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的规律如下表：
飞行时间t/s 0 0.5 1 4.5 ……
飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5 ……
（1）求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m．王毅发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求．
【答案】（1）h＝﹣2t2+16t+2；（2）花弹的爆炸高度符合安全要求．
【分析】（1）用待定系数法确定二次函数的解析式即可求解；
（2）这种烟花每隔2秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同，得第二发花弹的函数解析式，令第一发和第二发花弹的解析式相等，从而求出二者高度相等的时间，再代入函数解析式即可解得时间，从而得高度，进一步就可得结论．
【详解】解：（1）∵每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，
∴设其解析式为：h＝at2+bt+c，
把点（0，2），（0.5，9.5），（1，16）代入得：，
解得，
故相应的函数解析式为：h＝﹣2t2+16t+2；
（2）∵这种烟花每隔2s发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径、爆炸时的高度均相同，小杰发射出的第一发花弹的函数表达式为h＝﹣2（t﹣4）2+34，
∴第二发花弹的函数表达式为h′＝﹣2（t﹣6）2+34．
皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，
则令h＝h′，得﹣2（t﹣4）2+34＝﹣2（t﹣6）2+34，
解得t＝5，此时h＝h′＝32＞30m，
故花弹的爆炸高度符合安全要求．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，需要先根据表格中数据描点，得出函数图象，再求出其解析式，分析变化趋势，可以代值验算，第三问需要从实际问题分析转变成数学模型，从而得解．
18．（2023 武侯区校级模拟）2023年3月，成都市政府印发《成都市促进新能源汽车产业发展的实施意见》，其中大力促进新能源汽车消费成为抓手之一．已知某商家对一款新能源汽车进行销售，市场调研发现：月销量y（单位：辆）与销售价x（单位：万元/辆，且14≤x≤21）满足一次函数关系，部分数据如表：
x 16 17 18 19 20
y 30 27 24 21 18
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若商家购进这款汽车的价格为12万元，试问：当x为多少时，总利润最大？并求出此时利润的最大值．
【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝﹣3x+78（14≤x≤21）；
（2）当x为19万元时，总利润最大，利润最大为147万．
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y与x的函数关系式为y＝﹣3x+78（14≤x≤21）；
（2）设利润为W万元，可得W＝（x﹣12）（﹣3x+78）＝﹣3x2+114x﹣936＝﹣3（x﹣19）2+147，根据二次函数性质可得答案．
【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（16，30），（17，27）代入得：
，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣3x+78（14≤x≤21）；
（2）设利润为W万元，
根据题意得：W＝（x﹣12）（﹣3x+78）＝﹣3x2+114x﹣936＝﹣3（x﹣19）2+147，
∵﹣3＜0，
∴当x＝19时，W取最大值，最大值为147，
答：当x为19万元时，总利润最大，利润最大为147万．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
19．（2023 驿城区校级二模）如图，在一次足球比赛中，守门员在距地面1米高的P处大力开球，一运动员在离守门员6米的A处发现球在自己头上的正上方距离地面4米处达到最高点Q，球落到地面B处后又一次弹起．已知足球在空中的运行轨迹是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度为1米．
（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式及第一次落地点B与守门员（点O）的距离；
（2）运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点O，A，B，C在同一条直线上，结果保留根号）
【答案】（1）y（x﹣6）2+4，第一次落地点B与守门员（点O）的距离为46；
（2）8米．
【分析】（1）根据题意可知足球第一次落地之前的运动路线对应的抛物线的顶点坐标为（6，4），过点（0，1），然后即可求得相应的函数解析式，再令y＝0求出相应的x的值，即可得到第一次落地点B与守门员（点O）的距离；
（2）根据题意可知BC的长度与第一段函数解析式中y＝3时对应的两个横坐标差的绝对值的长度相等，然后即可得到BC的长，从而可以计算出AC的长度，本题得以解决．
