2024年中考数学压轴题专项
训练07 二次函数与线段最值定值问题
题型一： 二次函数与单线段最值问题
例1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点G的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（2）以A为直角顶点，根据点P的纵、横坐标之间的关系建立等量关系，就可求出点P的坐标；
（3）连接OD，易得四边形OFDE是矩形，则OD＝EF，根据垂线段最短可得当OD⊥AC时，OD（即EF）最短，然后只需求出点D的纵坐标，就可得到点P的纵坐标，就可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，），
∴设抛物线的解析式是y＝a（x﹣5）（x+1）1），
则a×（﹣5）×1，解得a．
则抛物线的解析式是y（x﹣5）（x+1）x2+2x；
（2）存在．
当点A为直角顶点时，过A作AP⊥AC交抛物线于点P，交y轴于点H，如图．
∵AC⊥AP，OC⊥OA，
∴△OAC∽△OHA，
∴，
∴OA2＝OC OH，
∵OA＝5，OC，
∴OH＝10，
∴H（0，﹣10），A（5，0），
∴直线AP的解析式为y＝2x﹣10，
联立，
∴P的坐标是（﹣5，﹣20）．
（3）∵DF⊥x轴，DE⊥y轴，
∴四边形OFDE为矩形，
∴EF＝OD，
∴EF长度的最小值为OD长度的最小值，
当OD⊥AC时，OD长度最小，
此时S△AOCAC ODOA OC，
∵A（5，0），C（0，），
∴AC，
∴OD，
∵DE⊥y轴，OD⊥AC，
∴△ODE∽△OCD，
∴，
∴OD2＝OE CO，
∵CO，OD，
∴OE＝2，
∴点G的纵坐标为2，
∴yx2+2x2，
解得x1＝2，x2＝2，
∴点G的坐标为（2，2）或（2，2）．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、等腰三角形的性质、矩形的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，有一定的综合性，根据矩形的性质将EF转化为OD，然后利用垂线段最短是解决第（3）小题的关键．
题型二： 二次函数与将军饮马型问题
例2．如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y＝kx分别与y轴及抛物线交于点C，D．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）先求得点D的坐标，过点D分别作DE⊥x轴、DF⊥y轴，分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；
（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+2x+c，得
，
解得：，
∴抛物线解析式为：y，
∵过点B的直线y＝kx，
∴代入（1，0），得：k，
∴BD解析式为y；
（2）由得交点坐标为D（﹣5，4），
如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，
当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，
则△DEP1∽△P1OC，
∴，即，
解得t，
当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形
由△P2DB∽△DEB得，
即，
解得：t；
当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，
∴，即，
解得：t，
∴t的值为、、．
（3）由已知直线EF解析式为：yx，
在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M
过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM+MN＝D′N最小．
则△EOF∽△NHD′
设点N坐标为（a，），
∴，即，
解得：a＝﹣2，
则N点坐标为（﹣2，﹣2），
求得直线ND′的解析式为yx+1，
当x时，y，
∴M点坐标为（，），
此时，DM+MN的值最小为2．
【点评】本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．
题型三： 二次函数与胡不归型线段最值问题
例3．已知抛物线yx2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧）．与y轴相交于点C，顶点为D．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若点P是y轴上一点，连接BP，当PB＝PC，OP＝2时，求b的值；
（Ⅲ）若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为（4，0），对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线段AB上一点，且AN＝2BN，连接NQ，求DQNQ的最小值．
【分析】（Ⅰ）求出函数的解析式即可求解；
（Ⅱ）由题意可求P（0，2）或（0，﹣2），将A点代入抛物线解析式可得cb，在求出B（2b﹣1，0），C（0，b），由PB＝PC，（2b﹣1）2+4＝|b﹣2|2或（2b﹣1）2+4＝|b+2|2，再由2b﹣1＞1，求出b即可；
（Ⅲ）先求出抛物线的解析式yx2x﹣2，设Q（，t）过点N作AD的垂线交于点M，交对称轴于点Q，利用直角三角形可得MQDQ，当M、Q、N三点共线时，DQNQ有最小值MN，在Rt△AMN中，AN＝2，求出MN，可求DQNQ的最小值为．
【解答】解：（Ⅰ）当b＝2时，yx2+2x+c，
将点A（1，0）代入yx2+2x+c，
∴c，
∴yx2+2x（x﹣2）2，
∴抛物线的顶点为（2，）；
（Ⅱ）∵点P是y轴上一点，OP＝2，
∴P（0，2）或（0，﹣2），
将A代入yx2+bx+c，
∴b+c＝0，
∴cb，
∵x2+bxb＝0，
∴1+x1＝2b，
∴x1＝2b﹣1，
∴B（2b﹣1，0），
令x＝0，则y＝2b﹣1，
∴C（0，b），
∵PB＝PC，
∴（2b﹣1）2+4＝|b﹣2|2或（2b﹣1）2+4＝|b+2|2，
解得b或b或b或b，
∵A点在B点左侧，
∴2b﹣1＞1，
∴b＞1，
∴b；
（Ⅲ）将点A、B代入yx2+bx+c，
∴，
，
∴yx2x﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x，
∴E（，0），
∵yx2x﹣2（x）2，
∴顶点D（，），
∵A（1，0），B（4，0），
∴AB＝3，
∵AN＝2BN，
∴AN＝2，BN＝1，
∴N（3，0），
设Q（，t），
过点N作AD的垂线交于点M，交对称轴于点Q，
∵AE，DE，
∴tan∠DAE，
∴∠EQN＝∠DAE，
∴∠DAN＝∠MQD，
∴tan∠MQD，
∴sin∠MQD，
∴MQDQ，
∵DQNQ（DQ+NQ）（MQ+NQ），
∴当M、Q、N三点共线时，DQNQ有最小值MN，
在Rt△AMN中，AN＝2，
∴sin∠MAN，
∴MN2，
∴DQNQMN，
∴DQNQ的最小值为．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用一元二次方程求最值是解题的关键．
题型四： 二次函数与三线段和最值问题
例4．如图1，已知一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．
（1）求b、c的值；
