第六章 计数原理 单元测试
一、单选题
1．教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（ ）种
A．25 B．60 C．90 D．150
2．用组成没有重复数字的四位数，共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．若的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中所有二项式系数和为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
4．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是
A． B． C． D．
5．设，则（ ）
A．0 B． C． D．
6．按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码．最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一个数字的编码，则共有多少（ ）种不同的编码．
A．120 B．60 C．40 D．10
7．一辆七座（含司机）旅游客车载着6名游客前往某地游览.6名游客返程时恰有2名游客坐的是出发时的座位的方法数为（ ）
A．135 B．150 C．165 D．180
8．已知等差数列的通项公式为，则的展开式中含项的系数是该数列的( )
A．第9项 B．第10项 C．第19项 D．第20项
二、多选题
9．若，则下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）
A．二项展开式中各项系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中系数最大的项为
11．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种
B．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种
C．抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的抽法有种
D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
12．下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（ ）
A．
B．已知，则等式对任意正整数都成立
C．设，则的个位数字是6
D．等式对任意正整数都成立
三、填空题
13．在的展开式中，的系数为 ．
14．在的展开式中,的系数为 .用数字作答）
15．我国古代有辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》，《缉古算经》均有着十分丰富的内容，是了解我国古代数学的重要文献，某中学计划将这本专著作为高中阶段“数学文化”样本课程选修内容，要求每学年至少选一科，三学年必须将门选完，则小南同学的不同选修方式有 种.
16．若对任意实数，都有，则的值为 ．
四、解答题
17．（1）求值：；
（2）求值：结果用数字表示
18．已知函数.
（1）当时，求展开式中系数的最大项；
（2）化简；
19．求证：．
20．已知函数，其中．
（1）若，求的值；
（2）若，求的最大值；
（3）若，求证：．
21．某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？
22．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，中国运动员通过顽强拼搏，获得了9枚金牌，列金牌榜第三名，为祖国争得了荣誉，也创造了冬奥会上新的辉煌.假设冬奥会上某项比赛共有包括中国队在内的6个国家代表队参加决赛，且每个代表队只有1名队员参赛.比赛时按预先编排的顺序依次出场，根据比赛成绩确定前三名，分别获得金牌、银牌和铜牌.
(1)决赛时共有多少种不同的出场顺序
(2)中国队不是第一个出场的比赛顺序有多少种 .
(3)若每名参赛队员获得奖牌的可能性相等，求中国队获得奖牌的概率.
参考答案：
1．D
【分析】按照分类分步计数原理可先将5人分成3组，再将3组人员分配到3个学校去，即可计算出结果.
【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法，
第一类：各组人数分别为1，1，3，共有种分法；
第二类：各组人数分别为1，2，2，共有种分法，
再将三组人员分配到A、B、C三个乡村学校去，共有种，
所以不同的选派方法共有种.
故选：D
2．C
【分析】利用排列、组合数以及特殊元素、特殊位置优先考虑法即可求解.
【详解】不能排在千位，先从中取一个数排在千位，
所以.
故选：C
3．C
【分析】由二项式第3项和第5项系数相等，有求得，即可求系数和
【详解】由的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，知：
∴展开式中所有二项式系数和为
故选：C
【点睛】本题考查了二项式定理，根据二项式展开式中两项的系数相等求指数，进而求二项式的系数和
4．B
【分析】根据展开式中只有第六项的二项式系数最大即可得展开式的项数与的值.再令即可求各项的系数和.
【详解】的展开式中只有第六项的二项式系数最大,展开式中共有项,令,则展开式中各项系数和为.
故选B
【点睛】本题主要考查了二项式系数的最值问题与系数和问题,属于基础题型.
5．A
【分析】将原式化为，然后通过分别比较左右两边，的系数，列方程组可求得结果
【详解】解：由题意得，，
左边的系数为，右边的系数为，
所以，
左边的系数为，右边的系数为，
所以，
所以，
故选：A
6．D
【分析】本题转化为排列问题，即3个分别相同的元素与2个分别相同的元素排成一列的总数问题.
【详解】由题意可得，该题等价于将5个元素（3个分别相同、2个分别相同）排成一列的所有排列数．
故选：D
7．A
【分析】根据分步乘法计数原理,结合排列组合即可求解.
【详解】恰好有两个人的位置没有发生变化，则从6个人中选两个人使位置没有发生变化，有种，
剩下4个人均没有坐在出发时的位置上，设这四个人分别为,设他们出发时坐的位置分别为，返程时，若从三个位置中任选一个位置有3种选择，不妨假设选择则此时三个人需要安排到的位置，此时共有3种安排方法，
故总的安排方法由，
故选：A
8．D
【分析】利用二项展开式的通项公式可求项的系数，从而可求其为数列中的第20项.
【详解】因为展开式中含项的系数是
，∴由得，
故选：D.
【点睛】本题主要考查二项展开式的系数问题的求解，属于简单题，根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.
9．ABD
【分析】根据二项式展开式和系数的性质，逐项分析即可得出答案.
【详解】令可得，①，故A正确；
令可得：，②
①②可得：，故，故B正确；
令可得：，③
令可得：，④
把③代入④即可得出：，故C错误；
两边对求导得．
令可得，故D正确.
