亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！
0第九章统计单元检测A卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ）
A． B． C．8 D．
2．某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的100名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（ ）
A．15名 B．20名 C．25名 D．40名
3．上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相同，取前10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．在统计学中，同比增长率一般是指和上年同期相比较的增长率.如图为我国2021年2月至12月及2022年3月至12月的原油产量同比增长率，则下列叙述正确的是（ ）
A．2022年8月的原油产量低于2021年8月的原油产量
B．2021年9月至2021年12月的原油产量呈逐月下降趋势
C．2022年3月至2022年11月，原油产量同比增长率最高的月份是6月
D．2022年3月至2022年11月的原油产量同比增长率的平均数不超过2.5%
5．某同学参加知识竞赛，位评委给出的分数为，则该组分数的第百分位数为（ ）
A． B． C． D．
6．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分9.2，9.5，9.6，9.1，9.3，9.0，8.8，9.3，9.6，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A．极差 B．中位数 C．平均数 D．方差
7．已知样本数据，，…，的平均数和方差分别为3和56，若，则，，…，的平均数和方差分别是（ ）
A．12，115 B．12，224 C．9，115 D．9，224
8．在学生人数比例为2：3：5的A，B，C三所学校中，用分层抽样方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出了6名志愿者，那么n=（ ）
A．9 B．15 C．24 D．30
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0
9．已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组：
08015 17727 45318 22374 21115 78253
77214 77402 43236 00210 45521 64237
29148 66252 36936 87203 76621 13990
68514 14225 46427 56788 96297 78822
已知甲班有60位同学，编号为01~60号，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，以简单随机抽样的方法在甲班中抽取4位同学，由于样本容量小于99，所以只用随机数表中每组数字的后两位，得到下列四组数据，则抽到的4位同学的编号可能是（ ）
A．15，27，18，53 B．27，02，25，52
C．14，25，27，22 D．15，27，18，74
10．某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表：
次品数 0 1 2 3 4
频率 0.5 0.2 0.05 0.2 0.05
则次品数的众数、平均数不可能为（ ）
A．0，1.1 B．0，1 C．4，1 D．0.5，2
11．根据《国家学生体质健康标准》规定，学生的体测得分由各单项指标得分与权重乘积之和组成，为了科学测量个体体质在全体中的位置，通常将体测得分转化为标准分数.某校一次体能测试中，各同学体测得分为xi，所有同学的体测平均得分为，标准差为s，定义标准分数，则（ ）
A．转化标准分数后的极差是转化前极差的
B．转化标准分数后的平均分数为0
C．转化标准分数后的中位数是转化前中位数的
D．转化标准分数后的标准差等于1
12．十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者.如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法正确的是（ ）
A．在米跑项目中，甲的得分比乙的得分低
B．在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当
C．甲的各项得分比乙的各项得分更均衡
D．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大
三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分
13．2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为30的样本，已知高一年级有教师80人，高二年级有教师72人，高三年级有教师88人，则高一年级应抽取______人.
14．某校学生参与“保护地球”知识问答活动，满分20分，根据学生的作答成绩绘制的频率分布直方图如图所示，请据此估计学生成绩的第60百分位数为___________．
15．一组数据由8个数组成，将其中一个数由4改为2，另一个数由6改为8，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为______．
16．一个样本，，，的平均数是，且，是方程的两根，则这个样本的方差是________.
四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知个数据分别是，，，，，，，．请确定：
(1)样本数据的平均数的值；
(2)该数据的众数．
18．某高校法学院学生利用暑假参与普法宣传志愿活动，开学后随机调查了其中100名学生在暑假期间的志愿服务时长（单位：小时），将所得数据分为5组：，，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图，其中．
(1)求频率分布直方图中，的值；
(2)若每组中各学生的志愿服务时长用该组的中间值来估计（如的中间值为10），试估计该学院学生志愿服务的平均时长．
19．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛的得分情况如下：
甲：15，17，14，23，22，24，32；
乙：12，13，11，23，27，31，30.
(1)分别计算甲、乙两名运动员得分的平均数；
(2)分别计算甲、乙两名运动员得分的方差，并判断哪位运动员的成绩更稳定？
20．某种人脸识别方法，采用了视频分块聚类的自动识别系统.规定：某区域内的个点的深度的均值为，标准差为，深度的点视为孤立点.下表给出某区域内8个点的数据：
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.4 15.4 13.8
15.1 14.2 14.3 14.4 14.5 15.4 14.4 15.4
20 12 13 15 16 14 12 18
(1)根据以上数据，计算的值；
(2)判断表中各点是否为孤立点.