（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE＝2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；
（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR
①求证：PG＝RQ；
②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c即可解决问题．
（2）首先求出A、C、D坐标，根据BE＝2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M．
（3）①欲证明PG＝QR，只要证明△QAR≌△GAP即可．②当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点，
∴解得，
∴b＝﹣2，c＝3．
（2），对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴点C坐标（1，0），
∵AD＝DC＝2，
∴点D坐标（﹣1，0），
∵BE＝2ED，
∴点E坐标（，1），
设直线CE为y＝kx+b，把E、C代入得到解得，
∴直线CE为yx，
由解得或，
∴点M坐标（，）．
（3）①∵△AGQ，△APR是等边三角形，
∴AP＝AR，AQ＝AG，∠QAC＝∠RAP＝60°，
∴∠QAR＝∠GAP，
在△QAR和△GAP中，
，
∴△QAR≌△GAP，
∴QR＝PG．
②如图3中，∵PA+PG+PC＝QR+PR+PC＝QC，
∴当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，
作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．
∵∠GAO＝60°，AO＝3，
∴AG＝QG＝AQ＝6，∠AGO＝30°，
∵∠QGA＝60°，
∴∠QGO＝90°，
∴点Q坐标（﹣6，3），
在RT△QCN中，QN＝3，CN＝7，∠QNC＝90°，
∴QC2，
∵sin∠ACM，
∴AM，
∵△APR是等边三角形，
∴∠APM＝60°，∵PM＝PR，cos30°，
∴AP，PM＝RM
∴MC，
∴PC＝CM﹣PM，
∵，
∴CK，PK，
∴OK＝CK﹣CO，
∴点P坐标（，）．
∴PA+PC+PG的最小值为2，此时点P的坐标（，）．
【点评】本题考查二次函数综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
题型五： 二次函数与线段倍分关系最值问题
例5．抛物线y＝﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．
（1）a时，求抛物线的解析式和BC的长；
（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值；
（3）是否存在实数a，使？若存在，求出a的值，如不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线经过原点b＝0，把a、b＝0代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式，再求出B、C坐标，即可求出BC长．
（2）利用△PCB∽△APM，得，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+4ax+b（a＞0）经过原点O，
∴b＝0，
∵a，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x，
∵x＝2时，y＝8，
∴点B坐标（2，8），
∵对称轴x＝3，B、C关于对称轴对称，
∴点C坐标（4，8），
∴BC＝2．
（2）∵AP⊥PC，
∴∠APC＝90°，
∵∠CPB+∠APM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°，
∴∠CPB＝∠PAM，
∵∠PBC＝∠PMA＝90°，
∴△PCB∽△APM，
∴，
∴，
整理得a2﹣4a+2＝0，解得a＝2±，
∵a＞1，
∴a＝2．
（3）当点P在等A的左侧时，∵△APM∽△ANO，
∴，
∵AM＝4a﹣2，OM＝2，
∴，
∴a．
当点P在D点A的右侧时，同法可得OA＝AM，
4a＝2﹣4a，
∴a，
综上所述，满足条件的a的值为或．
【点评】本题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是利用相似三角形性质列出方程解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型．
题型六： 二次函数与线段乘积问题
例6．已知直线yx+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线yx2+mx﹣2经过点A，和x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；
（3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE OF的值．
备注：抛物线顶点坐标公式（，）
【分析】（1）先求得点A的坐标，然后将点A的坐标代入抛物线的解析式求得m的值即可；
（2）过点D作DH∥y轴，交AB于点H，设D（n，n2n﹣2），H（n，n+2），然后用含n的式子表示DH的长，接下来，利用配方法求得DH的最大值，从而可求得△ABD面积最大值；
（3）先求得点C的坐标，然后设直线CQ的解析式为y＝ax﹣a，CP的解析式为y＝bx﹣b，接下来求得点Q和点P的横坐标，然后设直线PQ的解析式为y＝x+d，把M（﹣4，1）代入得：y＝kx+4k+1，将PQ的解析式为与抛物线解析式联立得到关于x的一元二次方程，然后依据一元二次方程根与系数的关系可求得ab，最后，由ab的值可得到OE OF的值．
【解答】解：（1）把y＝0代入yx+2得：0x+2，解得：x＝﹣4，
∴A（﹣4，0）．
把点A的坐标代入yx2+mx﹣2得：m，
∴抛物线的解析式为yx2x﹣2．
（2）过点D作DH∥y轴，交AB于点H，
设D（n，n2n﹣2），H（n，n+2）．
∴DH＝（n+2）﹣（n2n﹣2）（n+1）2．
∴当n＝﹣1时，DH最大，最大值为，
此时△ABD面积最大，最大值为4＝9．
（3）把y＝0代入 yx2x﹣2，得：x2+3x﹣4＝0，解得：x＝1或x＝﹣4，
∴C（1，0）．
设直线CQ的解析式为y＝ax﹣a，CP的解析式为y＝bx﹣b．
∴，解得：x＝1或x＝2a﹣4．
∴xQ＝2a﹣4．
同理：xP＝2b﹣4．
设直线PQ的解析式为y＝kx+b，把M（﹣4，1）代入得：y＝kx+4k+1．
∴．
∴x2+（3﹣2k）x﹣8k﹣6＝0，
∴xQ+xP＝2a﹣4+2b﹣4＝2k﹣3，xQ xP＝（2a﹣4）（2b﹣4）＝﹣8k﹣6，
解得：ab．
又∵OE＝﹣b，OF＝a，
∴OE OF＝﹣ab．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系，建立关于a、b的方程组求得ab的值是解题的关键．
题型七： 二次函数与线段比值问题
例7．抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；②根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标；
（2）根据待定系数法，可得E、F点的坐标，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：（1）①将P（1，﹣3），B（4，0）代入y＝ax2+c，得
，解得，
抛物线的解析式为yx2；
②如图1，
当点D在OP左侧时，
由∠DPO＝∠POB，得
DP∥OB，
