2024成都中考数学一轮复习 一次函数与反比例函数（学生版）
目标层级图
课中讲解
一、一次函数的图像与性质
一次 函数
， 符号
图象
性质 随的增大而增大 随的增大而减小
内容讲解
例1．已知一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是 ．
例2．已知一次函数中，随的增大而增大，这个函数的图象可能是
A． B．
C． D．
例3.（1）已知正比例函数的图象经过点，，则 （填“”“ ”或“”
（2）已知点和都在直线上，则，的大小关系是
A． B． C． D．大小不确定
过关检测
1．一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是 ．
2．已知是一次函数，且随的增大而减少，则的值为 ．
3．若一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是
A． B．且 C． D．
4．已知一次函数的图象如图所示，则的图象可能是
A． B．
C． D．
5．正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是
A． B．
C． D．
6.已知点，都在直线上，则，大小关系是
A． B． C． D．不能比较
二、反比例函数的图像与性质
内容讲解：位置： 当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;
当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内;
增减性： 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
k的符号 k＞0 k＜0
图像的大致位置
经过象限 第 象限 第 象限
性质 在每一象限内y随x的增大而 在每一象限内y随x的增大而
例1.当时，函数与在同一平面直角坐标系内的大致图象是
A． B．
C． D．
例2．对于反比例函数，下列说法中不正确的是
A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大
C．图象经过点
D．若点，，，都在图象上，且，则
例3.如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点是轴上的任意一点，则的面积为 ．
过关检测
1．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是
A．图象必经过点 B．随的增大而减小
C．图象在第一、三象限内 D．若，则
2．已知反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则的取值范围是
A． B． C． D．
3．若一次函数和反比例函数，则这两个函数在同一平面直角坐标系中图象不可能是
A． B．
C． D．
4．如图是反比例函数图象的一支，则一次函数的图象大致是
A． B．
C． D．
5．反比例函数与一次函数（其中为自变量，为常数）在同一坐标系中的图象可能是
A．B．C．D．
6．若点，，，，，在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是
A． B． C． D．
三.一次函数与反比例函数综合
1.求点的坐标+求解析式+交点个数
例1. 如图，一次函数为常数）的图象与反比例函数为常数，且的图象交于，两点，且点的坐标为．
（1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求点的坐标．
例2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴相交于点，连接，且的面积为．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线向下平移了几个单位长度？
变式训练
1.如图，一次函数为常数，且的图象与反比例函数的函数交于，两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值．
2.如图，直线为常数，并且与双曲线交于，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）求点的坐标；
（3）若直线与双曲线有且只有一个公共点，求的值．
2.面积类问题
(一)求面积类
方法点拨：（1）铅垂法（2）割补法（3）直接求
结论一：如图，
如图，A、B两点为反比例函数图象上两点，
分别过点A，点B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则
证明：∵ ∴ ∴
结论二：如图，直线AB与反比例函数交于A、B两点，连接OB，OA，在求的数值
时，采用下面两个方法。
方法一：利用；
方法二：利用
方法三：如图，延长AO交反比例函数于点C，则可利用对称性，求出C点坐标，
连接BC，则OB为的中线，分别过B，C向x轴作垂线，则易得
例1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积．
例2.如图，在平面直角坐标中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线向上平移3个单位长度后与轴交于点，与反比例函数图象在第四象限内的交点为，连接，，求点的坐标及的面积．
变式训练
1. 如图，已知反比例函数的图象经过点，，直线经过该反比例函数图象上的点．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数图象的另一个交点为，连接、，求的面积．
（二）面积比值类 方法点拨：作简图，设点，分类讨论
例1. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
变式训练
1.如图，菱形的一边在轴负半轴上．是坐标原点，点，对角线与相交于点，且，若反比例函数的图象经过点，并与的延长线交于点．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求之值．
(三)面积定值 方法点播：作简图，分类讨论，根据面积结合绝对值列出关系式
例1.如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标；
