2024年山西省中考数学一模考前训练试卷
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
1．比大的数是（ ）
A． B． C． D．
2. 以下图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
3 .在国家“一带一路”倡议下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧专列．行程最长，
途经城市和国家最多的一趟专列全程长13000km，将13000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4. 下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5. 王华记录了某市一周的最高气温，气温数据如下表所示，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
星期 一 二 三 四 五 六 日
温度（℃） 23 25 24 22 25 24 25
A．22℃，25℃ B．25℃，22℃ C．24℃，25℃ D．25℃，24℃
6 . 如图，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7. 化简：（ ）
A．1 B．x C． D．
8. 函数与函数y=kx+k在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
如图，在中，，，
以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，
再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，
连接并延长交于点，以下结论错误的是（ ）
A．是的平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11 . 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，
那么小球最终停留在黑色区域的概率是 ．
12. 计算：的结果是 ．
13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a应满足 ．
若购买荔枝所付金额y(元)与购买数量x(千克)之间的函数图像如图所示，
则购买3千克荔枝需要付 元．
如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：
先将纸片沿折痕进行折叠，使点A落在边上的点E处，点F在上（如图2）；
然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，
使点C落在第一次的折痕上的点G处，点H在上（如图3），则的长是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (1) 计算：；
(2) 求不等式组：的解集．
17. 解方程：．
某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，
从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩
（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
（1）填空：＝________，＝________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？
请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，
请用列表或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
19. 如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB=5米．
（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）
（2）若AD=2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB=120°，则灯的顶端E距离地面多少米？
（参考数据：tan40°=0．84， sin40°=0.64， cos40°=）
20 . 如图，平行四边形，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于F．
（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
21 .2022年11月，某网店当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元，
12月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元．
求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；
已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为102元/个和60元/个．由于冬奥会的举行，
这两款毛绒玩具持续热销，于是该店再次购进这两款毛绒玩具共600个，
其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，若购进的这两款毛绒玩具全部售出，
则“冰墩墩”购进多少个时该店当月销售利润最大，并求出最大利润．
在中，，，点在边上，，
将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，
连接，，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形．连接．
（1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系；
（2）当时，
①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
23. 抛物线过点A(－1，0)，点B(3，0)，与y轴交于C点．
图1 图2
求抛物线的表达式及点C的坐标；
如图1，设M是抛物线上的一点，若∠MAB=45°，求M点的坐标；
如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，
过P点作PF⊥BC，交BC与F点，△PEF的周长是否有最大值，
若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由．
2024年山西省中考数学一模考前训练试卷
答案解析
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
1．比大的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的加减即可求解.
【详解】由有理数的加减，-3+5=2，故选C
2. 以下图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】依据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不符合题意．
故选：C．
3 .在国家“一带一路”倡议下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧专列．行程最长，
途经城市和国家最多的一趟专列全程长13000km，将13000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是非负数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：将13000用科学记数法表示为：．
故选：B．
4. 下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则对每个选项一一判断即可．