D与P关于y轴对称，P（1，﹣3），
得D（﹣1，﹣3）；
当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G．
作PH⊥OB于点H，则OH＝1，PH＝3．
∵∠DPO＝∠POB，
∴PG＝OG．
设OG＝x，则PG＝x，HG＝x﹣1．
在Rt△PGH中，由x2＝（x﹣1）2+32，得x＝5．
∴点G（5，0）．
∴直线PG的解析式为yx
解方程组得，．
∵P（1，﹣3），
∴D（，）．
∴点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（，）．
（2）点P运动时，是定值，定值为2，理由如下：
作PQ⊥AB于Q点，设P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），则at2+c＝0，c＝﹣at2．
∵PQ∥OF，
∴，
∴OFamt+at2．
同理OE＝﹣amt+at2．
∴OE+OF＝2at2＝﹣2c＝2OC．
∴2．
【点评】本题考查了二次函数综合题，①利用待定系数法求函数解析式；②利用函数值相等的点关于对称轴对称得出D点坐标是解题关键；（2）利用待定系数法求出E、F点坐标是解题关键．
题型八： 二次函数与倒数和定值问题
例8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D是抛物线顶点，点P（m，n）是在第二象限抛物线上的一点，分别连接BD、BC、BP，若∠CBD＝∠ABP，求m的值；
（3）如图1，过B、C、O三点的圆上有一点Q，并且点Q在第四象限，连接QO、QB、QC，试猜想线段QO、QB、QC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（4）如图2，若∠BAC的角平分线交y轴于点G，过点G的直线分别交射线AB、AC于点E、F（不与点A重合），则的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值．
【分析】（1）利用待定系数法求解二次函数的解析式即可：
（2）如图，过P作PK⊥AB于K，连接CD，先求解顶点D（1．﹣4），证明∠BCD＝90°，tan∠DBC，则tan∠CBD＝tan∠ABP，再列方程求解即可；
（3）如图，作O关于BC的对称点N，证明四边形OBNC为正方形，连接QB，QC，QO，QN，再分两种情况讨论：当Q在B，N之间时，当Q在C、N之间时，从而可得答案；
（4）过G作MG∥x轴交AC于M，过F作FT∥x轴交AG于T，过C作CQ∥x轴交AG于Q，如图：证明ACOA～ACGM，AACQ～AMG，可得，同理可得：理可得：，从而可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与轴分别交于A（﹣1，0）、B（3.0）两点，
设抛物线为：y＝a（x+1）（x﹣3），
∵OB＝OC，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3．解得：a＝1，
所以抛物线为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，过P作PK⊥AB于K，连接CD，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D（1，﹣4），
∴CD2＝（1﹣0）2+（﹣4+3）2＝2，
BC2＝32+32＝18，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，tan∠DBC，
∵∠CBD＝∠ABP，
∴tan∠CBD＝tan∠ABP，
∵P（m，n），m＜0，n＞0，
∴AB＝3﹣m，PA﹣n＝m2﹣2m﹣3，
∴，
∴m，经检验符合题意；
（3）如图，作O关于BC的对称点N，而OB＝OC﹣3，0B⊥OC，
∴四边形OBNC为正方形，连接QB，QC，QO，ON，
∴CN＝BN＝OC＝CN＝3，BC⊥ON，BC，ON为圆的直径，
当Q在B，N之间时（与B不重合），在QC上截取CK＝BQ，
∵∠NBQ＝∠NCQ，
∴ΔΝCΚ≌ΔΝBQ（SAS），
∴∠CNK＝∠BNO，
∴∠BNO+∠BNK＝∠BNK+∠CNK＝∠CNB﹣90°，
∵BC⊥ON，
∴∠KQNx90°＝45°＝∠QKN，
∴QK2＝2QN2，
∴（QC﹣QB）2＝2QN2，
∵ON为直径，则∠OQN＝90°，
∴QN2＝ON2﹣QO2＝BC2﹣QO2＝18﹣QO2，
∴（QC﹣QB）2＝2（18﹣QO2），
而同理可得：QC2+QB2＝18，
整理得：QO2﹣QC QB＝9，
当Q在C，N之间时（与C不重合），如图，
同理可得：QO2﹣QC QB＝9；
（4）过G作MG∥x轴交AC于M，过F作FT∥x轴交AG于T，过C作CQ∥x轴交AG于Q，如图：
∵MG∥x轴，FT∥x轴，CQ∥x轴，
∴MG∥FT∥CQ∥OA，
∴△COA∽△CGM，△ACQ∽△AMG，
∴，
∴，
∴，
∵AG平分∠BAC，
∴∠CAG＝∠BAG＝∠AQC，
∴AC＝CQ，
∴，
同理可得：，
由（1）可知：A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AC，
∴，
∴的值不变，为．
【点评】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，锐角三角函数的应用，勾股定理及其逆定理的应用，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
一、解答题
1．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得的面积是的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，G的坐标为或．
【分析】（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求．
（2）先求线段所在的直线解析式，求利用点到直线的公式，即可求与的高，利用三角形面积公式即可求．
【详解】（1）依题意，设二次函数的解析式为
将点B代入得，得
∴二次函数的表达式为：
（2）存在点G，
当点G在x轴的上方时，设直线交x轴于P，设P（t，0），作于E，于F．
由题意：，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴直线DG的解析式为，
由，
解得或，
∴G．
当点G在x轴下方时，如图2所示，
∵
∴当点G在的延长线上时，存在点G使得，
此时，的直线经过原点，设直线的解析式为，
将点D代入得，
故，
则有
整理得，，
得（舍去），
当时，，
故点G为．
综上所述，点G的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，要学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为．
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值；
(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， 或或
【分析】（1）把点的坐标代入，求出的值即可；
（2）过作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时分别求解即可．
【详解】（1）点在抛物线的图象上，
，
点的坐标为；
（2）过作于点，过点作轴交于点，如图
，
，
是等腰直角三角形，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
，
直线解析式为，
设，，则，
，
，
当时，最大为，