（2）是第一象限内反比例函数图象上一点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，若的面积为3，求点的坐标．
变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与反比例函数交于点和点．
（1）求反比例函数表达式及点的坐标；
（2）点是轴上的一点，若的面积是6，求点的坐标．
3.最值问题
方法点拨: 将军饮马类
例1.如图，一次函数的图象与反比例函数为常数，且的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标及的面积．
变式训练
1.如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于．两点，与反比例函数的图象分别交于．两点，点，．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出时自变量的取值范围．
（3）动点在轴上运动，当的值最大时，直接写出点的坐标．
4.存在性问题
（一）等腰三角形存在性问题
方法点拨：作图：两圆一线;设点找关系式
（1）距离公式
（2）对称性找特殊点
例1. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）若一次函数与反比例函数的图象恰有一个交点，求的值．
（3）点在轴上（其中，当为等腰三角形时，求点的坐标．（直接写出结论）
变式训练
1.如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式及点的坐标；
（2）若点为轴上一点，且满足是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点的坐标．
2.如图，在直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别是，，反比例函数的图象交，分别于点，．
（1）求直线的解析式；
（2）求四边形的面积；
（3）若点在轴上，且是等腰三角形，请直接写出点的坐标．
（二）直角三角形存在性问题
方法点拨：作图：两线一圆；设点找关系式
（1）建立勾股方程
（2）斜率乘积为-1
（3）“K”型相似
例1．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线的两个交点为，，其中．
（1）求的值及直线的表达式；
（2）若点为轴上一个动点，且为直角三角形，直接写出满足条件的点的个数．
变式训练
1.如图，已知一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求时，自变量的取值范围；
（3）若点是轴上一动点，当为直角三角形时，求点的坐标．
2.如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于，两点，点的坐标为，点的坐标为，连接，过作轴，垂足为．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在射线上是否存在一点，使得是直角三角形，求出所有可能的点坐标．
（三）平行四边形存在性问题
方法点拨：作图，设点，找关系式
例1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象交于．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设是直线上一点，过作轴，交反比例函数的图象于点，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．
例2.如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点，，点、在第二象限内．
（1）点的坐标是 ；
（2）将正方形以每秒1个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由．
变式训练
1.如图，已知一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，与反比例函数的图象在第二象限的交点为
（1）分别求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点在该反比例函数的图象上，点在轴上，且，两点在直线的同侧，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点和点的坐标．
（四）菱形的存在性问题
方法点拨：参考等腰三角形存在性问题方法
例1.如图， 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交雨点，轴于点，且．
（1） 求一次函数、 反比例函数解析式；
（2） 直接写出当时的取值范围；
（3） 反比例函数图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在， 求出点的坐标；若不存在， 请说明理由 ．
变式训练
1.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，且．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
5.数形结合比较大小
方法点拨：作垂线，分区间，比较大小
例1：如图，一次函数的图象与反比例函数为常数，且的图象都经过点
（1）求点的坐标及反比例函数的表达式；
（2）结合图象直接比较：当时，和的大小．
变式训练
1.（如图，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围．
2.如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于、两点，交轴于点，是轴上一个动点．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象回答：当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
3.如图，直线与双曲线交于点，点，过点作轴于点，，延长至，使，连接．
（1）求的值；
（2）求的大小；
（3）直接写出当时，的取值范围．
学习任务
1．函数图象的大致形状是
A． B．
C． D．
