专题强化2 与斜面、曲面相结合的平抛运动
1.如图所示，跳台斜坡与水平面的夹角θ＝37°，滑雪运动员从斜坡的起点A点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的B点。不计空气阻力，重力加速度大小g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则运动员离开A点时的速度大小为( )
A．15 m/s B．20 m/s
C．25 m/s D．30 m/s
2.如图所示，某物体(可视为质点)以水平初速度抛出，飞行一段时间t＝ s后，垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上(g取10 m/s2)，不计空气阻力，由此计算出该物体的水平位移x和水平初速度v0为( )
A．x＝25 m B．x＝5 m
C．v0＝10 m/s D．v0＝20 m/s
3．(2023·苏州市高一统考期末)跳台滑雪是北京2022年冬奥会的比赛项目之一，图甲为跳台滑雪的场地，可以简化为图乙所示的示意图，平台末端B点切线水平，斜面足够长，当运动员(可视为质点)以速度v从B点水平飞出，落到斜面上C点，斜面倾角为θ，忽略空气阻力。下列说法正确的是( )
A．运动员在空中运动的时间与v无关
B．运动员在空中运动的时间与v成正比
C．运动员落到斜面时的位移与v成正比
D．v越大，落到斜面时瞬时速度与斜面间的夹角越大
4.甲、乙两个小球分别以v、2v的速度从斜面顶部端点O沿同一方向水平抛出，两球分别落在该斜面上P、Q两点，忽略空气阻力，甲、乙两球落点P、Q到端点O的距离之比为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，两个相对斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则A、B两个小球从抛出到落到斜面的运动时间之比为( )
A．1∶1 B．4∶3
C．16∶9 D．9∶16
6．(2023·盐城市高一校联考期末)如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从A点水平飞出，落到斜坡上的B点，AB两点间的竖直高度h＝45 m，斜坡与水平面的夹角α＝37°，不计空气阻力(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)，求：
(1)跳台滑雪运动员在空中飞行的时间；
(2)跳台滑雪运动员从A点水平飞出时的速度大小。
7．如图所示，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是以O为圆心的一段圆弧，位于竖直平面内。现有一小球从水平桌面的边缘P点向右水平飞出，该小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入凹槽。OA与竖直方向的夹角为θ1，PA与竖直方向的夹角为θ2。下列选项正确的是( )
A．tan θ1tan θ2＝2 B.＝2
C.＝2 D.＝2
8.如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)( )
A．b与c之间某一点
B．c点
C．c与d之间某一点
D．d点
9．(2023·淮安市淮阴中学高一校考阶段练习)如图所示，将一个小球(可视为质点)从半球形坑的边缘A以速度v0沿直径方向水平抛出，落在坑壁某点B，忽略空气阻力。从A到B的过程，下列说法中正确的是( )
A．v0越大，小球运动时间越长
B．v0越大，小球运动位移越大
C．v0越大，小球运动加速度越大
D．v0取适当值，小球可能垂直坑壁落入坑中
10.(2021·南京师大附中高一期末)如图所示，水平桌面上放置一小球(可视为质点)。击打小球后，小球以4 m/s的速度水平抛出，下落H＝0.8 m后垂直撞击倾角为θ的斜面。小球反向弹回后，继续向上运动的最大高度为H。不计空气阻力，重力加速度大小g＝10 m/s2，求：
(1)斜面的倾角θ；
(2)小球撞击斜面反向弹回后，上升到最大高度时，小球与斜面撞击点间的水平距离x。
11.如图所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点。空气阻力不计，重力加速度为g。
(1)求A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；
(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？