【详解】解：（1）设足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式为y＝a（x﹣6）2+4，
∵点（0，1）在该函数图象上，
∴a（0﹣6）2+4＝1，
解得a，
即足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式为y（x﹣6）2+4，
当y＝0时，0（x﹣6）2+4，
解得x1＝46，x2＝﹣46（不符合题意，舍去），
∴第一次落地点B与守门员（点O）的距离为46；
（2）将y＝3代入y（x﹣6）2+4，得x3＝26，x4＝﹣26，
∴BC＝（26）﹣（﹣26）＝4，
∴AC＝AB+BC＝（46﹣6）+48，
即他应再向前跑8米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
20．（2023 青岛一模）振华公司对其办公楼大厅一块6×6米的正方形ABCD墙面进行了如图所示的设计装修（四周阴影部分是八个全等的矩形，用材料甲装修，中心区域是正方形EFGH，用材料乙装修）．两种材料的成本如下：
材料 甲 乙
单价（元/米2） 800 600
设矩形的较短边AM的长为x米，装修材料的总费用为y元．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）当中心区域的边长EF不小于2米时，预备材料的购买资金28000元够用吗？请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣3200x2+9600x+21600；（2）预备材料的购买资金28000元够用．
【分析】（1）根据图形边长即可表示出MN的长；根据正方形和长方形的面积乘以每平方米的单价即可写出函数解析式；
（2）根据题意确定x的取值范围，根据函数的增减性即可得结论．
【详解】解：（1）根据题意，得AD＝AB＝6，AM＝MN＝x，
四周阴影部分是八个全等的矩形，
∴EF＝6﹣4x．
y＝800×8x（6﹣2x）+600（6﹣4x）2
＝﹣3200x2+9600x+21600．
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣3200x2+9600x+21600．
（3）∵MN不小于2，
∴6﹣4x≥2，
∴0＜x≤1．
y＝﹣3200x2+9600x+21600，
＝﹣3200（x）2+28800，
∵﹣3200＜0，图象开口向下．
当y＝28000时，即﹣3200（x）2+28800＝28000，
解得x1＝2，x2＝1．
根据图象可知：0≤x≤1时，y的最大值不超过28000，但不符合0＜x≤1的要求．
答：预备材料的购买资金28000元够用．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
21．（2023 莱西市一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，AD＝10cm，点P、Q分别是线段CD和AD上的动点．点P以2cm/s的速度从点D向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从点A向点D运动，当其中一点到达终点时，两点停止运动，将PQ沿AD翻折得到QP'，连接PP'交直线AD于点E，连接AC、BQ．设运动时间为t（s），回答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥AC？
（2）求四边形BCPQ的面积S（cm2）关于时间t（s）的函数关系式；
（3）是否存在某时刻t，使点Q在∠PP'D平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）St2t+72（0≤t≤8）；
（3）5．
【分析】（1）过A作AH⊥CD于H，由勾股定理得DH＝8（cm），再证△DPQ∽△DCA，得，即可得出答案；
（2）过Q作QG⊥BA于G，交CD于F，证△QGA∽△AHD，得，求出QGt，则QF＝6t，再由梯形面积公式和三角形面积公式即可求解；
（3）过A作AH⊥CD于H，点Q在∠P′PD平分线上，过Q作QF⊥CD于F，由角平分线的性质得QE＝QF，再求出DEt，则QEt﹣10，得t﹣10＝6t，求解即可．
【详解】解：（1）如图1，过A作AH⊥CD于H，
则四边形ABCH是矩形，
∴CH＝AB＝8cm，AH＝BC＝6cm，
在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH8（cm），
∴CD＝CH+DH＝16（cm），
当PQ∥AC时，△DPQ∽△DCA，
∴，即，
解得：t，
即当t为时，PQ∥AC；
（2）如图3，过Q作QG⊥BA于G，交CD于F，
则GF＝AH＝6cm，AH∥QF，
∴△QFD∽△AHD，
∵AB∥CD，
∴△QGA∽△QFD，
∴△QGA∽△AHD，
∴，
即，解得：QGt，
∴QF＝6t，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是梯形，
∴四边形BCPQ的面积S＝S梯形ABCD﹣S△ABQ﹣S△PDQ（8+16）×68t2t×（6t）t2t+72，即St2t+72（0≤t≤8）；
（3）存在，理由如下：
如图4，过A作AH⊥CD于H，点Q在∠P′PD平分线上，过Q作QF⊥CD于F，
由（3）可知，QF＝6t，
由翻折的性质得：DE⊥PP'，
∴QE＝QF，∠DEP＝90°，
∴cosD，即，
解得：DEt，
∴QE＝DE﹣DQt﹣（10﹣t）t﹣10，
∴t﹣10＝6t，
解得：t＝5，