2．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作平行四边形，使点、在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为8，则的值为
A．8 B． C．4 D．
3．如图，点，是反比例函数上的动点，过分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，．随着的增大，四边形的面积
A．增大 B．减小 C．不确定 D．不变
4．若双曲线的图象的一支位于第三象限，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
6．对于双曲线，下列叙述正确的是
A．图象在第一、三象限内 B．与轴交点坐标为
C．随的增大而增大 D．经过点
7．如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接、，若的面积为3，则的值为
A．8 B． C．5 D．
2024成都中考数学一轮复习 一次函数与反比例函数（学生版）
目标层级图
反比例函数与一次函数主要在A卷19题考查，中考选填题会考察一部分，重点讲解一次函数与反比例函数综合。涉及题型为 求解析式，求坐标，三角形的面积问题，存在性问题，比较大小。重难点在存在性问题以及面积问题。存在性问题涉及等腰三角形，直角三角形以及四边形。面积问题要分类讨论，多结合绝对值。
课前检测
1．
课中讲解
一、一次函数的图像与性质
一次 函数
， 符号
图象
性质 随的增大而增大 随的增大而减小
内容讲解
例7．已知一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是 ．
【解答】解：由题意可知：，
解得：，
故答案为：．
例11．已知一次函数中，随的增大而增大，这个函数的图象可能是
A． B．
C． D．
例12.（1）已知正比例函数的图象经过点，，则 （填“”“ ”或“”
（2）已知点和都在直线上，则，的大小关系是
A． B． C． D．大小不确定
过关检测
1．一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是 ．
【解答】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，
，
解得，．
故答案为：．
2．已知是一次函数，且随的增大而减少，则的值为 ．
【解答】解：正比例函数，随的增大而减小，
，
解得：，
故答案为．
3．若一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是
A． B．且 C． D．
【解答】解：当一次函数的图象经过第二、四象限时，，无解，舍去；
当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，，
解得：．
故选：．
4．已知一次函数的图象如图所示，则的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：由一次函数的图象可知，
，，
则的图象经过第一、二、四象限，
故选：．
5．正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是
A． B．
C． D．
6.已知点，都在直线上，则，大小关系是
A． B． C． D．不能比较
【解答】解：由一次函数，可知随的增大而减小，
点，，
，
故选：．
二、反比例函数的图像与性质
内容讲解：位置： 当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;
当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内;
增减性： 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
k的符号 k＞0 k＜0
图像的大致位置
经过象限 第 象限 第 象限
性质 在每一象限内y随x的增大而 在每一象限内y随x的增大而
例1.当时，函数与在同一平面直角坐标系内的大致图象是
A． B．
C． D．
32．对于反比例函数，下列说法中不正确的是 D
A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大
C．图象经过点
D．若点，，，都在图象上，且，则
例2.如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点是轴上的任意一点，则的面积为 1 ．
过关检测
37．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是
A．图象必经过点 B．随的增大而减小
C．图象在第一、三象限内 D．若，则
【解答】解：、将代入反比例解析式得：，反比例函数图象过点，本选项正确；
、反比例函数在第一或第三象限随的增大而减小，本选项错误；
、由反比例函数的系数，得到反比例函数图象位于第一、三象限，本选项正确；
、由反比例函数图象可得：当时，，本选项正确，
综上，不正确的结论是．
故选：．
38．已知反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，得
，
解得，
故选：．
39．若一次函数和反比例函数，则这两个函数在同一平面直角坐标系中图象不可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：当时，，反比例函数的图象在二，四象限，
一次函数的图象过二、三、四象限，故选项错误，符合题意；而选项正确，不合题意；
当时，的符号不确定，则反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、三、四象限或一、二、三象限故选项，正确，不符合题意．
故选：．
40．如图是反比例函数图象的一支，则一次函数的图象大致是
A． B．
C． D．
【解答】解：由图可得，
反比例函数中的，
一次函数的图象在第一、三、四象限，
故选：．
41．反比例函数与一次函数（其中为自变量，为常数）在同一坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，由一次函数在轴上的截距可知，两结论矛盾，故本选项错误；
、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，两结论矛盾，故本选项错误；