21．某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，其中每个同学只能去一个会场，且将的同学去A会场，剩下的同学去B会场．已知A，B会场学生年级及比例情况如下表所示：
高一 高二 高三
A会场
B会场
记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x，y，z，利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本．
(1)求的值；
(2)若抽到的B会场的高二学生有75人，求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数．
22．坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干 腰 髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性 弹性及身体柔韧性，在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm和17.56.
(1)求抽取的总样本的平均数；
(2)试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.
参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量 样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总样本的平均数为，样本方差为，
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第九章统计单元检测A卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.
【详解】依题意这组数据一共有个数，中位数为，则从小到大排列的前面有个数，后面也有个数，
又唯一的众数为，则有两个，其余数字均只出现一次，则最大数字为，
又极差为，所以最小数字为，
所以这组数据为、、、、，
所以平均数为.
故选：B
2．某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的100名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（ ）
A．15名 B．20名 C．25名 D．40名
【答案】B
【分析】先根据频率分布直方图的性质，求得的值，再根据样本中成绩在区间内的频率×参赛的100名学生即可求解．
【详解】由频率分布直方图可知，得，
所以成绩在区间内的学生有名．
故选：B．
3．上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相同，取前10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义，结合本题的题意，可判断出答案.
【详解】根据题意，21位选手成绩的中位数是第11名的成绩，取前10名参加决賽，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的中位数.
故选：B.
4．在统计学中，同比增长率一般是指和上年同期相比较的增长率.如图为我国2021年2月至12月及2022年3月至12月的原油产量同比增长率，则下列叙述正确的是（ ）
A．2022年8月的原油产量低于2021年8月的原油产量
B．2021年9月至2021年12月的原油产量呈逐月下降趋势
C．2022年3月至2022年11月，原油产量同比增长率最高的月份是6月
D．2022年3月至2022年11月的原油产量同比增长率的平均数不超过2.5%
【答案】A
【分析】求得2022年8月的原油产量与2021年8月的原油产量的关系判断选项A；求得2021年9月至2021年12月的原油产量的变化趋势判断选项B；求得2022年3月至2022年11月，原油产量同比增长率最高的月份判断选项C；求得2022年3月至2022年11月的原油产量同比增长率的平均数判断选项D.
【详解】A选项，2022年8月的原油产量同比增长率为负数，
说明2022年8月原油产量低于2021年8月，故A正确；
B选项，2021年9月至2021年12月的原油产量的同比增长率呈逐月下降趋势，
但均大于0，则原油产量依然可能会增加，故B错误；
C选项，2022年4月的原油产量同比增长率最高，故C错误；
D选项，因为，
所以2022年3月至2022年11月的原油产量同比增长率的平均数约为2.7%，
故D错误.
故选：A.
5．某同学参加知识竞赛，位评委给出的分数为，则该组分数的第百分位数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将分数按照从小到大顺序排列，根据百分位数的求法直接求解即可.
【详解】将位评委给出的分数按照从小到大顺序排序为：，
，该组数据的第百分位数为.
故选：D.
6．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分9.2，9.5，9.6，9.1，9.3，9.0，8.8，9.3，9.6，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A．极差 B．中位数 C．平均数 D．方差
【答案】B
【分析】分别计算9个原始评分和7个有效评分的极差、中位数、平均数和方差的，即可得出答案.
【详解】从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分为：
9.2，9.5，9.6，9.1，9.3，9.0，9.3，
极差：，
将7个有效评分从小到大排列为：9.0，9.1，9.2，9.3，9.3，9.5，9.6，
所以中位数为：9.3；
平均数为：，
9个原始评分的极差为：，
将9个有效评分从小到大排列为：8.8，9.0，9.1，9.2，9.3，9.3，9.5，9.6，9.6，
所以中位数为：9.3；
平均数为：，
所以不变的数字特征是中位数.
故选：B.
7．已知样本数据，，…，的平均数和方差分别为3和56，若，则，，…，的平均数和方差分别是（ ）
A．12，115 B．12，224 C．9，115 D．9，224
【答案】D
【分析】根据平均数和方差的性质求解：若数据，，…，的平均数和方差分别为和，则数据，，…，的平均数和方差分别为和.
【详解】若数据，，…，的平均数和方差分别为和，则数据，，…，的平均数和方差分别为和.
