2023年广东省肇庆市高要区中考数学三模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）海洋是地球上最广阔的水体的总称，海洋的中心部分称作洋，边缘部分称作海，彼此沟通组成统一的水体．地球上海洋面积约361000000km2，数据361000000用科学记数法表示为（ ）
A．36.1×106 B．36.1×107 C．3.61×108 D．0.361×109
3．（3分）下列的选项中，左右两边相等的是（ ）
A．a5÷a5＝0 B．（a2+b2）2＝a4+b4
C．（﹣abc）3＝a3b3c3 D．（a﹣b）×（b+a）＝a2﹣b2
4．（3分）已知n边形的内角和为900°，那么n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（3分）将多项式x﹣x2因式分解正确的是（ ）
A．x（1﹣x） B．x（x﹣1） C．x（1﹣x2） D．x（x2﹣1）
6．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则不正确的结论是（ ）
A．|a|＞3 B．b﹣c＜0 C．ab＜0 D．a＞﹣c
7．（3分）已知点P的坐标为（a，b），其中a，b均为实数，若a，b满足3a＝2b+5，则称点P为“和谐点”．若点M（m﹣1，3m+2）是“和谐点”，则点M所在的象限是（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
8．（3分）已知a＝﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜＜5
9．（3分）用黑色和白色的正方形的卡片按照如图所示的规律拼图案，即从第2个图案开始，每个图案都比前一个图案多3个黑色正方形．若第n个图案中黑色正方形的个数为55，则n的值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
10．（3分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．
给出下列四种说法：
①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；
②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；
③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变：
④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．
其中，正确的说法是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）若气温升高3度记为“+3℃”，那么降低5度记为 ℃．
12．（3分）已知一组数据2，9，10，3，x，6，它们的中位数是7，则x＝ ．
13．（3分）已知一次函数y＝（m﹣2）x+n﹣3图象如图所示，化简：|m﹣n|+＝ ．
14．（3分）若抛物线y＝x2+2x﹣m与坐标轴有且只有两个交点，则m的值为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点A，B．直线y＝kx+k恰好将△AOB分成两部分的面积比是1：5，则k＝ ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：（）﹣2+（﹣π）0﹣﹣．
17．（8分）以下是某同学化简分式（﹣）÷的部分运算过程：
解：原式＝[﹣]×①＝[﹣]×②＝×③… 解：
（1）上面的运算过程中第 步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
18．（8分）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，四边形ABCD的顶点均在格点上．按要求完成下列问题，作图时要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图，保留作图痕迹．
（1）图①中，AB的长为 ．
（2）在图①中作∠ABC的平分线BE．
（3）在图②中连结AC、BD交于点O，在BO上确定点M，使BM＝3MO．
19．（9分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我旗某食品公司为了了解市民对去年销售量较好的肉馅粽、豆沙粽、江米粽、红枣黄米粽（以下分别用A、B、C、D表示这四种不同口味粽子）的喜爱情况，在节前对某居民区的市民进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民人数为 人，并将不完整的条形图补充完整；
（2）若有外型完全相同的A、B、C、D熟粽，小帅吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个恰好吃到A粽的概率？
20．（9分）某玩具商店为了儿童节提前储备货物，用3000元购进一批儿童玩具，接着又用5400元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．