、由反比例函数的图象可知，即，由一次函数的图象可知，当时，，故，两结论一致，故本选项正确确；
、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，由一次函数在轴上的截距可知，两结论矛盾，故本选项错误．
故选：．
42．若点，，，，，在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解：，
反比例函数图象分布在第，二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，
，，
．
故选：．
一次函数与反比例函数综合
1.求点的坐标+求解析式+交点个数
例1. 如图，一次函数为常数）的图象与反比例函数为常数，且的图象交于，两点，且点的坐标为．
（1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求点的坐标．
解：（1）一次函数y＝﹣2x+b（b为常数）的图象过（﹣1，4），
∴4＝﹣2×（﹣1）+b，b＝2，
一次函数的解析式为y＝﹣2x+2，
反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象过A（﹣1，4），
∴4＝，k＝﹣4，
反比例函数的解析式为y＝，
（2）如图：
，
一次函数y＝﹣2x+2（b为常数）的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A、B两点，
则，
解得，，
B（2，﹣2），
当y＝0时，y＝﹣2x+2，x＝1，
S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝3；
（3）一次函数图象在反比例函数图象下方的部分，
﹣1＜x＜0或x＞2．
例2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴相交于点，连接，且的面积为．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线向下平移了几个单位长度？
解：（1）一次函数y＝﹣x+5中，令y＝0，解得x＝5，
∴C（5，0），
∴OC＝5，
作BD⊥OC于D，
∵△BOC的面积为，
∴OC BD＝，即BD＝，
∴BD＝1，
∴点B的纵坐标为1，
代入y＝﹣x+5中，求得x＝4，
∴B（4，1），
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过B点，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝﹣x+5﹣m，
∵直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点，
∴＝﹣x+5﹣m，
整理得x2+（m﹣5）x+4＝0，
△＝（m﹣5）2﹣4×1×4＝0，解得m＝9或m＝1，
即m的值为1或9．
变式训练
1.如图，一次函数为常数，且的图象与反比例函数的函数交于，两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值．
解：（1）把A（﹣2，b）代入y＝﹣得b＝﹣＝4，
所以A点坐标为（﹣2，4），
把A（﹣2，4）代入y＝kx+5得﹣2k+5＝4，解得k＝，
所以一次函数解析式为y＝x+5；
（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝x+5﹣m，
根据题意方程组只有一组解，
消去y得﹣＝x+5﹣m，
整理得x2﹣（m﹣5）x+8＝0，
△＝（m﹣5）2﹣4××8＝0，解得m＝9或m＝1，
即m的值为1或9．
2.如图，直线为常数，并且与双曲线交于，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）求点的坐标；
（3）若直线与双曲线有且只有一个公共点，求的值．
解：（1）∵直线y＝k1x+5过点A（﹣2，4），
∴﹣2k1+5＝4，
∴k1＝，
∴直线AB的解析式为y＝x+5；
（2）∵点A（﹣2，4）在双曲线y＝上，
∴k2＝﹣2×4＝﹣8，
∴双曲线的解析式为y＝﹣，
解方程组得，，，
∴点B的坐标为（﹣8，1）；
（3）将y＝x+m代入y＝得，x2+2mx+16＝0，
∵直线y＝x+m与双曲线y＝有且只有一个公共点，
∴△＝（2m）2﹣4×1×16＝0，
∴m＝±4．
2.面积类问题
(一)求面积类
方法点拨：（1）铅垂法（2）割补法（3）直接求
结论一：如图，
如图，A、B两点为反比例函数图象上两点，
分别过点A，点B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则
证明：∵ ∴ ∴
结论二：如图，直线AB与反比例函数交于A、B两点，连接OB，OA，在求的数值
时，采用下面两个方法。
方法一：利用；
方法二：利用
方法三：如图，延长AO交反比例函数于点C，则可利用对称性，求出C点坐标，
连接BC，则OB为的中线，分别过B，C向x轴作垂线，则易得
例1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积．
解：（1）由得，
∴A（﹣2，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴k＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数的表达式是y＝﹣；
（2）解得或，
∴B（﹣8，1），
由直线AB的解析式为y＝x+5得到直线与x轴的交点为（﹣10，0），
∴S△AOB＝×10×4﹣×10×1＝15．
例2.如图，在平面直角坐标中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线向上平移3个单位长度后与轴交于点，与反比例函数图象在第四象限内的交点为，连接，，求点的坐标及的面积．
解：（1）根据题意，将点A（2，﹣2）代入y＝kx，得：﹣2＝2k，
解得：k＝﹣1，
∴正比例函数的解析式为：y＝﹣x，
将点A（2，﹣2）代入y＝，得：﹣2＝，
解得：m＝﹣4；
∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；
（2）直线OA：y＝﹣x向上平移3个单位后解析式为：y＝﹣x+3，
则点B的坐标为（0，3），
联立两函数解析式，解得：或，
∴第四象限内的交点C的坐标为（4，﹣1），