题中，样本数据，，…，的平均数和方差分别为3和56，，
则，，…，的平均数为，方差为.
故选：D.
8．在学生人数比例为2：3：5的A，B，C三所学校中，用分层抽样方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出了6名志愿者，那么n=（ ）
A．9 B．15 C．24 D．30
【答案】D
【分析】设A学校的学生人数为2k，得到三所学校共有学生10k人，再利用比例求解.
【详解】解：设A学校的学生人数为2k，则三所学校共有学生10k人，
由题意：.
故选：D.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0
9．已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组：
08015 17727 45318 22374 21115 78253
77214 77402 43236 00210 45521 64237
29148 66252 36936 87203 76621 13990
68514 14225 46427 56788 96297 78822
已知甲班有60位同学，编号为01~60号，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，以简单随机抽样的方法在甲班中抽取4位同学，由于样本容量小于99，所以只用随机数表中每组数字的后两位，得到下列四组数据，则抽到的4位同学的编号可能是（ ）
A．15，27，18，53 B．27，02，25，52
C．14，25，27，22 D．15，27，18，74
【答案】ABC
【分析】结合随机数表法对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A中所得编号为第一行中四组数字的后两位数字，故A有可能；
B中所得编号为第二列中四组数字的后两位数字，故B有可能；
C中所得编号为第四行中四组数字的后两位数字，故C有可能；
D中编号74大于甲班60位同学的最大编号60，不满足题意.
故选:ABC.
10．某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表：
次品数 0 1 2 3 4
频率 0.5 0.2 0.05 0.2 0.05
则次品数的众数、平均数不可能为（ ）
A．0，1.1 B．0，1 C．4，1 D．0.5，2
【答案】BCD
【分析】根据图表，利用平均数和众数的定义即可得到结果.
【详解】数据出现的频率为，则，，…，的平均数为，
因此次品数的平均数为，又由频率知，次品数的众数为0.
故选：BCD.
11．根据《国家学生体质健康标准》规定，学生的体测得分由各单项指标得分与权重乘积之和组成，为了科学测量个体体质在全体中的位置，通常将体测得分转化为标准分数.某校一次体能测试中，各同学体测得分为xi，所有同学的体测平均得分为，标准差为s，定义标准分数，则（ ）
A．转化标准分数后的极差是转化前极差的
B．转化标准分数后的平均分数为0
C．转化标准分数后的中位数是转化前中位数的
D．转化标准分数后的标准差等于1
【答案】ABD
【分析】根据标准分数的定义结合极差、平均数、中位数、方差的性质即可判断.
【详解】对A，设，
则，故A正确；
对B，,故B正确；
对于C,设原来中位数为，则易得转化后的中位数为，故C错误；
对D，设原方差为，则，转化后方差为：
，标准差等于1，D正确.
故选：ABD.
12．十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者.如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法正确的是（ ）
A．在米跑项目中，甲的得分比乙的得分低
B．在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当
C．甲的各项得分比乙的各项得分更均衡
D．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大
【答案】BD
【分析】根据雷达图对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由雷达图可知，400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高，A错误；
在跳高和标枪项目中，甲、乙得分一样，即甲、乙水平相当，B正确；
甲各项得分的波动较大，乙的各项得分均在内，波动较小，C错误；
甲的各项得分最高1000，最低介于400与500之间，甲的极差大于500，乙的各项得分的极差小于200，D正确．
故选：BD
三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分
13．2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为30的样本，已知高一年级有教师80人，高二年级有教师72人，高三年级有教师88人，则高一年级应抽取______人.
【答案】10
【分析】根据高一年级教师所占的比例抽取即可.
【详解】高一年级教师所占的比例为：，
则高一年级应抽取的教师人数为：.
故答案为：10.
14．某校学生参与“保护地球”知识问答活动，满分20分，根据学生的作答成绩绘制的频率分布直方图如图所示，请据此估计学生成绩的第60百分位数为___________．
【答案】14
【分析】利用百分位数的定义进行求解即可．
【详解】由图可知第一组的频率为，
前两组的频率之和为，
则可知其第60百分位数在内，设为，
则，解得．
故答案为：14．
15．一组数据由8个数组成，将其中一个数由4改为2，另一个数由6改为8，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为______．
【答案】2
【分析】由方差公式求出原一组数的方差和新数据的方差，相减即可得出答案.
【详解】一个数由4改为2，另一个数由6改为8，故该组数据的平均数不变，
设没有改变的6个数分别为，，…，，
原一组数的方差，
新数据的方差，
所以．
故答案为：2.