即存在某时刻t，使点Q在∠P′PD平分线上，t的值为5．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定由V型在、勾股定理、角平分线的性质、锐角三角函数定义、梯形面积公式、三角形面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
22．（2023 市南区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm．点E从A出发，沿AB方向向B匀速运动，速度是1cm/s；同时，点F从B出发，沿BC方向向C匀速运动，速度是2cm/s．将△AEF沿AF折叠，E的对称点为G．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题：
（1）t为何值时，BE＝BF；
（2）设四边形ABFG的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使得四边形AEFG为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）t；（2）S6t；（3）存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上，此时ts；（4）不存在时刻t，使得四边形AEFG为菱形，理由见解析．
【分析】（1）利用勾股定理求得BC，利用折叠的性质表示出线段AE，BF，BE，列出关于t的方程即可求得结论；
（2）过点F作FH⊥AB于点H，利用相似三角形的判定与性质求得线段FH，利用三角形的面积公式和中点的性质计算即可得出结论；
（3）利用折叠的性质和角平分线的性质定理列出关于t的方程即可得出结论；
（4）利用反证法解答，假设四边形AEFG为菱形，则AE＝EF＝t，过点E作EM⊥BC于点M，利用相似三角形的判定与性质求得线段FE，FM，EM，在Rt△EFM中，利用勾股定理列出关于t的方程，解方程，Δ＜0，原方程无解，则结论可得．
【详解】解：（1）BC8cm．
由题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
∴BE＝（10﹣t）cm，
∵BE＝BF，
∴10﹣t＝2t，
∴t．
∴t为时，BE＝BF；
（2）过点F作FH⊥AB于点H，如图，
∵∠FHB＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△BFH∽△BAC，
∴，
∴，
∴FHt．
由题意：△AEF≌△AGF，
∴S△AEF＝SAGF．
∵S四边形ABFG＝S△AFB+S△AGF＝S△ABF+S△AEF，
∴SAB FH FH10ttt6t．
∴S关于t的函数关系式为S6t；
（3）不存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上，理由：
由题意：△AEF≌△AGF，
∵点G落在线段AC上，
∴∠GAF＝∠BAF，
∴，
∴，
解得：t．
∴存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上，此时t．
（4）不存在时刻t，使得四边形AEFG为菱形，理由：
若四边形AEFG为菱形，
∴AE＝EF＝t，
过点E作EM⊥BC于点M，如图，
∵EM⊥BC，AC⊥BC，
∴EM∥AC，
∴，，
∴，
∴EM（10﹣t），BM（10﹣t），
∴FM＝|BM﹣BF|＝|2t|．
∵EF2＝EM2+FM2，
∴，
整理得：9t2﹣65t+125＝0，
∵Δ＝652﹣4×9×125＝﹣275＜0，
∴此方程无解，
∴不存在时刻t，使得四边形AEFG为菱形．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，本题是动点问题，利用已知条件用t的代数式 表示出相应线段的长度是解题的关键．
23．（2023 崂山区一模）已知：如图1，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，AD＝DC＝8cm，BC＝6cm，连接BD，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，点D在线段PQ的垂直平分线上？
（2）延长PQ交BC于点E（如图2），若四边形APEB是平行四边形．求t的值；
（3）设△DPQ的面积为ycm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；
（4）是否存在某一时刻t，使得PQ与BD的夹角为45°？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）yt2t，最大值为；
（4）．
【分析】（1）根据DP＝DQ，构建方程求解；
（2）由DP∥BE，推出，由此构建方程求解；
（3）利用三角形面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质求解；
（4）说明∠PQB＞45°，当∠PQD＝45°时，过点P作PT⊥QD于点T．根据PQ＝2t，构建方程求解．
【详解】解：（1）当点D在PQ的垂直平分线上时，DP＝DQ，
则有2t＝8﹣t，
解得t；
（2）∵∠C＝90°，BC＝6cm，CD＝8cm，
∴BD10（cm），
∴四边形APEB是平行四边形，
∴AP＝BE＝t，
∵DP∥BE，
∴，
∴，
解得t．
经检验t是分式方程的解．
∴满足条件的t的值为；
（3）如图1中，过点Q作QT⊥AD于点T．
∵AD∥BC，
∴∠QDT＝∠DBC，