∵OA∥BC，
∴S△ABC＝S△OBC＝×BO×xC＝×3×4＝6．
变式训练
1. 如图，已知反比例函数的图象经过点，，直线经过该反比例函数图象上的点．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数图象的另一个交点为，连接、，求的面积．
解：（1）把点（，8）代入反比例函数，得k＝×8＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；
又∵点Q（4，m）在该反比例函数图象上，
∴4 m＝4，
解得m＝1，即Q点的坐标为（4，1），
而直线y＝﹣x+b经过点Q（4，1），
∴1＝﹣4+b，
解得b＝5，
∴直线的函数表达式为y＝﹣x+5；
（2）联立，
解得或，
∴P点坐标为（1，4），
对于y＝﹣x+5，令y＝0，得x＝5，
∴A点坐标为（5，0），
∴S△OPQ＝S△AOB﹣S△OBP﹣S△OAQ
＝×5×5﹣×5×1﹣×5×1
＝．
（二）面积比值类 方法点拨：作简图，设点，分类讨论
例1. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4），
∴m＝3×4＝12，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵直线y＝kx+b过点A，
∴3k+b＝4，
∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点，
∴B（﹣，0），C（0，b），
∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，
∴×4×|﹣|＝2×|﹣|×|b|，
∴b＝±2，
当b＝2时，k＝，
当b＝﹣2时，k＝2，
∴直线的函数表达式为：y＝x+2或y＝2x﹣2．
变式训练
如图，菱形的一边在轴负半轴上．是坐标原点，点，对角线与相交于点，且，若反比例函数的图象经过点，并与的延长线交于点．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求之值．
解：（1）作CG⊥AO于点G，作BH⊥x轴于点H，
∵AC OB＝130，
∴S菱形OABC＝ AC OB＝65，
∴S△OAC＝S菱形OABC＝，即AO CG＝，
∵A（﹣13，0），即OA＝13，
根据勾股定理得CG＝5，
在Rt△OGC中，∵OC＝OA＝13，
∴OG＝12，
则C（﹣12，﹣5），
∵四边形OABC是菱形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∴∠BAH＝∠COG，
在△BAH和△COG中
∴△BAH≌△COG（AAS），
∴BH＝CG＝5、AH＝OG＝12，
∴B（﹣25，﹣5），
∵D为BO的中点，
∴D（﹣，﹣），
∵D在反比例函数图象上，
∴k＝﹣×（﹣）＝，即反比例函数解析式为y＝；
（2）当y＝﹣5时，x＝﹣，
则点E（﹣，﹣5），
∴CE＝，
∵S△OCE＝ CE CG＝××5＝，S△AOB＝ AO BH＝×13×5＝，
∴S△AOB：S△OCE＝52：23．
(三)面积定值 方法点播：作简图，分类讨论，根据面积结合绝对值列出关系式
例1.如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标；
（2）是第一象限内反比例函数图象上一点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，若的面积为3，求点的坐标．
解：（1）把A（a，﹣2）代入y＝x，可得a＝﹣4，
∴A（﹣4，﹣2），
把A（﹣4，﹣2）代入y＝，可得k＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（4，2）；
（2）如图所示，过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，
设P（m，），则C（m，m），
∵△POC的面积为3，
∴m×|m﹣|＝3，
解得m＝2或2，
∴P（2，）或（2，4）．
变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与反比例函数交于点和点．
（1）求反比例函数表达式及点的坐标；
（2）点是轴上的一点，若的面积是6，求点的坐标．
(1) y=2x-2 (2)P(4,0) (-2,0)
最值问题 方法点拨: 将军饮马类
例1.如图，一次函数的图象与反比例函数为常数，且的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标及的面积．
解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，
得a＝﹣1+4，
解得a＝3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y＝，
得k＝3，
∴反比例函数的表达式y＝，
两个函数解析式联立列方程组得，
解得x1＝1，x2＝3，
∴点B坐标（3，1）；
（2）过点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，
∴D（3，﹣1），
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
把A，D两点代入得，，
解得m＝﹣2，n＝5，
∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+5，
令y＝0，得x＝，
∴点P坐标（，0），
S△PAB＝S△ABD﹣S△PBD＝×2×2﹣×2×＝2﹣＝．
变式训练
1.如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于．两点，与反比例函数的图象分别交于．两点，点，．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出时自变量的取值范围．
（3）动点在轴上运动，当的值最大时，直接写出点的坐标．
解：（1）∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2＝的图象上，
∴k2＝2×（﹣3）＝﹣6，
∴y2＝；
如图，作DE⊥x轴于E，
∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，