专题强化练2 与斜面、曲面相结合的平抛运动
1．B [运动员在竖直方向做自由落体运动，设A点与B点的距离为L，则有Lsin 37°＝gt2，解得L＝75 m，设运动员离开A点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，则有Lcos 37°＝v0t，解得v0＝20 m/s，B正确，A、C、D错误。]
2．C [物体撞在斜面上时竖直分速度vy＝gt＝10 m/s，将速度进行分解，有tan 30°＝，解得v0＝10× m/s＝10 m/s，则水平位移x＝v0t＝10× m＝10 m，故C正确，A、B、D错误。]
3．B [运动员在空中做平抛运动，由平抛运动规律h＝gt2，x＝vt，运动员落在斜面上，故有＝tan θ，联立可得t＝，故运动员在空中运动的时间与v成正比，A错误，B正确；运动员落到斜面时的位移s＝＝，运动员落到斜面时的位移与v2成正比，C错误；设运动员落到斜面时瞬时速度与斜面间的夹角为α，则tan α＝2tan θ，故运动员落到斜面时瞬时速度与斜面间的夹角与v无关，D错误。]
4．C [设斜面倾角为α，小球落在斜面上速度方向偏向角为θ，落在斜面上，如图所示，
根据平抛运动的推论tan θ＝2tan α，
可知甲、乙两个小球落在斜面上时速度偏向角相等，对甲有vy甲＝vtan θ，
对乙有vy乙＝2vtan θ，
又因为下落高度y＝，
可得甲、乙两个小球下落高度之比为＝，
甲、乙两球落点P、Q到端点O的距离之比＝＝，故选C。]
5．D [根据平抛运动规律以及落在斜面上的特点可知x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝，解得t＝，两小球的初速度大小相等，所以时间之比为tA∶tB＝tan 37°∶tan 53°＝9∶16，A、B、C错误，D正确。]
6．(1)3 s (2)20 m/s
解析 (1)根据h＝gt2
解得t＝3 s
(2)根据＝v0t
解得v0＝20 m/s。
7．A [从题图中可以看出，在A点的速度方向与水平方向的夹角为θ1，则有tan θ1＝＝。由P到A过程，其位移与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝＝＝，则tan θ1tan θ2＝2，故选A。]
8．A [当水平初速度变为2v0时，如果去掉斜面，作过b点垂直于Oa的直线be，小球将落在c点正下方的直线上的e点，则小球以速度2v0水平抛出时在斜面上的落点在b与c之间的某一点，故选A。]
9．B [根据题意可知，小球做平抛运动，竖直方向上，有h＝gt2，解得t＝，可知，当小球落在圆心正下方时，运动时间最长为tm＝，水平方向上有R＝v0tm，解得v0＝，即当小球以抛出时，运动时间最长，若初速度v0>，则v0越大，小球运动时间越短，若初速度v0<，则v0越大，小球运动时间越长，故A错误；由分析可知v0越大，小球运动的水平位移越大，由几何关系可知，小球运动的位移越大，故B正确；小球做平抛运动，加速度为重力加速度，大小与初速度无关，故C错误；若小球垂直坑壁落入坑中，则小球落地速度的方向沿半径方向，由几何关系可知，此时，速度方向与水平方向的夹角等于位移方向与水平方向夹角的2倍，由平抛运动规律可知，落地速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角的正切值的2倍，相互矛盾，则无论v0为何值，小球都不可能垂直坑壁落入坑中，故D错误。]
10．(1)45° (2)0.8 m
解析 (1)设小球撞击斜面前瞬间的竖直分速度大小为vy，则根据运动学公式可得vy＝＝4 m/s
由几何关系有tan θ＝＝1
解得θ＝45°。
(2)设小球反向弹回瞬间的竖直分速度大小为vy′，水平分速度大小为v0′，则根据运动学公式有
vy′＝＝2 m/s
由几何关系有tan θ＝＝1
解得v0′＝2 m/s
小球反向弹回后上升到最大高度所需的时间为t′＝＝ s
解得x＝v0′t′＝0.8 m。
11．(1) (2)
解析 (1)设飞行时间为t，则水平方向lABcos 30°＝v0t，
竖直方向lABsin 30°＝gt2，
解得t＝tan 30°＝，
lAB＝。
(2)如图所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量。在垂直斜面方向上，小球做的是以v0y为初速度、gy为加速度的“竖直上抛”运动。
小球到达离斜面最远处时，速度vy＝0，
由vy＝v0y－gyt′可得
t′＝＝＝
小球离斜面的最大距离y＝＝＝。