∴sin∠QDT＝sin∠DBC，
∴QT＝QD sin∠QDTt，
∴y DP QTDP×QT（8﹣t）tt2t（t﹣4）2，
∵0，
∴t＝4时，y有最大值，最大值为；
（4）如图，∵∠PQB＞∠ADC，∠ADB＝∠DBC＞45°，
∴∠PQB＞45°，
当∠PQD＝45°时，过点P作PT⊥QD于点T．
由题意，PD＝8﹣t，DT＝PD cos∠PDT（8﹣t），PT＝QT＝PD sin∠PDT（8﹣t），
∵DQ＝2t，
∴（8﹣t）（8﹣t）＝2t，
解得t．
∴满足条件的t的值为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，动点问题，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
24．（2023 青岛一模）如图，在正方形ABCD中，，将正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90°得到正方形CEFM．动点P从点A出发，沿AC方向运动，运动速度为1cm/s．过点P作AC的垂线，交AD于点Q，连接CQ，交PF于点H．设动点P的运动时间为ts（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，S△APQ：S△CDF＝1：4？
（2）设△PFQ的面积为Scm2，求S与t之间的关系式；
（3）当运动时间为2 s时，求PH的长；
（4）若N是PF的中点，在运动的过程中，点N到∠DFE两边距离的和是否为定值？请说明理由．
【答案】（1）当t为2时，S△APQ：S△CDF＝1：4；
（2）S与t之间的关系式为St2+4t（0＜t＜8）；
（3）PH的长为2cm；
（4）点N到∠DFE两边距离的和是定值4cm，理由见解答．
【分析】（1）根据正方形的性质得△APQ是等腰直角三角形，△CDF是等腰直角三角形，然后利用三角形的面积公司即可解决问题；
（2）过点P作PJ⊥AD于J，得△APJ，△PQJ都是等腰直角三角形，求出FQ＝AF﹣AQ＝（8t）cm，进而可以解决问题；
（3）根据题意求出PF＝10cm，由PH：HF＝PQ：CF＝1：4，进而可以解决问题；
（4）过点P作AF的平行线交AB，EF于点T，R，过点N作NK⊥EF于点K，NN′⊥AF于点N′，证明NK是△FPR的中位线，NN′是△FPJ的中位线，进而可以解决问题．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAQ＝45°，
∵QP⊥AC，
∴△APQ是等腰直角三角形，
∴AP＝PQ＝t cm，
∵四边形CEFM是正方形，
∴△CDF是等腰直角三角形，
在正方形ABCD中，，S△APQ：S△CDF＝1：4，
∴4S△APQ＝S△CDF，
∴4AP PQCD DF，
∴4t2＝（4）2，
∴t＝2（负值舍去），
∴当t为2时，S△APQ：S△CDF＝1：4；
（2）如图，过点P作PJ⊥AD于J，
∴△APJ，△PQJ都是等腰直角三角形，
∴AJ＝PJtcm，AJ＝JQtcm，
∴FQ＝AF﹣AQ＝（8t）cm，
∴△PFQ的面积SFQ PJ（8t） tt2+4t（0＜t＜8），
∴S与t之间的关系式为St2+4t（0＜t＜8）；
（3）当运动时间为2 s时，AP＝PQ＝2cm，
∴AQ＝2cm，AJ＝PJcm，
∴FJ＝AF﹣AJ＝87（cm），
∴PF10（cm），
∵CFCD＝8cm，PQ＝AP＝2cm，
∴PQ：CF＝1：4，
∵QP⊥AC，AC⊥CF，
∴PQ∥CF，
∴△PQH∽△FCH，
∴PH：HF＝PQ：CF＝1：4，
∴PHCF10＝2（cm），
∴PH的长为2cm；
（4）点N到∠DFE两边距离的和是定值4cm，理由如下：
如图，过点P作AF的平行线交AB，EF于点T，R，
∴PT⊥AB，
∵PJ⊥AD，AP平分∠BAD，
∴PT＝PJ，
∴四边形ATPJ是正方形，
∴PT＝AJ，
∵PR∥AF，
∴∠PRF＝∠RFJ＝90°＝∠PJF，
∴四边形PJFR是矩形，
∴PR＝FJ，
过点N作NK⊥EF于点K，NN′⊥AF于点N′，
∴NK∥PR，NN′∥PJ，
∵N是PF的中点，
∴K是FR的中点，N′是FJ的中点，
∴NK是△FPR的中位线，NN′是△FPJ的中位线，
∴NKPR，NN′PJ，
∴NK+NN′PRPJ（PR+PJ）（FJ+AJ）AF84（cm）．
∴点N到∠DFE两边距离的和是定值4cm．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形中位线定理，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是综合运用相关知识．
()
2024年中考数学压轴题专项
训练04 二次函数的应用大题专练
类型一、销售问题
例1．（2023·浙江湖州·统考一模）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴．已知某种品牌服装的成本价为每件100元，每件政府补贴20元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：．
(1)若第一个月将销售单价定为160元，政府这个月补贴多少元
(2)设获得的销售利润（不含政府补贴）为（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大销售利润
(3)若每月获得的总收益（每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴）不低于28800元，求该月销售单价的最小值．