故选：ABD
10．BD
【分析】由二项式系数和求得n，令x＝1可求得各项系数之和即可判断A，由二项式系数的性质可得二项式系数最大的项即可判断B，由展开式的通项中x的指数确定有无常数项即可判断C，列不等式组求得系数最大的项即可判断D．
【详解】因为二项式的展开式中二项式系数之和为64，
所以，得，所以二项式为，
则二项式展开式的通项，
对于A，令，可得二项展开式中各项系数之和为，故A错误；
对于B，第4项的二项式系数最大，此时，则二项展开式中二项式系数最大的项为，故B正确；
对于C，令，则，所以二项展开式中的常数项为，故C错误；
对于D，令第项的系数最大，则，解得，
因为，所以，则二项展开式中系数最大的项为，所以D正确，
故选：BD．
11．ABD
【分析】根据题意，由排列组合公式，结合分步计数原理以及分类计数原理和间接法，依次分析选项，即可得答案．
【详解】根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，
则合格品的取法有种，不合格品的取法有种，
则恰好有1件是不合格品的取法有种取法；则正确，
若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种情况，
①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有种取法，
②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有种取法，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种，正确；
抽出的3件产品中至少有1件是不合格品，用间接法分析：
在100件产品中任选3件，有种取法，其中全部为合格品的取法有种，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种取法，正确；
若抽出的3件产品中至多有1件是不合格品，用间接法分析：在100件产品中任选3件，有种取法，
其中有2件为不合格品的抽法有种，
则至多有1件是不合格品的抽法有有种，错误；
故选：．
12．ABD
【分析】对A：根据运算求解；对B：可得，结合排列数分析运算；对C：根据组合数分析运算；对D：构建，利用的系数结合二项展开式的通项公式分析运算.
【详解】对A：由可知，
，
A正确；
对B：若，
则，
B正确；
对C： ，，
则，
故，
，其个位数字是0，
故的个位数字是9，C错误；
对D：的展开式通项为，
故展开式的的系数为，又，则，
同理可得：的展开式通项为，即展开式的的系数为，
由于，故，D正确；
故选： ABD
13．
【分析】根据乘积形式分别求出、对应系数，然后相乘即可得的系数.
【详解】由中对应系数为，
由中对应系数为，
所以的系数为.
故答案为：
14．
【分析】根据二项式定理写出通项公式,要求自变量的二次方的系数,只要使得指数等于,得出式子中的系数的表示式,得到结果.
【详解】因为的通项公式为:,
令,得,
所以的系数为.
故答案为:.
15．
【分析】分小南高中三年选修的科目数为2，2，1和3，1，1两种情况讨论即可.
【详解】根据题意，小南高中三年选修的科目数为2，2，1或3，1，1.
若小南高中三年选修的科目数为2，2，1时，先将5门学科分成三组共种不同方
式，再分配到高中三年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种；
若小南高中三年选修的科目数为3，1，1时，先将5门学科分成三组共种不同方
式，再分配到高中三年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种；
由加法原理可知小南同学的不同选修方式有种.
故答案为：
【点睛】本题考查排列组合的综合应用，涉及到部分均匀分组问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
16．－243
【分析】利用赋值法可得答案.
【详解】根据系数之间的关系，令，，
∴，，
∴，
故答案为：－243．
17．（1）；（2）560.
【分析】（1）根据排列数的运算公式计算即可得出结果；
（2）根据组合数的运算性质，计算即可得出结果.
【详解】解：（1）
；
（2）
.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）由于展开式中各项的系数与二项式系数相同，所以由二项式系数性质可得结果；
（2）考查的二项展开式，由赋值法可得结果.
【详解】（1）当时，由于展开式中各项的系数与二项式系数相同，所以展开式中系数最大项是第5项，即.
（2）因为，
令得，
所以.
19．证明见解析
【分析】将二项式定理展开，可得，又由展开为，放缩成，再由等比数列的前项和即可求证明.
【详解】由二项式定理得
，
又
，
，
．
20．（1）；（2）；（3）证明见解析.
【分析】（1）赋值法：令和，两式相加即得解；
（2）求出，设为中的最大值，则解不等式组得解；
（3）先得到，再利用二项式定理证明.
【详解】（1），时，
，
令，得，
令，得，
两式相加可得．
（2），，
不妨设为中的最大值，则
，，解得：，或6，
中最大值为．
（3）若，，
，
因为
所以．
．
【点睛】方法点睛：本题主要考查二项式定理，二项式定理常考查题型：
（1）二项式定理求系数和的问题，采用赋值法．
（2）求解系数的最大项，先设最大项的系数，注意所求的是第项的系数，计算不等式采用消去法化简计算，取整数．
（3）组合数公式的计算整体变形，构造的结构，一般采用计算，不要展开．
21．30
【分析】安排一场比赛，可先安排一支主队，再剩余的中安排一支客队即可，由分步乘法计数原理求解，也可直接转化为排列问题求解.
【详解】法一，可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队．按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为．
法二，根据主客场比赛，一场比赛就是在6个队中选两个队的一个排列，
故有种安排方法，即每组共进行30场比赛.
22．(1)720;
(2)600；
(3).
【分析】（1）由题可知6个队员的全排列；
（2）先排中国队有种，再排其他队有种，即得；
（3）由题可得获奖的所有结果数及中国队获得奖牌的结果数，即求.
【详解】（1）由题可知决赛时不同的出场顺序共有种.
（2）先排中国队有种，再排其他队有种，
故中国队不是第一个出场的比赛顺序有种；
（3）由题可知获奖的所有结果共有种，
其中中国队获得奖牌的结果有种，
所有中国队获得奖牌的概率为.