【详解】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确，
故选：D．
5. 王华记录了某市一周的最高气温，气温数据如下表所示，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
星期 一 二 三 四 五 六 日
温度（℃） 23 25 24 22 25 24 25
A．22℃，25℃ B．25℃，22℃ C．24℃，25℃ D．25℃，24℃
【答案】C
【分析】根据求中位数和求众数的方法求解即可．
【详解】解：把这组数据从小到大排列，位于中间位置的是24．
故中位数是：24℃．
这组数据中22出现1次，23出现1次，24出现2次，25出现3次．
故众数是：25℃．
故选：C．
6 . 如图，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得答案．
【详解】解：∵
∴
∵平分
∴
故选B．
7.化简：（ ）
A．1 B．x C． D．
【答案】D
【分析】将分式的分母分解因式，除法化为乘法，再计算乘法化简即可．
【详解】解：
，
故选：D．
8. 函数与函数y=kx+k在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，
∴一次函数y＝ kx＋k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，
∴一次函数y＝ kx＋k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，
∴一次函数y＝ kx＋k的图象经过一、三、四象限，故本选项正确；
D、由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，
∴一次函数y＝ kx＋k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误．
故选：C．
如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正多边形内角和公式求出∠FAB，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积计算即可．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB=，AB=6，
∴扇形ABF的面积=，
故选择D．
如图，在中，，，
以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，
再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，
连接并延长交于点，以下结论错误的是（ ）
A．是的平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
【答案】D
【分析】由作图可得：平分 可判断A，再求解
可得 可判断B，
再证明 可判断C，过作于 再证明
再利用 ，可判断D 从而可得答案．
【详解】解：
由作图可得：平分 故A不符合题意；
故B不符合题意；
在的垂直平分线上，故C不符合题意；
过作于
平分
故D符合题意；
故选：D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11 . 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，
那么小球最终停留在黑色区域的概率是 ．
【答案】
【分析】先计算黑色区域的面积，根据黑色方砖占总方砖的比例可得出概念．
【详解】解：∵由图可知，黑色方砖有块，共有块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是，
故答案为：．
12. 计算：的结果是 ．
【答案】
【分析】先进行二次根式的化简，再合并二次根式即可求解．
【详解】解：原式
，
故答案为：
13.若关于x的一元二次方程有实数根，则a应满足 ．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，然后求出a的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，且a≠0，
解得：a≤1且a≠0，
故答案为：a≤1且a≠0．
若购买荔枝所付金额y(元)与购买数量x(千克)之间的函数图像如图所示，
则购买3千克荔枝需要付 元．
【答案】
【分析】根据图像可得购买3kg荔枝需要付的钱即为当x=3时，y所对应的值，即求出AB段的函数解析式，将x=3代入即可．
【详解】解：设直线的解析式为：，
由图像可知：，
∴，
∴，
当时，，
故答案为：．
如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：
先将纸片沿折痕进行折叠，使点A落在边上的点E处，点F在上（如图2）；
然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，
使点C落在第一次的折痕上的点G处，点H在上（如图3），则的长是 ．
【答案】5
【分析】设BN＝x，则可表示出GN、MG、MD，利用折叠的性质可得到CD＝DG，在Rt△MDG中，利用勾股定理可求得x，再利用△MGD∽△NHG，可求得NH、GH和HC．
【详解】解：如图，过点G作MN∥AB，分别交AD、BC于点M、N，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝12，
∵∠A=∠ABC=∠BEF=90°，AB=BE，
∴四边形ABEF为正方形，
∴AF＝AB＝10，
∵MN∥AB，
∴△BNG和△FMG为等腰直角三角形，且MN＝AB＝10，
设BN＝x，则GN＝AM＝x，MG＝MN﹣GN＝10﹣x，MD＝AD﹣AM＝12﹣x，
又由折叠的可知DG＝DC＝10，
在Rt△MDG中，由勾股定理可得MD2+MG2＝GD2，
即（12﹣x）2+（10﹣x）2＝102，解得x＝4（x＝18舍去），
∴GN＝BN＝4，MG＝6，MD＝8，
又∠DGH＝∠C＝∠GMD＝90°，
∴∠NGH+∠MGD＝∠MGD+∠MDG＝90°，
∴∠NGH＝∠MDG，且∠DMG＝∠GNH，
∴△MGD∽△NHG，
∴，即，
∴NH＝3，GH＝CH＝5，
故答案为：5．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (1) 计算：；
(2) 求不等式组：的解集．
【答案】(1)4；
(2)
【分析】（1）根据实数混合计算法则计算即可；
（2）分别求解两个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
所以，原不等式组的解集是．
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【详解】解：原方程可化为．
方程两边同乘，得．
解得．
检验：当时，．
∴原方程的解是．
某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，
从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩
（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
（1）填空：＝________，＝________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？
请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，
请用列表或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
【答案】（1）＝8， ＝8；（2）见解析；（3）700人；（4）图表见解析，
【分析】（1）根据中位数的定义：可以直接从所给数据求得，从所给条形图分析解决；
（2）七、八年级的平均数和中位数相同，七年级的优秀率大于八年级的优秀率，即可求解；
（3）由七、八年级的总人数分别乘以优秀率，再相加即可；
（4）根据题意列表，然后求出所有的等可能的结果数，然后求出恰好每个年级都有一个的结果数，然后计算即可.