类型二、图形面积问题
例2．（2023春·湖北武汉·九年级校联考期中）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
(1)设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____，花卉B的种植面积是______，花卉C的种植面积是_______．
(2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
类型三、拱桥问题
例3．（2023·安徽黄山·统考一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成.矩形的边米，米，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为.
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑轴，米，点是上方抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点.
①求的最大值.②某工人师傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围.
类型四、投球问题
例4．（2023·浙江丽水·统考一模）某天，小明在足球场上练习“落叶球”（如图1），足球运动轨迹是抛物线的一部分，如图2，足球起点在处，正对一门柱，距离，足球运动到的正上方，到达最高点2.5m，此时．球门宽，高．
(1)以水平方向为轴，为原点建立坐标系，求足球运动轨迹抛物线的函数表达式．
(2)请判断足球能否进球网？并说明理由．
(3)小明改变踢球方向，踢球时，保持足球运动轨迹抛物线形状不变的前提下，足球恰好在点处进入球网．若离点8m处有人墙，且，人起跳后最大高度为2.2m，请探求此时足球能否越过人墙，并说明理由．
类型五、喷水问题
例5．（2023·山东潍坊·统考一模）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到l的距离为d米．
(1)求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围．
类型六、几何动点问题
例6．（2023·山东青岛·统考一模）如图，在四边形中，，，，点P、Q分别是线段和上的动点．点P以的速度从点D向点C运动，同时点Q以的速度从点A向点D运动，当其中一点到达终点时，两点停止运动，将沿翻折得到，连接交直线于点E，连接．设运动时间为，回答下列问题：
(1)当t为何值时，？
(2)求四边形的面积关于时间的函数关系式；
(3)是否存在某时刻t，使点Q在平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
类型七、图形运动问题
7．（2023·天津·校联考一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是正方形，顶点，点在轴正半轴上，点在第二象限，的顶点，点．
(1)如图①，求点的坐标；
(2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点A，O，B，C的对应点分别为．设，正方形与重合部分的面积为．
①如图②，当时，正方形与重合部分为五边形，直线分别与轴，交于点，与交于点，试用含的式子表示；
②若平移后重合部分的面积为，则的值是_______（请直接写出结果即可）．
一．解答题（共24小题）
1．（2023 宁波一模）抗击疫情期间，某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数），部分对应值如下表：
每件售价（元） 9 11 13
每天的销售量（件） 105 95 85
（1）求y与x的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元．
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），问：当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
2．（2023 莱西市一模）某公司电商平台经销一种益智玩具，先用3000元购进一批．售完后，第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进益智玩具的数量比第一次少了25件．销售时经市场调查发现，该种益智玩具的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x（元/件），周销售量y（件）的三组对应值数据．
x 40 70 90
y 180 90 30
（1）求第一次每件玩具的进价；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）售价x为多少时，第一周的销售利润W最大？并求出此时的最大利润．
3．（2023 天山区一模）一名高校毕业生响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的种植成本为16元/千克、设销售时间为x（天），通过一个月（30天）的试销，该种水果的售价P（元/千克）与销售时间x（天）满足如图所示的函数关系（其中0≤x≤30，且x为整数）．已知该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克．
（1）直接写出售价P（元/千克）与销售时间x（天）的函数关系式；
