京改版八年级数学下册第十五章四边形单元复习题
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成，其中黑皮的正五边形有12块，白皮的正六边形有20块．如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
3．若一个多边形的每个内角都相等，且都为160度，则这个多边形的内角和是（ ）度
A．2520 B．2880 C．3060 D．3240
4．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是矩形 D．四个角都相等的四边形是矩形
5．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α ，β，则下列正确的是（ ）
A．α-β=0 B．α-β<0
C．α-β>0 D．无法比较α与β的大小
6．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是
A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形
7．下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和
D．有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
8．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形是（ ）
A．2012边形 B．2013边形 C．2014边形 D．2015边形
9．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形 D．对角线相等的四边形是矩形
10．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是2，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
11．如图，正五边形ABCDE的内角和等于 .
12．四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，则DH= .
13．如图所示，正方形中，点在上，点在上，请添加一个条件： ，使≌只添一个条件即可．
14．如图，将边长为2的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD= 。（结果保留根号)
15．如图，已知正方形 ABCD，AC 与 BD 交于点 O，BE 为∠DBC 的平分线，G 为 BE上一点，F 为 BD 上一点，当 OG+GF 最小值为 1 时，正方形 ABCD 的面积为 .
三、解答题
16．若一个多边形内角和与外角和的比为：求这个多边形的边数．
17．如图，已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE＝CF，BF＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形.
18．如图点O为的对角线AC的中点，过点O作任意一条直线交AD，BC于点E，F，连接AF，CE，那么四边形AECF是平行四边形吗？请说明理由．
四、综合题
19．如图，在 △ 中， ， ， .
（1）求作：以 为一个内角的菱形 ，使顶点 在 边上；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）求菱形 的边长.
20．如图，将 ABCD的边DA延长到点F，使DA=AF，CF交边AB于点E．
（1）求证：BE=AE；
（2）若2∠D=∠BEF，求证：四边形AFBC是矩形．
21．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE.
（1）求证：△ADE≌△BDF.
（2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形.
22．在中，过点作于点，点在上，，连接、．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，求的长．
23．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D，E是五个格点，请在所给的网格中按下列要求画出图形.
（1）从所给的五个格点中选出其中四个作为顶点做一个平行四边形.
（2）过剩余一个点做一条直线l，使得直线l平分（1）小题中所做的平行四边形的面积.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵点A（0，2），B（-1，0），
∴OA=2，OB=1，
∴，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=，，即轴，
∴点D的坐标为：，故A符合题意．
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，根据菱形的性质可得AD=AB=，，即轴，再求出点D的坐标即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵黑色是正五边形，
∴一块黑色皮块的内角和为(5-2)×180°=540°.
故答案为：C.
【分析】根据内角和公式(n-2)×180°进行计算.
3．【答案】B
【解析】【解答】设这个多边形的边数为n，
则(n－2)180°＝160°n，
解得，n＝18.
则(n－2)180°＝(18－2)×180°＝2880°.
故答案为：B.
【分析】n边形的内角和是(n－2)180°，由此列方程求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、 对角线相等的平行四边形是矩形，原选项说法错误，不符合题意；
B、 有一个角是直角的平行四边形是矩形，原选项说法错误，不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，原选项说法错误，不符合题意；
D、 四个角都相等的四边形是矩形，原选项说法正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的定义、矩形的判定定理分别判断即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵任意多边形的外交和都是
∴α=β=
∴α-β=0
故答案为：A.
【分析】根据多边形的外交和都是解题即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】设这个多边形是n边形，根据题意得：（n–2） 180°=3×360°，解得：n=8.故答案为：C.
【分析】设这个多边形是n边形，根据多边形的内角和是外角和的3倍列出关于n的方程（n–2） 180°=3×360°，解方程即可求出 这个多边形的边数.[多边形的内角和是（n–2） 180°，外角和我360°]
7．【答案】C
【解析】【解答】A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，A不符合题意；
B．两条对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是矩形，B不符合题意；
C．如图，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠AEB=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF．
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理得，
AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，
BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2，
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）+2BC2．
又∵AE2+BE2=AB2，
故AC2+BD2=2（AB2+BC2）；
即平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和，符合题意；
D．有两条对角线平分一组对角的四边形是菱形，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法判定后即可确定正确的选项．
8．【答案】B
【解析】【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣2=2011，
解得：n=2013．
所以这个多边形的边数是2013．
故选：B．
【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数．
9．【答案】B
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意；
B、四边相等的四边形是菱形，故本选项符合题意；
C、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定解答即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，OA=OD，∠OAD=∠ODC=45°，∠AOD=90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=∠AOD=90°，
∴∠AOM=∠DON，
∴△AOM≌△DON，
∴S△AOM=S△DON，
∴四边形MOND的面积等于S△AOD，
∵四边形MOND的面积是2，
∴S△AOD=2，即，
∴OA=2，
∴．
故答案为：D
【分析】先求出△AOM≌△DON，再利用勾股定理求出OA=2，最后利用勾股定理计算求解即可。
11．【答案】540°
【解析】【解答】解：正五边形的内角和是： ，
故答案为： .
【分析】根据多边形的内角和公式 求解.
12．【答案】4.8
【解析】【解答】解：如图，
∵菱形ABCD，AC=8cm，BD=6cm
∴AC⊥BD，OA=AC=4，OB=BD=3
∴∠AOB=90°，
∴;
∵,
解之：DH=4.8.
故答案为：4.8.
【分析】利用菱形的性质，可得到∠AOB=90°，就可求出OA，OB的长，利用勾股定理求出AB的长，再根据菱形的两个面积公式建立关于DH的方程，解方程求出DH的值。
13．【答案】
【解析】【解答】解：添加条件BE=CF.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，BE=CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）.