∴A（﹣2，0），
∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1＝k1x+b的图象上，
，
解得k1＝﹣，b＝﹣，
∴；
（2）由，解得，，
∴C（﹣4，），
∴S△COD＝S△AOC+S△AOD＝×2×+×2×3＝；
（3）由图可得，当k1x+b﹣≥0时，x≤﹣4或0＜x≤2．
（4）作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，
∴由C'和D的坐标可得，直线C'D为，
令x＝0，则y＝﹣，
∴当|PC﹣PD|的值最大时，点P的坐标为（0，）．
存在性问题（一）等腰三角形存在性问题
方法点拨：作图：两圆一线;设点找关系式
（1）距离公式
（2）对称性找特殊点
例1. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）若一次函数与反比例函数的图象恰有一个交点，求的值．
（3）点在轴上（其中，当为等腰三角形时，求点的坐标．（直接写出结论）
变式训练
1.如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式及点的坐标；
（2）若点为轴上一点，且满足是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点的坐标．
解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y＝，
解得，，，
∴B（2，1）；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
∵A（1，2），
∴AC＝＝2，
过A作AD⊥x轴于D，
∴OD＝1，CD＝AD＝2，
当AP＝AC时，PD＝CD＝2，
∴P（﹣1，0），
当AC＝CP＝2时，△ACP是等腰三角形，
∴OP＝3﹣2或OP＝3+2
∴P（3﹣2，0）或（3+2，0），
当AP＝CP时，△ACP是等腰三角形，此时点P与D重合，
∴P（1，0），
综上所述，所有点P的坐标为（﹣1，0）或（3﹣2，0）或（3+2，0）或（1，0）．
2.）如图，在直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别是，，反比例函数的图象交，分别于点，．
（1）求直线的解析式；
（2）求四边形的面积；
（3）若点在轴上，且是等腰三角形，请直接写出点的坐标．
解：（1）∵点B的坐标为（2，1），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，
∴点A，点E纵坐标为1，点C，点F的横坐标为2，
∵点E，点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴点E（1，1），点F（2，），
设直线EF的解析式的解析式为：y＝kx+b，
∴
∴
∴直线EF的解析式的解析式为：y＝﹣x+；
（2）∵四边形BEOF的面积＝S四边形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF，
∴四边形BEOF的面积＝2﹣﹣＝1；
（3）∵点E（1，1），
∴OE＝，
若OE＝OP＝，则点P（0，）或（0，﹣），
若OE＝EP，且AE⊥AO，
∴OA＝AP＝1，
∴点P（0，2）
若OP＝PE，
∴点P在OE的垂直平分线上，即点P（0，1），
综上所述：当点P（0，）或（0，﹣）或（0，2）或（0，1）时，△POE是等腰三角形．
（二）直角三角形存在性问题
方法点拨：作图：两线一圆；设点找关系式
（1）建立勾股方程
（2）斜率乘积为-1
（3）“K”型相似
例1．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线的两个交点为，，其中．
（1）求的值及直线的表达式；
（2）若点为轴上一个动点，且为直角三角形，直接写出满足条件的点的个数．
解：（1）把A（﹣1，m）代入y＝得
∴m＝﹣4
把A（﹣1，﹣4）代入y＝kx﹣3
∴﹣4＝﹣k﹣3
∴k＝1
∴y＝x﹣3，
（2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝x﹣3①，
∵双曲线的解析式为y＝②，
联立①②解得，或，
∴A（﹣1，﹣4），B（4，1），
设点M的坐标为（m，0），
∴AB2＝50，AM2＝（m+1）2+16，BM2＝（m﹣4）2+1
∵△AMB是直角三角形，
∴①当∠AMB＝90°时，AM2+BM2＝AB2，
∴50＝（m+1）2+16+（m﹣4）2+1，
∴m＝，
∴M（，0）或（，0）；
②当∠BAM＝90°时，AB2+AM2＝BM2，
∴50+（m+1）2+16＝（m﹣4）2+1，
∴m＝﹣5，
∴M（﹣5，0）；
③当∠ABM＝90°时，AB2+BM2＝AM2，
∴50+（m﹣4）2+1＝（m+1）2+16，
∴m＝5，
∴M（5，0）
∴满足条件的点M有4个．
变式训练
1.）如图，已知一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求时，自变量的取值范围；
（3）若点是轴上一动点，当为直角三角形时，求点的坐标．
解：（1）把A（2，4）代入y2＝得m＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为y2＝，
把B（4，n）代入y2＝得4n＝8，解得n＝2，则B（4，2），
把A（2，4）和B（4，2）代入y1＝kx+b得，解得，
∴一次函数解析式为y1＝﹣x+6；
（2）当0＜x＜2或x＞4时，y1＜y2；
（3）设P（t，0），
∵A（2，4），B（4，2）
∴PA2＝（t﹣2）2+42＝t2﹣4t+20，PB2＝（t﹣4）2+22＝t2﹣8t+20，AB2＝（4﹣2）2+（2﹣4）2＝8，
当∠PAB＝90°时，PA2+AB2＝PB2，即t2﹣4t+20+8＝t2﹣8t+20，解得t＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0），
当∠PBA＝90°时，PB2+AB2＝PA2，即t2﹣8t+20+8＝t2﹣4t+20，解得t＝2，此时P点坐标为（2，0），
当∠APB＝90°时，PA2+PB2＝AB2，即t2﹣4t+20+t2﹣8t+20＝8，整理得t2﹣6t+16＝0，方程没有实数解，
