第一章 三角函数 单元测试
一、单选题
1．下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A． B．
C． D．
2．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为
A． B． C． D．
3．将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得图象的函数解析为（ ）
A． B．
C． D．
4．勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械学家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为2，则勒洛三角形面积为（ ）
A． B． C． D．
5．现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如图，则按照从左到如图像对应的函数序号正确的一组是（ ）
A．①③②④ B．①④③② C．③①②④ D．③①④②
6．函数的图象可看成是把函数的图象做以下平移得到（ ）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
7．已知扇形OAB的面积为2，弧长，则弦（ ）
A． B． C．2 D．4
8．﹣456°角的终边相同的角的集合是（ ）
A．{α|α=k 360°+456°，k∈Z}
B．{α|α=k 360°+264°，k∈Z}
C．{α|α=k 360°+96°，k∈Z}
D．{α|α=k 360°﹣264°，k∈Z}
二、多选题
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．第二象限的角必大于第一象限的角 B．角度72化为弧度是
C．cos2 0 D．若sin sin ，则 与 为终边的相同的角
10．函数，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知三角函数，以下对该函数的说法正确的是（ ）
A．该函数的最小正周期为 B．该函数在上单调递增
C．为其一条对称轴 D．该函数图象关于点对称
三、填空题
12．已知弧长为的弧所对圆心角为，则这条弧所在圆的半径为 cm．
13．能说明 “若，则”为假命题的一组值可以为 ．
14．求值： .
四、解答题
15．已知．
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值；
(3)求．
16．化简：
(1)；
(2)；
(3)已知，求的值.
17．求证：.
18．据市场调查，某种商品一年内每月的销售额满足函数关系式：，，为月份.已知2月份该商品的销售额首次达到最高为11万元，7月份该商品的销售额首次达到最低为3万元.
(1)求f（x）的解析式；
(2)求此商品的销售额超过9万元的月份.
19．已知水渠在水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大，现有两种设计：图（a）的过水断面为等腰，，过水湿周；图（b）的过水断面为等腰梯形，过水湿周.若与梯形的面积都为.
(1)分别计算和的最小值；
(2)为使流量最大，给出最佳设计方案.
参考答案：
1．D
【分析】确定和，为偶函数，排除，验证D选项满足条件，得到答案.
【详解】对选项A：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项B：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项C：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项D：，函数定义域为，
，函数为奇函数，，满足条件；
故选：D.
2．A
【详解】横坐标伸长倍得到,再向左平移个单位得到.将选项代入验证可知选项符合.
3．B
【分析】根据平移过程写出解析式即可.
【详解】由题设，平移后的解析式为.
故选：B
4．A
【分析】根据题意，勒洛三角形面积为以为半径的半圆的面积减去两个边长为的正三角形的面积，再代入数据计算即可.
【详解】根据题意，以正三角形三个顶点为圆心，以边长 为半径形成的三个圆弧的构成了以为半径的半圆，此时勒洛三角形面积为半圆的面积再减去两个正三角形的面积即可.
所以勒洛三角形面积为.
故选：A.
【点睛】本题考查扇形的面积计算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，将问题转化为求以为半径的半圆的面积减去两个边长为的正三角形的面积.
5．A
【分析】判断已知的四个函数的奇偶性，结合它们的函数值正负情况以及零点情况，即可判断出答案.
【详解】设，定义域为R，满足，
即为偶函数，对应的图象为图，
设，定义域为R，满足，
即为奇函数，且当时，，对应的图象为图；
设，定义域为R，满足，
为奇函数，且零点为，对应的图象为图；
设，定义域为R，满足，
为奇函数，且零点为0和，对应的图象为图4.
故选：A.
6．C
【分析】应用“左加右减”进行求解
【详解】设的图象向左平移了m个单位长度得到，则化简为，则，解得；
所以函数的图象可看成是把函数的图象向左平移个单位即可得到；
故选：C.