（2）求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？
4．（2023 武汉模拟）某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场地面积雪厚达40cm，整个赛道长150m，全天共可容纳约3300人滑雪嬉戏．小明和小华相约去体验滑雪，小明从赛道顶端A处下滑，测得小明离A处的距离s（单位：m）随运动时间x（单位：s）变化的数据，整理得下表．
滑行时间x/s 0 1 2 3 4
滑行距离s/m 0 6 14 24 36
经验证小明离A处的距离s与运动时间x之间是二次函数关系．
小明出发的同时，小华在距赛道终点30m的B处操控一个无人机沿着赛道方向以2m/s的速度飞向小明，无人机离A处的距离y（单位：m）与运动时间x（单位：s）之间是一次函数关系．
（1）直接写出s关于x的函数解析式和y关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）小明滑完整个赛道需要耗时多久？
（3）小明出发多久后与无人机相遇？
5．（2023 邯郸模拟）将小球（看作一点）以速度v1竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至为0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度y（m）与时间t（s）的函数解析式为两部分之和，其中一部分为速度v1（m/s）与时间t（s）的积，另一部分与时间t（s）的平方成正比．若上升的初始速度v1＝10m/s，且当t＝1s时，小球达到最大高度．
（1）求小球上升的高度y与时间t的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升的最大高度；
（2）如图，平面直角坐标系中，y轴表示小球相对于抛出点的高度，x轴表示小球距抛出点的水平距离，向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度v2（m/s），发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度y（m）与时间t（s）的函数解析式与（1）中的解析式相同．
①若v2＝5m/s，当 时，小球的坐标为 ，小球上升的最高点坐标为 ；求小球上升的高度y与小球距抛出点的水平距离x之间的函数关系式；
②在小球的正前方的墙上有一高 的小窗户PQ，其上沿P的坐标为（6，），若小球恰好能从窗户中穿过（不包括恰好去中点P，Q，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度v2的取值范围．
6．（2023 崂山区一模）跳台滑雪简称“跳雪”，选手不借助任何外力、从起滑台P处起滑，在助滑道PE上加速，从跳台E处起跳，最后落在山坡MN或者水平地面上．运动员从P点起滑，沿滑道加速，到达高度OE＝42m的E点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角坐标系，OM＝38m，ON＝114m，设MN所在直线关系式为y＝kx+b．
甲运动员起跳后，与跳台OE水平距离xm、竖直高度ym之间的几组对应数据如下：
水平距离x/m 0 10 20 30 40
竖直高度y/m 42 48 50 48 42
（1）求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式；
（2）运动员得分由距离得分+动作分+风速得分组成距离得分：运动员着陆点到跳台OE水平距离为50m，即得到60分，每比50m远1米多得2分；反之，当运动员着陆点每比50m近1米扣2分．距离分计算采取“2舍3入法”，如60.2米计为60米，60.3米则计为60.5米．
动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分．
风速得分：由逆风或者顺风决定．
甲运动员动作分、风速加分如下表：
距离分 动作分 风速加分
50 ﹣2.5
请你计算甲运动员本次比赛得分．
7．（2023 镇平县模拟）为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线AED和矩形ABCD构成．已知矩形的长BC＝12米，宽AB＝3米，抛物线最高点E到地面BC的距离为6米．
（1）按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线AED的解析式；
（2）冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱PQ和NM，如图②所示．
①若两根支撑柱的高度均为5.25米，求两根支撑柱之间的水平距离；
②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁PN，搭建成一个矩形“脚手架”PQMN，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和w的最大值，请你帮管理处计算一下．
8．（2023 宝应县一模）科学研究表明：一般情况下，在一节45分钟的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在0≤x≤8时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间x（分钟）满足关系y＝2x+68，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）的图象呈抛物线形，到第16分钟时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束．