此时最大为，即点到直线的距离值最大；
（3）存在，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
设点的坐标为，点的坐标为，
分三种情况：①当为平行四边形对角线时，
，
解得，
点的坐标为；
②当为平行四边形对角线时，
，
解得，
点的坐标为；
③当为平行四边形对角线时，
，
解得，
点的坐标为；
综上，点的坐标为：或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．
3．如图，已知抛物线与x轴交于点点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P为上方抛物线上的动点，过点作，垂足为点，连接，当与相似时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）找到点关于对称轴对称的点A，连接交对称轴于一点即为，求所在直线解析式，即可求解；
（3）当与相似时，则或，故分分类讨论即可：①若，则，可推出点的纵坐标与点的纵坐标相同，由点为上方抛物线上的动点，得关于的一元二次方程，求解并作出取舍则可得答案；②若，则，，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，判定，，由相似三角形的性质得比例式，解得点的坐标，从而可得直线的解析式，求得直线与抛物线的交点横坐标，再代入直线的解析式求得其纵坐标，即为此时点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）存在，如图：∵，关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴与对称轴的交点即为所求：
由（1）可知，对称轴为：，，
，，
所在直线解析式为：，
令，，
，；
（3）点，，
，，
在抛物线中，当时，，
，
，
．
，
，
当与相似时，则或，
①若，则，
，
，
点的纵坐标为2，
点为上方抛物线上的动点，
，
解得：（不合题意，舍去），，
此时点的坐标为；
②若，则，，
，
过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，如图：
，，
，
，
，
，
，轴，
，
，，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
设直线的解析式为，
令，
解得：（不合题意，舍去），，
把代入得：，
此时点的坐标为，，
综上所述，符合条件的点的坐标为或，．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式、一线三直角模型及相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键．
4．如图，抛物线过点，且与直线交于、两点，点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线上位于直线上方的一点，过点作 轴交直线于点，点为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点的坐标为代入，，的坐标为，将，代入，解得，，因此抛物线的解析式；
（2）设，则，，当时，有最大值为2，此时，作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点．，此时最小；
【详解】（1）将点的坐标为代入，
，
的坐标为，
将，代入，
解得，，
抛物线的解析式；
（2）设，则，
，
当时，有最大值为2，
此时，
作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点．
，此时最小，
，
，
，
即的最小值为；
【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．
5．抛物线（a，b为常数，）交x轴于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点，D是线段上的动点（点D不与点A，C重合）．
①点D关于x轴的对称点为，当点在该抛物线上时，求点D的坐标；
②E是线段上的动点（点E不与点A，B重合），且，连接，，当取得最小值时，求点D的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）①由，得直线解析式为，设，可得，代入解得（与重合，舍去）或，故；
②过在轴左侧作轴，且，连接，证明，有，故最小时，最小，此时，，共线，求出，可得直线解析式为，解即得的坐标为．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：①如图：
由，得直线解析式为，
设，
点关于轴的对称点为，
，
把代入得：
，
解得（与重合，舍去）或，
∴；
②过在轴左侧作轴，且，连接，如图：
，
，，
，
，
最小时，最小，
此时，，共线，
，，
，
，
由，得直线解析式为，
解得，
的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，对称变换，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题是（2）的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P为直线上方的抛物线上一点，过点P作y轴的垂线交线段于M，过点P作x轴的垂线交线段于N，求的周长的最大值．
(3)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)点的坐标为或或．
【分析】（1）将点、代入即可；
（2）求出的解析式，设，根据题意得，易得，求得其最大值，易证，可得，，进而得的周长为，则当最大时，的周长有最大值，代入最大值即可求解；
（3）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分两类考虑，以为对角线，以为边利用平行四边形对边平行且相等求点M的坐标，和构造直角三角形求点M的横坐标．
【详解】（1）解：（1）抛物线过，两点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，即：，
则，，，
设的解析式为：，将，代入可得：
，解得：，
∴的解析式为：，
设，
∵点P为直线上方的抛物线上一点，过点P作y轴的垂线交线段于M，过点P作x轴的垂线交线段于N，
∴，则，
当时，点的纵坐标为：，
则 ，
∴当时，有最大值为：，
由题意可知，，轴，则，
∴，
则，则，，
的周长为，
则当最大时，的周长有最大值，
即：的周长的最大值为；
（3）存在点，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
①以为对角线，过C作轴交抛物线与M，点N在x轴上，，；
②以为边，过M作垂直抛物线对称轴于G，当，且时，四边形为平行四边形，M点横坐标，纵坐标，；
③过N作轴，与过M作轴交于H，当，时，四边形为平行四边形，M点横坐标为，纵坐标，；
综上所述：点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定与性质，及分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数的性质、相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
7．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．
(1)求点、、的坐标（用数字或含的式子表示）；
(2)当的最小值等于时，求的值及此时点的坐标；