（1）求第一批玩具每套的进价是多少元？
（2）儿童节期间，为了促销全店商品打7折销售，该玩具全部售完并且总利润不低于25%，那么每套玩具打折前的标价至少是多少元？
21．（9分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于H，交AO于G，连接OH．
（1）求证：AG GO＝HG GD；
（2）若∠ABC＝120°，AB＝6，求OG的长．
22．（12分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是弧BCD上不与B，D重合的点，∠A＝30°．
（1）求∠BED的度数；
（2）点F在AB的延长线上，且DF与⊙O相切于点D，求证：BF＝AB．
23．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转90°交抛物线于另一点D，在射线AD上是否存在一点H，使△CHB的周长最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点Q为抛物线的动点，过Q点作x轴的垂线交射线AD与P点，点Q从A点出发，P点随之运动，当△APQ是以AP为腰的等腰三角形时，直接写出Q点的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2． 解：361000000＝3.61×108．
故选：C．
3． 解：A、a5÷a5＝1，计算错误，不符合题意；
B、（a2+b2）2＝a4+2a2b2+b4，计算错误，不符合题意；
C、（﹣abc）3＝﹣a3b3c3，计算错误，不符合题意；
D、（a﹣b）×（b+a）＝a2﹣b2，计算正确，符合题意．
故选：D．
4． 解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝900°，
解得n＝7．
故选：C．
5． 解：x﹣x2＝x（1﹣x），
故选：A．
6． 解：由数轴可得，
a＜b＜0＜c，﹣4＜a＜﹣3，﹣1＜b＜0，4＜c＜5，
∴|a|＞3，故选项A正确；
b﹣c＜0，故选项B正确；
ab＞0，故选项C不正确；
a＞﹣c，故选项D正确；
故选：C．
7． 解：点M在第三象限，
理由如下：
∵点M（m﹣1，3m+2）是“和谐点”，
∴3（m﹣1）＝2（3m+2）+5，
解得m＝﹣4，
∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，
∴点M在第三象限．
故选：B．
8． 解：∵，
∴，
∴在2和3之间，即2＜a＜3．
故选：B．
9． 解：∵第1个图形共有1个黑色正方形；
第2个图形共有1+3×1个黑色正方形；
第3个图形共有1+3×2个黑色正方形；第4个图形共有1+3×3个黑色正方形；
…
第n个图形共有1+3（n﹣1）个黑色正方形，
若第n个图案中黑色正方形的个数为55，
则1+3（n﹣1）＝55，
解得：n＝19．
故选：C．
10． 解：由图可知，点A的纵坐标的相反数表示成本，直线的斜率表示票价．
图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本，故①错误，②正确；
图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变，故③正确，④错误．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：
∵气温上升3℃，记作+3℃，
∴气温下降5℃，记作﹣5℃．
故答案是﹣5．
12． 解：根据题意，x的位置按从小到大排列只可能是：
2，3，6，x，9，10，
根据中位数是7得（6+x）÷2＝7，
解得x＝8，
故答案为：8．
13． 解：观察函数图形可知：一次函数y＝（m﹣2）x+n﹣3的图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴m＜2，n＞3，
∴m﹣n＜0，
∴|m﹣n|+＝n﹣m+（2﹣m）＝n+2﹣2m．
故答案为：n+2﹣2m．
14． 解：∵抛物线与两坐标轴有且只有两个交点，
①抛物线与x轴有且只有一个非原点的交点，
∴Δ＝22﹣4×（﹣m）＝0，
解得：m＝﹣1；
②抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点为原点，
∴02+2×0﹣m＝0，
解得：m＝0，
∴m的值为0或﹣1．
故答案为：0或﹣1．
15． 解：∵直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，
当x＝0时，得y＝2，
∴B（0，2），OB＝2，
当y＝0时，得0＝x+2，解得：x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），OA＝2，
∴，
∵直线y＝kx+k＝k（x+1），
当x＝﹣1时，得y＝0，
∴函数图象恒过点C（﹣1，0），
∴AC＝CO＝1，
∵直线y＝kx+k恰好将△AOB分成两部分的面积比是1：5，
∴或，
当时，则，
∴，
∴，
∵在直线y＝kx+k上，
∴，
当时，设点D的纵坐标为yD，
则，
∴，
∵D在直线y＝x+2上，
∴，
解得：，
∴，
∵在直线y＝kx+k上，
∴，
解得：k＝﹣2，