（1）当x＝8时，注意力指数y为 ，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）的函数关系式是 ；
（2）若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）
（3）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）（参考数据：
9．（2023 昭阳区一模）新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？
（3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？
10．（2023 大丰区一模）比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．
已知：某建筑OA的高度为44.1m，将一个小铁球P（看成一个点）从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离d（m）与运动时间t（s）之间的函数表达式是：d＝7t，在竖直方向物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝4.9t2．以点O为坐标原点，水平向右为x轴，OA所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线．
（1）求小铁球从抛出到落地所需的时间；
（2）当t＝1时，求小铁球P此时的坐标；
（3）求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
11．（2023 南昌模拟）一个运动员跳起投篮，球的运行路线可以看做是一条抛物线，如图1所示，图2是它的示意图，球的出手点D到地面EB的距离为2.25m（即DE＝2.25m，当球运行至F处时，水平距离为2.5m（即F到DE的距离为2.5m），达到最大高度为3.5m，已知篮圈中心A到地面EB的距离为3.05m，篮球架AB可以在直线EB上水平移动．
（1）请建立恰当的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式；
（2）若篮球架离人的水平距离EB为4.5m，问该运动员能否将篮球投入篮圈？若能，说明理由；若不能，算一算将篮球架往哪个方向移动，移动多少距离，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈．
12．（2023 义乌市校级模拟）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都可以近似的看成抛物线的形状；如图，若在一个斜坡CD上按水平距离间隔90米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20米，如果按如图建立坐标系（x轴在水平方向上），那么下垂的电缆可以看成抛物线．
（1）求出图中点A及点B的坐标；
（2）求斜坡坡面CD所在直线的解析式；
（3）假设这种电缆下垂的安全高度是12米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值大于或等于12米时，符合安全要求，否则不符合安全要求；探索：上述这种电缆的架设是否符合安全要求．
13．（2023 城关区一模）如图1为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置OA，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高高度为3m．水柱落地处离池中心的水平距离为3m．小刚以柱形喷水装置OA与地面交点O为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，柱形喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2．
（1）求表示该抛物线的函数表达式；
（2）若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度．
14．（2023 城阳区一模）某农户家的菜地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系．大棚的一端固定在墙体AO离地面高米的点A处，另一端固定在地面的点B处，已知大棚上横截面抛物线顶部某点离地面的垂直高度y（米）与其离墙体AO的水平距离x（米）之间的关系满足ybx+c，现测得点B到墙体AO之间的水平距离为10米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求大棚的最高点到地面的距离；
（3）该农户想在大棚横截面抛物线顶部两侧，紧贴抛物线顶部安装照明灯，且照明灯到地面垂直高度为米，则两个照明灯的水平距离是多少米？
15．（2023 亳州二模）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形DEFG．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．灌溉车到绿化带的距离OD为dm．当OH＝1.5m，DE＝3m，EF＝0.5时，解答下列问题.