7．B
【分析】根据扇形面积和弧长公式可计算出圆心角，再根据三角函数定义即可得出弦长.
【详解】设扇形的半径r，圆心角为，
由扇形OAB的面积为2，弧长，可得，
解得，，
如图设C是AB中点，
所以圆的周长为，劣弧，
所以，，
．
故选：B．
8．B
【分析】利用终边相同的角的关系即可求得答案.
【详解】终边相同的角相差了360°的整数倍，设与﹣456°角的终边相同的角是α，则α=﹣456°+k 360°，k∈Z，又264°与﹣456°终边相同，∴α=264°+k 360°，k∈Z.
故选：B．
9．BC
【分析】举反例否定选项A；利用角度与弧度的互化判断选项B；利用2所在的象限判断选项C；利用三角函数定义判断选项D.
【详解】第二象限的角，第一象限的角，但是.故选项A判断错误；
角度72化为弧度是.故选项B判断正确；
由，可得2为第二象限角，则cos2 0.故选项C判断正确；
若sin sin ，则 与 的终边相同或 与 的终边关于y轴对称.
故选项D判断错误.
故选：BC
10．AC
【分析】根据题意利用诱导公式结合正弦函数分析运算．
【详解】令，
则或，其中，
当，时，
所以；
当，时，
所以；
综上所述：.
故选：AC.
11．AD
【分析】根据正弦型函数的图象与性质，对各选项逐一分析即可求解.
【详解】解：函数，
对A：函数的最小正周期为，故选项A正确；
对B：当时，，而在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故选项B错误；
对C、D：因为，所以函数图象关于点对称，故选项D正确，选项C错误；
故选：AD.
12．
【分析】由弧长与半径、圆心角之间的关系，代入数据即可得解.
【详解】依题意把代入公式得，解得.
故答案为：.
13．（答案不唯一）
【分析】利用正弦函数的图象和性质易得.
【详解】当时，满足，但
由可得或.
故答案为：（答案不唯一）.
14．
【分析】可使用诱导公式，将转化为范围内的角，从而完成求解.
【详解】由诱导公式可得，
.
故答案为：.
15．(1) ；
(2)
(3)
【分析】运用诱导公式和同角关系求解.
【详解】（1）
；
（2）x为第三象限角， ，
；
（3） ；
综上，（1） ；（2） ；（3） .
16．(1)0
(2)
(3)
【分析】（1）利用诱导公式进行求解.
（2）利用诱导公式进行求解；
（3）根据条件得到，利用诱导公式化简后代入，求出答案.
【详解】（1）由诱导公式可得，
.
（2）由诱导公式可得，
.
（3）由可得，
.
17．证明见解析
【分析】根据诱导公式证明即可.
【详解】左边右边，
故原式得证.
18．(1)
(2)1月份、2月份、3月份、11月份、12月份
【分析】（1）待定系数法求三角函数解析式.
（2）求三角函数不等式的解集与，的交集即可.
【详解】（1）由题意可知，
∴，
∴．
又，解得，
又过点，代入得，
∴，．
又，∴，
∴．
（2）令，即：，
∴，，解得：，．
又，，
∴，
即在1月份、2月份、3月份、11月份、12月份，此商品的销售额超过9万元．
19．(1)，
(2)方案二中当取得最小值时的设计为最佳方案
【分析】（1）求出的表达式，继而结合三角函数性质，求得其最小值；结合梯形面积求出的表达式，利用基本不等式求得其最小值；
（2）比较，的最小值的大小，结合题意，即可得结论.
【详解】（1）图（a）中，设，则，
从而，得，当且仅当时取等号；
图（b）中，设，，
则梯形的高为，故，则，
故，则,
当且仅当，即时取等号，
即的最小值为.
（2）由于过水湿周越小，其流量越大，
由于，故，
故方案二中当取得最小值时的设计为最佳方案.