(3)当取（2）中的值时，若，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)，
(3)点坐标为或
【分析】（1）将，，分别代入，计算求解即可；
（2）如图1，连接，由题意知，，则，可知当三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得，由的最小值等于，可得，计算的值，然后得出的点坐标，待定系数法求直线的解析式，根据是直线与直线的交点，计算求解即可；
（3）由（2）知，则，，抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为直线与轴的交点，如图2，连接，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，即与重合，求此时的点坐标；过三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为， 则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，整理得，即，
解得，，
∴，，，
（2）解：如图1，连接，
由题意知，，
∴，
∴当三点共线时，值最小，
在中，由勾股定理得，
∵的最小值等于，
∴，
解得，
∴，，
∴抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，；
（3）解：∵，
∴，，抛物线的对称轴为直线，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
记为直线与轴的交点，如图2，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与重合，即；
过三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，
由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为， 则，
∵，即，
解得，
∵，即，
解得，，
∴，
综上，点坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数与线段、角度综合，二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
8．已知抛物线（为常数，）的顶点为．
(1)当时，求该抛物线顶点的坐标；
(2)若该抛物线与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点．
①点是该抛物线对称轴上一个动点，当的最小值为时，求该抛物线的解析式和点的坐标．
②连接，与抛物线的对称轴交于点，过点作，垂足为，若，求该抛物线的解析式．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）将抛物线解析式转化为顶点式，求出顶点坐标即可；
（2）①点和点关于对称轴对称，易得的最小值即为的长，求出点的坐标，进而求出抛物线和直线的解析式，即可得到点的坐标；②用含的式子表示的坐标，求出的长，易得为等腰直角三角形，得到，再根据，得到，列式计算求出的值，即可得解．
【详解】（1）解：当时，则：，
∴顶点的坐标为：；
（2）解：①∵抛物线与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，
∴当时，，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵关于对称轴对称，为对称轴上一点，
∴，
∴当三点共线时，的值最小即为的长，
∵的最小值为，
∴，
∵，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
∴，抛物线的对称轴为，
设直线的解析式为：，
则：，解得： ，
∴，
当时，，
∴；
②由①知：，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设抛物线的对称轴与轴交于点，
则：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，整理得：，
解得：，
∵，
∴，
∴抛物线的解析式为：．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，属于中考压轴题，同时考查了轴对称解决线段和最小问题，以及等腰三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
9．已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
(1)若，，
①求点P的坐标；
②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；
(2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，直接写出顶点P的坐标．
【答案】(1)①；②,
(2)
【分析】（1）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标；
②求出直线的解析式，设点，则，表示出的长，可得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；
（2）由得，，抛物线的解析式为，可得顶点P的坐标为，点N的坐标为，作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，得点的坐标为，点的坐标为，当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，此时，延长与直线相交于点H，则，在中，，，由勾股定理可得，即，解得，（舍去），即可得点P的坐标为．
【详解】（1）解：①若，，则抛物线，
∵抛物线与x轴相交于点，
∴，解得，
∴抛物线为，
∴顶点P的坐标为；
当时，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，
设点，则，
∴，
∴当时，取得最大值1，
此时，点，则；
（2）解：∵抛物线与x轴相交于点，
，
又，
，，
∴抛物线的解析式为．
∴，
∴顶点P的坐标为，
∵直线与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为，
作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，
得点的坐标为，点的坐标为，
当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，此时．
延长与直线相交于点H，则．
在中，，，
∴，
解得，（舍去），
∴点P的坐标为．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，轴对称求最小值问题，勾股定理等，利用待定系数法求出函数解析式是解本题的关键．
10．如图，抛物线交轴于、两点(点在点的左侧)坐标分别为，，交轴于点．
(1)求出抛物线解析式：
(2)如图1，过轴上点做的垂线，交线段于点，交抛物线于点，当 时，请求出点的坐标；
(3)如图2，点的坐标是，点为轴上一动点，点在抛物线上，把沿翻折，使点刚好落在轴上，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)，
【分析】（1）待定系数求解析式即可求解；
（2）过点作轴垂线交于，交轴于，得出，根据，得出，根据解析式，待定系数法求解析式直线，设，，根据，建立方程，解方程即可求解；
（3）作轴，交于点K，由翻折得 ，在，中，勾股定理求得，进而得出点坐标为或，过点作轴，则且，设，根据勾股定理得出点坐标为，．