综上所述，k＝﹣2或．
故答案为：﹣2或．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：原式＝9+1+4﹣（2﹣）
＝9+1+4﹣2+
＝12+．
17． 解：（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
（2）原式＝[﹣]×，
＝[﹣]×，
＝×，
＝×，
＝．
故答案为：．
18． 解：（1）由勾股定理得，AB＝＝5．
故答案为：5．
（2）如图①，在线段BC上取格点P，使BP＝AB，连接AP，
∴△ABP为等腰三角形，
取AP的中点E，作射线BE，
∴BE为∠ABC的平分线．
则BE即为所求．
（3）如图②，取格点F，G，连接FG，交BC于点H，
可得△CHG∽BHF，
∴，
设AB与网格线交于点K，
可得，
∴＝，
连接HK交OB于点M，
∴，
∴BM＝3MO，
则点M即为所求．
19． 解：（1）本次参加抽样调查的居民人数为：60÷10%＝600（人），
则喜爱C的居民人数为：600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
故答案为：600，
把条形图补充完整如下：
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小帅第二个恰好吃到A粽的结果有3种，
∴小帅第二个恰好吃到A粽的概率为＝．
20． 解：（1）设第一批玩具每套的进价是x元，则第二批玩具每套的进价是（x+10）元，
由题意得：×1.5＝，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是分式方程的解，符合题意，
答：第一批玩具每套的进价是50元；
（2）设每套玩具打折前的标价是y元，
＝60（套），60×1.5＝90（套）．
（60y+90y）×0.7﹣3000﹣5400≥（3000+5400）×25%，
解得：y≥100，
答：每套玩具打折前的标价至少是100元．
21． （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DH⊥AB于H，
∴∠DHA＝∠DOG＝90°，
∵∠AGH＝∠DGO，
∴△AGH∽△DGO，
∴，
∴AG GO＝HG GD；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴∠DAB＝60°，AB＝AD＝6，
∴△ABD是等边三角形，
∵AC⊥DB，OD＝OB＝BD＝3，
∵DH⊥AB，
∴∠ODG＝30°，
∴OG＝OD tan30°＝．
22． （1）解：连接OB，如图1，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，
∴∠BED＝∠BOD＝60°；
（2）证明：连接OF，OB，如图2，
∵AB是切线，
∴∠OBF＝90°，
∵DF与⊙O相切于点D，
∴∠ODF＝90°，
在Rt△BOF和Rt△DOF中，
，
∴Rt△BOF≌Rt△DOF（HL），
∴BF＝DF，
∵∠A＝30°，
∴DF＝AF，
∴BF＝AF，
∴BF＝AB．
23． 解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B（1，0），
∴交点式为y＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，
∴抛物线的表示式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）在射线AD上存在一点H，使△CHB的周长最小，
如图，延长CA到C'，使AC'＝AC，连接BC'，BC'与AD交点即为满足条件的点H，
∵x＝0时，y＝﹣x2﹣x+2＝2，
∴C（0，2），
∴OA＝OC＝2，
∴∠CAO＝45°，直线AC解析式为y＝x+2，
∵射线AC绕点A顺时针旋转90°得射线AD，
∴∠CAD＝90°，
∴∠OAD＝∠CAD﹣∠CAO＝45°，
∴直线AD解析式为y＝﹣x﹣2，
∵AC'＝AC，AD⊥CC'，
∴C'（﹣4，﹣2），AD垂直平分CC'，
∴CH＝C'H，
∴当C'、H、B在同一直线上时，C△CHB＝CH+BH+BC＝C'H+BH+BC＝BC'+BC最小，
设直线BC'解析式为y＝kx+a，
∴，解得：，
∴直线BC'：y＝x﹣，
∵，解得：，
∴点H坐标为（﹣，﹣）；
（3）设Q（m，﹣m2﹣m+2）（m＞﹣2），则P（m，﹣m﹣2），
∴PQ＝|﹣m2﹣m+2+m+2|＝|m2﹣4|，
AP＝＝（m+2），
①当PA＝PQ时，
（m+2）＝|m2﹣4|，
∴（m+2）＝m2﹣4或（m+2）＝﹣m2+4，
解得m1＝2+，m2＝﹣2（舍去）或m3＝2﹣，m4＝﹣2（舍去），
∴Q点的坐标为（2+，﹣6﹣5）或（2﹣，﹣6+5）；
②当AP＝AQ时，如图，
∵AP＝AQ，PQ⊥x轴，
∴PO＝QO，
∴﹣m2﹣m+2＝﹣（﹣m﹣2），
∴m1＝0，m2＝﹣2（舍去）
∴Q点的坐标为（0，2）．
综上所述，当△APQ是以AP为腰的等腰三角形时，Q点的坐标为（2+，﹣6﹣5）或（2﹣，﹣6+5）或（0，2）．
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