（1）①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求出点B的坐标；
（2）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
16．（2023 市南区一模）榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，今年情况有所不同，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为10元/kg，设售价为x元/kg，图中线段是总进价y1（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额y2（元）与x关系的图象，y2经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为15元时，销售量为200kg．
（总利润＝总销售额﹣总进价）
（1）直接写出t、p、q的值；
（2）分别求出y1，y2与x的关系式；
（3）当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？
17．（2023 临潼区二模）2023兔年春节期间，全国各地举办焰火晚会，庆祝农历新年的到来．九年级学生王毅也在父母的陪同下前往指定区域燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，王毅燃放的手持烟花发射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的规律如下表：
飞行时间t/s 0 0.5 1 4.5 ……
飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5 ……
（1）求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m．王毅发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求．
18．（2023 武侯区校级模拟）2023年3月，成都市政府印发《成都市促进新能源汽车产业发展的实施意见》，其中大力促进新能源汽车消费成为抓手之一．已知某商家对一款新能源汽车进行销售，市场调研发现：月销量y（单位：辆）与销售价x（单位：万元/辆，且14≤x≤21）满足一次函数关系，部分数据如表：
x 16 17 18 19 20
y 30 27 24 21 18
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若商家购进这款汽车的价格为12万元，试问：当x为多少时，总利润最大？并求出此时利润的最大值．
19．（2023 驿城区校级二模）如图，在一次足球比赛中，守门员在距地面1米高的P处大力开球，一运动员在离守门员6米的A处发现球在自己头上的正上方距离地面4米处达到最高点Q，球落到地面B处后又一次弹起．已知足球在空中的运行轨迹是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度为1米．
（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式及第一次落地点B与守门员（点O）的距离；
（2）运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点O，A，B，C在同一条直线上，结果保留根号）
20．（2023 青岛一模）振华公司对其办公楼大厅一块6×6米的正方形ABCD墙面进行了如图所示的设计装修（四周阴影部分是八个全等的矩形，用材料甲装修，中心区域是正方形EFGH，用材料乙装修）．两种材料的成本如下：
材料 甲 乙
单价（元/米2） 800 600
设矩形的较短边AM的长为x米，装修材料的总费用为y元．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）当中心区域的边长EF不小于2米时，预备材料的购买资金28000元够用吗？请说明理由．
21．（2023 莱西市一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，AD＝10cm，点P、Q分别是线段CD和AD上的动点．点P以2cm/s的速度从点D向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从点A向点D运动，当其中一点到达终点时，两点停止运动，将PQ沿AD翻折得到QP'，连接PP'交直线AD于点E，连接AC、BQ．设运动时间为t（s），回答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥AC？
（2）求四边形BCPQ的面积S（cm2）关于时间t（s）的函数关系式；
（3）是否存在某时刻t，使点Q在∠PP'D平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
22．（2023 市南区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm．点E从A出发，沿AB方向向B匀速运动，速度是1cm/s；同时，点F从B出发，沿BC方向向C匀速运动，速度是2cm/s．将△AEF沿AF折叠，E的对称点为G．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题：
（1）t为何值时，BE＝BF；
（2）设四边形ABFG的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使得四边形AEFG为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
23．（2023 崂山区一模）已知：如图1，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，AD＝DC＝8cm，BC＝6cm，连接BD，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，点D在线段PQ的垂直平分线上？
（2）延长PQ交BC于点E（如图2），若四边形APEB是平行四边形．求t的值；
（3）设△DPQ的面积为ycm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；
（4）是否存在某一时刻t，使得PQ与BD的夹角为45°？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
24．（2023 青岛一模）如图，在正方形ABCD中，，将正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90°得到正方形CEFM．动点P从点A出发，沿AC方向运动，运动速度为1cm/s．过点P作AC的垂线，交AD于点Q，连接CQ，交PF于点H．设动点P的运动时间为ts（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，S△APQ：S△CDF＝1：4？
（2）设△PFQ的面积为Scm2，求S与t之间的关系式；
（3）当运动时间为2 s时，求PH的长；
（4）若N是PF的中点，在运动的过程中，点N到∠DFE两边距离的和是否为定值？请说明理由．
()