【详解】解：（1）由题意可知：＝8， ＝8；
（2）七年级学生的党史知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级和八年级的平均数相同，但是七年级的优秀率大于八年级的优秀率
∴七年级学生的党史知识掌握得较好；
（3）从现有样本估计全年级，七年级达到优秀的人数可能有500人×80%＝400人，
八年级达到优秀的人数可能有500人×60%＝300人，
所以两个年级能达优秀的总人数可能会有700人；
（4）把七年级的学生记做A，八年级的三名学生即为B、C、D，列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
由表知，一共有12种等可能性的结果，恰好每个年级都有一个的结果数是6，
两人中恰好是七八年级各1人的概率是 ．
19. 如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB=5米．
（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）
（2）若AD=2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB=120°，则灯的顶端E距离地面多少米？
（参考数据：tan40°=0．84， sin40°=0.64， cos40°=）
【答案】（1）6.7米；（2）7米．
【分析】（1）利用三角函数即可求得CD 的长；
（2）过E作AB 的垂线，垂足为F，根据三角函数求得BD、AF的长，则BF的长就是点E到地面的距离．
【详解】解：（1）在Rt⊿BCD中，
∵cos40°=，
∴CD==5÷≈6.7（米）．
（2）∵∠EAF=180°-120°=60°，在Rt⊿AEF中，cos60°=，
∴AF=AE·cos60°=1.6×0.5=0.8．
在Rt⊿BCD中，tan40°=，
∴BD=BC·tan40°=5×0.84=4.2．
∴BF=4.2+2+0.8=7（米）．
即灯的顶端E距离地面7米．
20 . 如图，平行四边形，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于F．
（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）24．
【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证；
（2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点E为DC的中点，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵的面积为2，
∴，即，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
21 .2022年11月，某网店当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元，
12月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元．
求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；
已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为102元/个和60元/个．由于冬奥会的举行，
这两款毛绒玩具持续热销，于是该店再次购进这两款毛绒玩具共600个，
其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，若购进的这两款毛绒玩具全部售出，
则“冰墩墩”购进多少个时该店当月销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为120元和80元；
(2)当“冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元．
【分析】（1）根据题意，列二元一次方程组即可；
（2）根据题意，列一元一次不等式组，求出m的解集，表示出月销售利润w=-2m+12000，根据函数增减性即可求出最大利润．
【详解】（1）解：设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为x元，y元，
根据题意得，
解得，
答：“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为120元和80元；
（2）解：设“冰墩墩”购进m个时该旗舰店当月销售利润最大，此时“雪容融”购进了（600-m）个，
根据题意，得600-m≤2m，
解不等式得m≥200，
设该旗舰店当月销售利润w=（120-102）m+（80-60）（600-m）=-2m+12000，
∵-2＜0，
∴w随着m的增大而减小，
∴当m=200时，w最大=-400+12000=11600，
答：当“冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元．
22. 在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形．连接．
（1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系；
（2）当时，
①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）①成立，理由见解析；②平行四边形，理由见解析；
【分析】（1）如图1，证明，由平行线分线段成比例可得，由的余弦值可得；
（2）①根据两边成比例，夹角相等，证明，即可得；
②如图3，过作，连接, 交于点，根据已知条件证明，根据平行线分线段成比例可得，根据锐角三角函数以及①的结论可得,
根据三角形内角和以及可得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）如图1，
，，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，
，
，
，
，
，
即；
（2）①仍然成立，理由如下：
如图2，
，，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，
，
，
即，
，
，
，
，
，
即；
②四边形是平行四边形，理由如下：
如图3，过作，连接, 交于点，
，，
，
，
，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由①可知，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
四边形是平行四边形．
23. 抛物线过点A(－1，0)，点B(3，0)，与y轴交于C点．
图1 图2
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图1，设M是抛物线上的一点，若∠MAB=45°，求M点的坐标；
(3)如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，过P点作PF⊥BC，交BC与F点，△PEF的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由．
【答案】(1)，C(0，－3)
(2)M（4，5）或M（2，－3）
(3)有，P点的坐标为（，－）
【分析】(1)把点的坐标代入解析式，转化为方程组，确定a，b的值即可．
(2)分点M在第一象限和第四象限两种情况根据45度角的特征列方程求解即可．
(3)根据垂直及对顶角相等易证△FPE∽△OBC，根据相似三角形的性质将题转化为与△OBC的周长有关的比例式；设直线BC的解析式为y=px+q，根据待定系数法求出直线BC的解析式，设P（n，），则E(n，n－3)，列出关于n的二次函数式，根据二次函数最值即可得出答案．
【详解】（1）由题意得
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴点C(0，－3)．
（2）①当M点在第一象限时，
设M（m，），
过M点作MN⊥x轴，
∵∠MAB＝45°，MN＝NA，
∴m＋1＝，
解方程得：m＝4或m＝－1，
m＝－1不合题意，舍去．
故m＝4 ，
∴M（4，5）；
当M点在第四象限时，同理可得：
m＋1＝－（）
解方程得：m＝2或m＝－1，
m＝－1不合题意，舍去．
故m＝2，
∴M（2，－3），
综上M（4，5）或M（2，－3）．
（3）△PEF的周长有最大值．理由如下：
∵PD⊥DB，
∴∠EBD＝90°－∠DEB，
∵PF⊥BC，
∴∠FPE＝90°－∠FEP，
∵∠DEB＝∠FEP，
∴∠EBD＝∠FPE，
又∵∠EFP＝∠BOC＝90°，
∴△FPE∽△OBC，
∴△PEF的周长：△OBC的周长＝PE：BC，
∵OB=OC=3，
∴BC=，
∴△PEF的周长为z，△OBC的周长＝，
∵直线BC过B（3，0）和C（0，－3），
设直线BC的解析式为y=px+q，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x－3，
设P（n，），则E(n，n－3)
PE＝n－3－（）＝，
∴z：（6＋3）＝()：3，
z＝－(＋1) ＋3(＋1）n，
∵－(＋1)＜0，
∴z有最大值，此时n＝，
当n＝时，＝－，
故P点的坐标为（，－）．