故答案为：BE=CF.
【分析】根据正方形的性质可得：AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，然后根据全等三角形的判定定理进行解答.
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形
∴CD=1，∠CDA=90°
根据旋转的性质，
∴CF=，∠CFE=45°
∴△DFH为等腰直角三角形
∴DH=DF=CF=CF-CD=-1.
【分析】根据正方形的性质计算得到CD和∠CDA的数值，根据旋转的性质以及正方形的性质可得∠CFE为45°，由此判定△DFH为等腰直角三角形，计算得到CF-CD的度数即可。
15．【答案】4
【解析】【解答】如图，
∵BE 为∠DBC 的平分线，
∴射线BD与射线BC关于BE对称，
设BD上任一点F关于BE的对称点为H，
则GF=GH，
∴OG+GF=OG+GH，
∵点O到BC上各点的连线中，垂线段最短，
∴当O、G、H共线，且OH⊥BC时，OG+GF=OG+GH=OH最短，此时OH=1，
∴BC=2，
∴正方形 ABCD 的面积为：2×2=4.
【分析】由BE 为∠DBC 的平分线，可知射线BD与射线BC关于BE对称，设BD上任一点F关于BE的对称点为H，由轴对称的性质可知OG+GF=OG+GH，再由垂线段最短可求出正方形的边长.
16．【答案】解：任何一个多边形外角和都等于，
又多边形内角和与外角和的比为：，
多边形内角和等于，
设这个多边形的边数是，
，
．
【解析】【分析】根据题目已知信息得到多边形的内角和，最后根据多边形内角和计算公式计算即可.
17．【答案】证明：∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE和△CBF中，
∵DE＝BF ，∠AED＝∠CFB ，AE＝CF ，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】【分析】根据SAS可证△ADE≌△CBF（SAS），可得AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，利用平行线的判定可得AD∥BC，根据一组对边平行且相等可证四边形ABCD是平行四边形.
18．【答案】解：四边形AECF是平行四边形
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC中点
∴，OA=OC
∴，
∴≌
∴OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，OA=OC，利用平行线的性质可证得∠OAE=∠OCF，∠AEO=∠CFO，利用AAS证明△AOE≌△COF，可证得OE=OF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，由此可证得结论.
19．【答案】（1）解：如图，四边形 即为所求作的菱形：
（2）解：∵四边形 为菱形
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴菱形 的棱长为4.
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质，由尺规作图作出∠ABC的角平分线BE交AC于点E，作出BE的垂直平分线，交AB于点F，交BC于点D，连接EF，DE即可；
（2）利用菱形的性质可证得ED=BD，ED∥BA，再求出∠C=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得CD=2BD，可推出3BD=12，即可求出BD的长.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∵DA=AF
∴AF∥BC，且AD∥BC
∴四边形ACBF是平行四边形
∴BE=AE
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠D=∠ABC
∵2∠D=∠BEF，且∠BEF=∠ABC+∠ECB
∴2∠ABC=∠ABC+∠ECB
∴∠ECB=∠ABC
∴CE=BE
∵四边形ACBF是平行四边形
∴AE=BE，CE=EF
∴AB=CF，且四边形ACBF是平行四边形
∴平行四边形ACBF是矩形．
【解析】【分析】（1）通过证明四边形ACBF是平行四边形，可得BE=AE；（2）由平行四边形的性质，三角形外角性质可得CE=BE，可证AB=CF，则平行四边形ACBF是矩形．
21．【答案】（1）证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD＝BD，DE＝DF.
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS）；
（2）证明：∵AD＝BD，DF＝DE，
∴四边形AFBE是平行四边形.
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE.
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠ABE.
∴DB＝DE.
∴AB＝EF.
∴平行四边形AFBE是矩形.
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得AD＝BD，根据对顶角的性质可得∠ADE=∠BDF，结合DE＝DF，可以利用SAS证明 △ADE≌△BDF ；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形易得四边形AFBE是平行四边形，DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，由平行线的性质可得∠DEB＝∠CBE，由已知条件可知∠ABE＝∠CBE，推出DB＝DE，然后利用对角线相等的平行四边形是矩形进行证明.
22．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：，
，
平分，
，
，
在中，，，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
；
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，由已知条件可知AE=CF，结合线段的和差关系可得DF=EB，推出四边形BFDE为平行四边形，然后结合DE⊥AB以及矩形的判定定理进行证明；
（2）由平行线的性质可得∠BAF=∠AFD，由角平分线的概念可得∠DAF=∠AFD，则AD=DF，由勾股定理可得AD的值，根据矩形的性质可得BE=DF=5，BF=DE=4，∠ABF=90°，则AB=AE+BE=8，然后利用勾股定理进行计算.
23．【答案】（1）解：由勾股定理与网格特点得：
则由点A、B、D、E作为顶点组成的四边形为平行四边形，顺次连接即可得平行四边形 ，如图所示：
（2）解：如图，连接AD、BE，相交于点O，过点O、C画直线即可得直线 ，理由如下：
四边形 是平行四边形
在 和 中，
，即
，即
则直线 平分平行四边形 的面积，即为所求.
【解析】【分析】（1）首先由勾股定理可得AB=DE，BD=AE，则四边形ABDE为平行四边形；
（2）连接AD、BE，相交于点O，过点O、C画直线即可得直线 l即可，由平行四边形的性质可得AE∥BD，OA=OD，S△ABD=S△AED，进而推出△AOM≌△DON，得到S△AOM=S△DON，由面积之间的和差关系可推出S四边形ODEM=S四边形OABN，据此证明即可.