【详解】（1）解：将，代入表达式得，
解得，
∴．
（2）解：过点作轴垂线交于，交轴于，
∵， ，
∴，
在中， ，
由勾股定理得 ，
∴，
∴ ，
∵，，
设直线:，将点代入得，
解得：，
∴直线，
设，，
∴或，
∴或 ，
∴, ； ，
∴或 或或，
其中和两点所对应的点不在线段上，所以舍去，
∴或．
（3）解：如图，作轴，交于点K，则，
∴，，
在中， ，由翻折得 ，
∴， ，
在中，∵ ，，
∴，
∴点坐标为或，
过点作轴，则且，
设，
则 ， ，
，
，
解得或，
点坐标为，．
【点睛】本题考查了二次函数综合，余弦的定义，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．抛物线与坐标轴交于、、三点．点P为抛物线上位于上方的一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过点P作轴于点F，交于点E，连结．当时，求点P的坐标；
(3)过点P作于点G，是否存在点P，使线段的长度是2倍关系？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点P，使线段的长度是2倍关系．此时点P的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）设，求出直线的解析式，得到点E的坐标，表示出的长，根据，得到，列得一元二次方程，求解即可；
（3）分两种情况①当时， ②当时， 利用三角函数求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得
∴
∴此抛物线的解析式为：
（2）设，
设直线的解析式为，
得，解得，
∴，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴或4（舍去），
∴；
（3）存在点P．
①当时，连接，
∴
∴，
∴点P的纵坐标为2，则，
解得或，
∴；
②当时，过点B作交的延长线于点E，过点E作轴于点F．
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
联立方程组，得或，
∴，
综上所述，存在点P，使线段的长度是2倍关系．此时点P的坐标为或 ．
【点睛】此题考查的是二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，线段与二次函数，勾股定理，三角函数，求直线与抛物线的交点，正确掌握各知识点是解题的关键．
12．已知抛物线经过点、、．
(1)求抛物线解析式和直线的解析式；
(2)如图（1），若点P是第四象限抛物线上的一点，若，求点P的坐标；
(3)如图（2），点M是直线上方抛物线上的一个动点（不与A、C重合），过点M作垂直于点H，求的最大值．
【答案】(1)直线的解析式是；抛物线解析式是；
(2)；
(3)．
【分析】（1）可设抛物线的解析式是交点式，然后将C点坐标代入，进而求抛物线的解析式，设直线的解析式，将A、C两点代入，进一步可求得的解析式；
（2）作，先求出边上的高为，然后延长至Q，使，求出Q的坐标，作，然后求出的解析式，然后求出直线与抛物线的交点即可；
（3）作交于N，可得，所以只需求得的最大值即可，设M、N的坐标，表示出的长，求的最值，进而求得的最大值．
【详解】（1）解：设，
∴，
∴，
∴，
设的解析式是，
，
∴，
∴；
（2）解：如图1，
作于E，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
延长至Q，使，作轴于D，过Q作，
∴，
∴，
设的解析式是：，
∴，
解得，
∴的解析式是：，
由得，，
∴，（舍去），
当时，，
∴；
（3）解：如图2，
作交于M，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是转化条件，间接求直线和抛物线交点．
13．如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
(1)求抛物线及直线的解析式．
(2)设点，求使的值最小时m的值．
(3)若抛物线的对称轴与直线相交于点B，E为直线上的任意一点，过E作交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E，F的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为
(2)
(3)以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，，或，或，
【分析】（1）待定系数法求抛物线与直线的解析式即可；
（2）作直线平行于轴，则在直线上，作关于直线的对称点，连接，与直线交点为，连接，则，可知当三点共线时，的值最小且为，待定系数法求直线的解析式，然后将点坐标代入求解的值即可；
（3）由平行四边形的性质可知，设，则，则，解方程求满足要求的值，进而可得对应的点的坐标．
【详解】（1）解；将，两点代入得，，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
将，两点代入得，，
解得，
∴，
∴抛物线的解析式为，直线的解析式为；
（2）解：当，，
当，，
当，或，
∴，，抛物线与 轴的另一个交点坐标为，
∵，
如图，作直线平行于轴，则在直线上，作关于直线的对称点，连接，与直线交点为，连接，
由题意知，，，
∴，
∴当三点共线时，的值最小且为，
设直线的解析式为，
将点坐标代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，，
∴的值为；
（3）解：将代入得，，
∴，，
设，则，
∵以B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴，
①当，解得，（与重合，舍去），
∴，则，，
②当，解得，，
∴，则，，
，则，，
综上所述，以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，，或，或，．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与线段综合，二次函数与特殊四边形综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
14．已知抛物线（）与轴有且只有一个交点，且与轴于交于点．
(1)求与的关系式；
(2)若时，点在抛物线的对称轴上；
①若过点的直线：（）与抛物线只有一个交点；证明：直线平分；
②设过点的直线与抛物线交于，点，则是否为定值，若为定值请求出定值，若不是定值请说明理由．
【答案】(1)
(2)①见解析；②是定值，值为4
【分析】（1）由题意可设函数解析式，令，即可得；
（2）①当时，，由题意可得过点的直线：（）与抛物线只有一个交点，即，即，解得，根据点的坐标计算可得，进而得出结论即可；
②设过点的直线：，联立，设，N， ，则，，代入即可得出答案．
【详解】（1）由题意可知：
令，
∴
（2）①当时，，
∴，
∵过点的直线：（）与抛物线只有一个交点，
∴直线：（）
∵过点的直线：（）与抛物线只有一个交点
∴，即，
整理得，
∴，
解得，
∴直线l：交对称轴与
∴，，
∴
∴，即，
∴直线平分
②为定值，理由如下，
设过点的直线：
联立
化简
设，N，
则，
∴
【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是根据题意设函数关系式以及点的坐标．
15．如图1，抛物线，交轴于、两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是线段上的动点除、外，过点作轴的垂线交抛物线于点．