综上所述．P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）．
2.如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于，两点，点的坐标为，点的坐标为，连接，过作轴，垂足为．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在射线上是否存在一点，使得是直角三角形，求出所有可能的点坐标．
解：（1）∵点B（2，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点A的纵坐标为6，
∵点A在反比例函数y＝图象上，
∴A（1，6），
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为y＝﹣3x+9；
（2）如图，①当∠OD1A＝90°时，
设BC与AO交于E，则E（，3），
∴AE＝OE＝D1E＝，
∵E（，3），
∴D1的坐标为（，3）；
②当∠OAD2＝90°时，
可得直线AD2的解析式为：y＝﹣x+，
当y＝3时，x＝19，
∴D2的坐标为（19，3），
综上所述，当△AOD是直角三角形，D点坐标为（，3）或（19，3）
（三）平行四边形存在性问题
方法点拨：作图，设点，找关系式
例1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象交于．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设是直线上一点，过作轴，交反比例函数的图象于点，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．
解：（1）∵一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），
∴0＝﹣2+b，得b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝x+2，
∵一次函数的解析式为y＝x+2与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4），
∴4＝a+2，得a＝2，
∴4＝，得k＝8，
即反比例函数解析式为：y＝（x＞0）；
（2）∵点A（﹣2，0），
∴OA＝2，
设点M（m﹣2，m），点N（，m），
当MN∥AO且MN＝AO时，四边形AOMN是平行四边形，
||＝2，
解得，m＝2或m＝+2，
∴点M的坐标为（﹣2，）或（，2+2）．
例2.如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点，，点、在第二象限内．
（1）点的坐标是 ；
（2）将正方形以每秒1个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图1所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠EAD+∠BAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF．
在△ADE和△BAF中，有，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴DE＝AF，AE＝BF．
∵点A（﹣6，0），D（﹣7，3），
∴DE＝3，AE＝1，
∴点B的坐标为（﹣6+3，0+1），即（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
（2）设反比例函数为y＝，
由题意得：点B′坐标为（﹣3+t，1），点D′坐标为（﹣7+t，3），
∵点B′和D′在该比例函数图象上，
∴，
解得：t＝9，k＝6，
∴反比例函数解析式为y＝．
（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．
以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：
①当B′D′为对角线时，
∵四边形B′PD′Q为平行四边形，
∴，解得：，
∴P（，0），Q（，4）；
②当B′D′为边时．
∵四边形PQB′D′为平行四边形，
∴，解得：，
∴P（7，0），Q（3，2）；
∵四边形B′QPD′为平行四边形，
∴，解得：，
∴P（﹣7，0），Q（﹣3，﹣2）；
综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点P、Q的坐标为P（，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（﹣7，0）、Q（﹣3，﹣2）．
变式训练
1.如图，已知一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，与反比例函数的图象在第二象限的交点为
（1）分别求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点在该反比例函数的图象上，点在轴上，且，两点在直线的同侧，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点和点的坐标．
解：（1）∵点A是一次函数y＝mx﹣4的图象上，
∴﹣4m﹣4＝0，
∴m＝﹣1，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣4，
∵点C（﹣5，n）是直线y＝﹣x﹣4上，
∴n＝﹣（﹣5）﹣4＝1，
∴C（﹣5，1），
∵点C（﹣5，1）是反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝﹣5×1＝﹣5，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）由（1）知，C（﹣5，1），直线AB的解析式为y＝﹣x﹣4，
∴B（0，﹣4），
设点Q（q，0），P（p，﹣），
∵以B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，且P，Q两点在直线AB的同侧，
∴①当BP与CQ是对角线时，
∴BP与CQ互相平分，
∴，
∴，
∴P（﹣1，5），Q（4，0）
②当BQ与CP是对角线时，
∴BQ与CP互相平分，
∴，
∴，
∴P（1，﹣5），Q（﹣4，0），
此时，点C，Q，B，P在同一条线上，不符合题意，舍去，