16．一个样本，，，的平均数是，且，是方程的两根，则这个样本的方差是________.
【答案】5
【分析】由题意可得，，再根据方差公式计算即可.
【详解】解：的两根是1，4.
当时，，3，5，7的平均数是4，
当时，，3，5，7的平均数不是1.
，.
则方差.
故答案为：5
四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知个数据分别是，，，，，，，．请确定：
(1)样本数据的平均数的值；
(2)该数据的众数．
【答案】(1)
(2)和
【分析】（1）利用平均数公式可求得的值；
（2）利用众数的定义可求得样本数据的众数.
【详解】（1）解：由平均数公式可得.
（2）解：由众数的定义可知，样本数据的众数为和.
18．某高校法学院学生利用暑假参与普法宣传志愿活动，开学后随机调查了其中100名学生在暑假期间的志愿服务时长（单位：小时），将所得数据分为5组：，，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图，其中．
(1)求频率分布直方图中，的值；
(2)若每组中各学生的志愿服务时长用该组的中间值来估计（如的中间值为10），试估计该学院学生志愿服务的平均时长．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用频率分布直方图的特点，频率和为1可求答案；
（2）根据频率分布直方图求解平均数的方法来求解.
【详解】（1）由题意，即，
又，所以，，.
（2）学院学生志愿服务的平均时长为
（小时）.
19．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛的得分情况如下：
甲：15，17，14，23，22，24，32；
乙：12，13，11，23，27，31，30.
(1)分别计算甲、乙两名运动员得分的平均数；
(2)分别计算甲、乙两名运动员得分的方差，并判断哪位运动员的成绩更稳定？
【答案】(1)甲、乙两名运动员得分的平均数均为21
(2)，，甲运动员的成绩更稳定
【分析】根据平均数和方差的公式求解，方差小的数据更稳定.
【详解】（1）设甲、乙的平均分别记为则
∴甲、乙两名运动员得分的平均数均为21.
（2）设甲、乙两名运动员得分的方差分别为则
∵，∴甲运动员的成绩更稳定
20．某种人脸识别方法，采用了视频分块聚类的自动识别系统.规定：某区域内的个点的深度的均值为，标准差为，深度的点视为孤立点.下表给出某区域内8个点的数据：
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.4 15.4 13.8
15.1 14.2 14.3 14.4 14.5 15.4 14.4 15.4
20 12 13 15 16 14 12 18
(1)根据以上数据，计算的值；
(2)判断表中各点是否为孤立点.
【答案】(1)
(2)都不是
【分析】（1）直接根据公式计算和即可；
（2）计算出，，从而判断出各点不是孤立的点.
【详解】（1），
.
（2），，
则，
因为12，13，14，15，16，18，20均属于，所以各点都不是孤立点.
21．某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，其中每个同学只能去一个会场，且将的同学去A会场，剩下的同学去B会场．已知A，B会场学生年级及比例情况如下表所示：
高一 高二 高三
A会场
B会场
记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x，y，z，利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本．
(1)求的值；
(2)若抽到的B会场的高二学生有75人，求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数．
【答案】(1)；
(2)；高一年级人数为，高二年级人数为， 高三年级人数为.
【分析】（1）设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c，列表表示出去会场的各年级人数，由此可得比例；
（2）由B会场的高二学生人数求得样本容量，按比例求得抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数．
【详解】（1）设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c，
则去A会场的学生总数为，
去B会场的学生总数为，
则对应人数如下表所示：
高一 高二 高三
A会场
B会场
则．
（2）依题意，，解得，
故抽到的A会场的学生总数为50人，
则高一年级人数为，
高二年级人数为，
高三年级人数为．
22．坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干 腰 髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性 弹性及身体柔韧性，在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm和17.56.
(1)求抽取的总样本的平均数；
(2)试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.
参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量 样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总样本的平均数为，样本方差为，
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）根据分层抽样的比例确定男女生人数分别为，结合两个样本平均数即可求得总样本的平均数；
（2）根据（1）中求得数据代入计算即可得出结果.
【详解】（1）设在男生 女生中分别抽取m名和n名，则，
解得：.
记抽取的总样本的平均数为，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得：
所以，抽取的总样本的平均数为.
（2）男生样本的平均数为，样本方差为；
女生样本的平均数为，样本方差为；
由（1）知，总样本的平均数为.
记总样本的样本方差为，
则
所以，估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16.
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