①当点的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；
②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②是，
【分析】（1）根据当时，，可得，，然后待定系数法求解析式即可求解；
（2）①根据题意得出．进而得出， 轴，进而根据解析式得出顶点，即可求解；
②设，得出直线：，：．令得，，即可得出．
【详解】（1）解：∵当时，，
，是的两根，，，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）①把代入得：，
．
又当，，
，
线段 轴．
，
，
；
②设，
直线，
因此可得：或，
解得：或，
直线：，：．
令得，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题、线段问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．已知抛物线的顶点为，与轴交点为，点是抛物线上异于点H的一个动点．
(1)若抛物线的对称轴为直线，请用含的式子表示；
(2)若，作直线交轴于点，当点在轴上方且在线段上时，直接写出的取值范围；
(3)在（1）的条件下，记抛物线与轴的右交点为，的中点为，作直线，过点作于点并交轴于点，若，，求的值．
【答案】(1)
(2)且
(3)
【分析】（1）利用二次函数的性质可得出，确定抛物线的解析式为，再根据图像上点的坐标特征即可得出结论；
（2）根据题意和抛物线的解析式可得出，，，再根据点在轴上方且在线段上，可得出不等式组，解不等式组即可得出结论；
（3）如图，过点作，交轴于点，由（1）知抛物线的解析式为，结合中点定义先确定，，得出直线的解析式为，证明，利用相似三角形的性质得出，，从而可求出直线的解析式为，然后根据和确定直线的解析式为，得出，再通过解二元一次方程组确定，接着利用两点间距离公式用含的代数式求出，，根据建立方程，分两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴，对称轴，
∵点是抛物线上异于点H的一个动点，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∵点在抛物线上，
∴当时，．
（2）∵抛物线与轴交点为，
∴当时，，
∴，
∵点在抛物线上，且，点是抛物线上异于点H的一个动点，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点在轴上方且在线段上，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的取值范围是且．
（3）如图，过点作，交轴于点，
∵抛物线的解析式为，的中点为，
当时，，
∴，，
∴，，
当时，，
解得：，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴
由可得：，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
当时，
解得：，（不合题意，舍去），
当时，
解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），
综上所述，的值是．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查用待定系数法确定函数解析式，二次函数图像的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解二元一次方程组，解不等式组，两点间距离，解绝对值方程，解一元二次方程等知识点，运用了分类讨论、方程的思想．根据题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
17．已知抛物线（）与x轴只有一个公共点且经过点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)直线：与抛物线相交于B、C两点（C点在B点的左侧），与对称轴相交于点P，且B、C分布在对称轴的两侧．若B点到抛物线对称轴的距离为n，且（）．
①试探求n与t的数量关系；
②求线段BC的最大值，以及当BC取得最大值时对应m的值．
【答案】(1)
(2)①②的值最大为，
【分析】（1）根据（）与x轴只有一个公共点，设，将点，代入，求出的值即可得解；
（2）①设直线，与轴交于点，与轴交于点，过点分别作y轴，x轴的垂线，两条垂线相交于点，设与抛物线的对称轴交于点，易得，，推出，进而求出点的坐标，利用，即可得解；②根据，求出，进而得到，根据反比例函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线（）与x轴只有一个公共点，
∴点为抛物线的顶点，
设，
∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①设直线，与轴交于点，与轴交于点，过点分别作y轴，x轴的垂线，两条垂线相交于点，设与抛物线的对称轴交于点，如图：
则：，轴，
∴，
∴，
∵B点到抛物线对称轴的距离为n，
∴，
∵，（），
∴，
∴
∴，
∵与抛物线相交于B、C两点，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，即：，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴
；
令：，
∴，
∵，
∴
∵当，随着的增大而减小，
∴当时，即时，的值最大为，
此时
∴
∴，即：．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．同时考查了平行线分线段成比例，一次函数，反比例函数的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形．综合性强，难度较大，属于中考压轴题．正确的求出函数解析式，画出图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
18．如图1，二次函数的图像与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点为抛物线上一动点．
①如图2，过点作轴的平行线与抛物线交于另一点，连接，．当时，求点的坐标；
②如图3，若点在直线上方的抛物线上，连接与交于点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)①或；②
【分析】（1）将，，代入解析式即可得到答案；
（2）①根据得到点到直线的距离是点到直线距离的2倍，
求出直线的解析式，过点作的平行线与轴交于点，设直线的解析式为：，根据C点坐标求出点，直线解出的解析式，根据平移规律即可得到答案；
②过点作轴的平行线与交于点，设点，则点，根据平行得到，表示出，利用函数的性质即可得到答案；
【详解】（1）解：∵的图像与轴交于点，，
∴，
解得：，
；
（2）①，
点到直线的距离是点到直线距离的2倍，
令，则，
，
，，
直线的解析式为：，
如图，过点作的平行线与轴交于点，
设直线的解析式为：，
轴，，
，
在直线上，
，
，
直线的解析式为：，
直线可看作是将直线向上平移2个单位得到，将直线向下平移4个单位得到直线：，则它与抛物线的交点就是满足条件的点，
（将直线向上平移4个单位得到直线，它与抛物线没有交点）
令，解得：，，
当时，；当时，，
点的坐标为或；
②如图，过点作轴的平行线与交于点，
设点，则点，
，
轴，
，
，
，
的最大值为．
【点睛】本题考查二次函数综合问题，主要有待定系数法求解析式，动点围成三角形面积问题及线段问题，解题的关键是根据题意列出函数根据函数性质求解．