即以B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点P（﹣1，5），点Q（4，0）．
（四）菱形的存在性问题
方法点拨：参考等腰三角形存在性问题方法
例1.如图， 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交雨点，轴于点，且．
（1） 求一次函数、 反比例函数解析式；
（2） 直接写出当时的取值范围；
（3） 反比例函数图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在， 求出点的坐标；若不存在， 请说明理由 ．
解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝．
（2）观察图象可知：＞kx+b时x的取值范围0＜x＜4．
（3）如图所示，
∵点C（0，1），B（4，0）
∴BC＝＝，PC＝，
∴以BC、PC为边构造菱形，
当四边形BCPD为菱形时，
∴PB垂直且平分CD，
∵PB⊥x轴，P（4，2），
∴点D（8，1）．
把点D（8，1）代入y＝，得左边＝右边，
∴点D在反比例函数图象上．，
∵BC≠PB，
∴以BC、PB为边不可能构造菱形，
同理，以PC、PB为边也不可能构造菱形．
综上所述，点D（8，1）．
变式训练
1.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，且．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：，
解得：k＝，b＝1，
∴一次函数解析式为y＝x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝；
（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，连接DC与PB交于E，
∵四边形BCPD为菱形，
∴CE＝DE＝4，
∴CD＝8，
将x＝8代入反比例函数y＝得y＝1，
∴D点的坐标为（8，1）
∴则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．
六．数形结合比较大小
方法点拨：作垂线，分区间，比较大小
例1：如图，一次函数的图象与反比例函数为常数，且的图象都经过点
（1）求点的坐标及反比例函数的表达式；
（2）结合图象直接比较：当时，和的大小．
变式训练
1.如图，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围．
2.如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于、两点，交轴于点，是轴上一个动点．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象回答：当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
3.如图，直线与双曲线交于点，点，过点作轴于点，，延长至，使，连接．
（1）求的值；
（2）求的大小；
（3）直接写出当时，的取值范围．
学习任务
1．函数图象的大致形状是
A． B．
C． D．
【解答】解：由函数解析式可得可取正数，也可取负数，但函数值只能是负数；
所以函数图象应在轴下方，并且，均不为0．
故选：．
【点评】解决本题的关键是根据在函数图象上的点得到函数图象的大致位置．
2．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作平行四边形，使点、在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为8，则的值为
A．8 B． C．4 D．
【解答】解：作于，如图，
四边形为平行四边形，
轴，
四边形为矩形，
，
而，
，
而，即，
．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
3．如图，点，是反比例函数上的动点，过分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，．随着的增大，四边形的面积
A．增大 B．减小 C．不确定 D．不变
【解答】解：，，
则．
在函数的图象上，
．
，
随着的增大，四边形的面积不变，都是1．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用、表示出四边形的面积是解题的关键．
4．若双曲线的图象的一支位于第三象限，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线的图象的一支位于第三象限，
，
；
故选：．
【点评】此题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数，当时，图象在第一、三象限，且在每一个象限随的增大而减小；当时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限随的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
5．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解：点，，在反比例函数的图象上，
，，，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
6．对于双曲线，下列叙述正确的是
A．图象在第一、三象限内 B．与轴交点坐标为
C．随的增大而增大 D．经过点
【解答】解：．反比例函数图象在第二、四象限内，故本选项错误；
．反比例函数图象与轴无交点，故本选项错误；
．反比例函数，在每个象限内随的增大而增大，故本选项错误；
．反比例函数图象经过点，故本选项正确；
故选：．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
7．如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接、，若的面积为3，则的值为
A．8 B． C．5 D．
【解答】解：反比例函数的图象经过点，轴，
，
又的面积为3，
的面积为4，
又反比例函数图象经过点，轴，
，
解得，
又，
，
，
故选：．
家长签字：____________