19．抛物线经过、两点，且，直线过点，，点是线段（不含端点）上的动点，过作轴交抛物线于点，连接、．
(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)求证：为定值；
(3)在第四象限内是否存在一点，使得以、、、为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)存在，
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，则，，，计算即可求解；
（3）①当是平行四边形的边时，确定以、、、为顶点的平行四边形面积，故当最大时，平行四边形的面积最大，计算的最大值为；②当是平行四边形的对角线时，证明该种情况，不符合题设要求，进而求解．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
设直线为，
将点，的坐标代入得，
，解得：，
∴直线的解析式是：；
（2）证明：设点，，如图，过点作轴于点，
则，则，，，
∴为定值；
（3）解：存在，理由：
①当是平行四边形的边时，
如下图：设直线交轴于点，交于点，
令，则，解得；
令，则，
∴，，则，
∴，，
过点作于点，则，
则，
则以、、、为顶点的平行四边形面积，
其中为常数，
故当最大时，平行四边形的面积最大，
设点，则点，
则，
即的最大值为，此时点；
②当是平行四边形的对角线时，如下图，
同理可得：以、、、为顶点的平行四边形面积，
此时，
∵当时，的值随最大而增大，而，
当时，最大值为，
故该种情况，不符合题设要求，
综上，点，即四边形为平行四边形时，符合题设要求，
设点，
由中点坐标公式得：，
解得：，
故点．
【点睛】此题考查的是二次函数综合题目，掌握待定系数法求解析式、由坐标得线段长度、平行四边形的判定与性质是解决此题关键．
20．如图1．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是第一象限内的抛物线上一点．过点P作轴于点H，交直线BC于点Q，求的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)如图2．将地物线沿射线BC的方向平移个单位长度．得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点G，点M是x轴上一点，点N是新抛物线上一点，若以点C、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
【答案】(1)；
(2)最大值为，此时点；
(3)，或，或，或，．
【分析】（1）将点、、的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2），则，即可求解；
（3）分是边、是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解．
【详解】（1）将点、、的坐标代入抛物线表达式得：，
解得．
故抛物线的表达式为；
（2）由点、的坐标得，直线的表达式为，
设点，则点，
过点作轴于点，
由点、的坐标知，，，则，则，
则，
则，
，故有最大值，
当时，最大值为，此时点；
（3）将抛物线沿射线的方向平移个单位长度，则向左平移了2个单位，向上平移了1个单位，
则抛物线的抛物线为②；
联立①②并解得，
故点，
设点的坐标为，
①当是边时，
将点向上平移个单位得到点，则点向上平移个单位得到，
即，解得或，
故点的坐标为，或，或，或，；
②当是对角线时，
由中点公式得：，
整理得：，
△，故该方程无解；
综上，点的坐标为，或，或，或，．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
()
2024年中考数学压轴题专项
训练07 二次函数与线段最值定值问题
题型一： 二次函数与单线段最值问题
例1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点G的坐标．
题型二： 二次函数与将军饮马型问题
例2．如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y＝kx分别与y轴及抛物线交于点C，D．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
题型三： 二次函数与胡不归型线段最值问题
例3．已知抛物线yx2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧）．与y轴相交于点C，顶点为D．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若点P是y轴上一点，连接BP，当PB＝PC，OP＝2时，求b的值；
（Ⅲ）若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为（4，0），对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线段AB上一点，且AN＝2BN，连接NQ，求DQNQ的最小值．
题型四： 二次函数与三线段和最值问题
例4．如图1，已知一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．
（1）求b、c的值；
（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE＝2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；
（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR
①求证：PG＝RQ；
②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．
题型五： 二次函数与线段倍分关系最值问题
例5．抛物线y＝﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．
（1）a时，求抛物线的解析式和BC的长；
（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值；
（3）是否存在实数a，使？若存在，求出a的值，如不存在，请说明理由．
题型六： 二次函数与线段乘积问题
例6．已知直线yx+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线yx2+mx﹣2经过点A，和x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；
（3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE OF的值．
题型七： 二次函数与线段比值问题
例7．抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
题型八： 二次函数与倒数和定值问题
例8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D是抛物线顶点，点P（m，n）是在第二象限抛物线上的一点，分别连接BD、BC、BP，若∠CBD＝∠ABP，求m的值；
（3）如图1，过B、C、O三点的圆上有一点Q，并且点Q在第四象限，连接QO、QB、QC，试猜想线段QO、QB、QC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（4）如图2，若∠BAC的角平分线交y轴于点G，过点G的直线分别交射线AB、AC于点E、F（不与点A重合），则的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值．
()
