2023年下学期期末考试
八年级数学学科试题卷
时量：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分30分）
1．下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B．2024 C． D．
2．若分式的值为0，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列命题是假命题的是（ ）
A． B．
C．9的平方根是3 D．若，则
6．若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，，是的平分线，点，是上的两点，且，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．是的平分线
8．如图，是的中线，过点作的平行线，交的延长线于点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．是的中线
C． D．
9．某服装网店购进男装、女装共100件，其进价和售价如下表：
进价（元/件） 售价（元/件）
男装 260 320
女装 240 290
该服装网店预计获得利润不少于5200元，设购进件男装，根据题意可列不等式（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在一次数学活动中，利用“在面积一定的长方形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是6”．其推导方法如下：在面积是9的长方形中设长方形的一边长为，则另一边长是，长方形的周长是；当长方形成为正方形时，就有，解得，这时长方形的周长最小，因此的最小值是6．参考推导，可求得式子的最小值是（ ）
A．6 B．8 C． D．
二、填空题（本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置，每小题3分：满分24分）
11．计算：＝ ．
12．若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
13．计算： ．
14．石墨烯是一种超级材料，具有超强的导热性、导电性和光学性能．也是世界上厚度最薄的新型二维材料，在智能装备、航空航天、环境治理等领域应用潜力巨大，是未来材料的瑰宝．其理论厚度仅是，这个数用科学记数法表示 ．
15．已知等腰三角形的两边长分别为、，则这个等腰三角形的周长是 ．
16．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF = CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 ．（只需写一个，不添加辅助线）
17．如图，在中，先后分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交于于点，交于于点，交于的延长线于点，连接，已知，则 ．
18．已知，，则 ．
三、解答题（本大题共9个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分66分）
19．计算：．
20．解方程：
21．解不等式组将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解．
22．先化简，再求值：，其中．
23．如图，与中，与交于点，且，．
(1)求证：；
(2)求证：．
24．观察下列运算过程：
①
②
…
(1)根据上述规律，猜想：＝______（为正整数），并证明你的结论；
(2)利用上面所提供的解法，化简：
．
25．北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生级地震．“一方有难，八方支援”，我市某中学响应号召，积极捐款，共募集资金16500元．其中9000元用来购买矿泉水，余下的钱购买了大米．已知购得的矿泉水数量是大米数量的2倍，且一袋大米比一箱矿泉水贵20元．
(1)求矿泉水和大米的数量各是多少？
(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共5辆，一次性将这批矿泉水和大米全部运往灾区．已知每辆甲型货车最多可装矿泉水80箱和大米30袋，每辆乙型货车最多可装矿泉水50箱和大米各40袋．问：安排甲、乙两种货车时共有哪几种方案？（备注：两种车型都要有）请你帮助设计出来．
26．某数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形：例如：．我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法．
知识理解：
（1）请利用“分离常数法”将分式变形为（其中，为常数），求，的值；
能力提升：
（2）解决问题：若分式的值为整数，求满足条件的整数的值．
27．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
参考答案与解析
1．A
【分析】此题主要考查了无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意；
B、2024是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．B
【分析】本题考查分式值为零的条件，掌握分式值等于0，分子等于0，分母不等于0是解题的关键．
根据分式值等于0，分子等于0，分母不等于0，列出不等式组求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得：，
故选：B．
3．A
【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出．
【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意，
B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意，
C选项是作AB边上的高，不符合题意，
D选项是作AC边上的高，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键．
4．D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：A．不是同类二次根式，不能进行加减计算，故A错误；
B．，故B错误；
C．，故C错误；
D．，故D正确；
故选：D
5．C
【分析】根据算术平方根、立方根、平方根的意义进行判断即可，此题考查了算术平方根、立方根、平方根的意义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A．，是真命题，不符合题意；
B．，是真命题，不符合题意；
C．9的平方根是，是假命题，符合题意；
D．若，则，是真命题，不符合题意．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解： A、将两边都减去3，得：，故此选项错误；
B、将两边都乘以，再加上5，得：，故此选项正确；
C、将两边都乘以，得：，故此选项错误；
D、将两边都除以，得：，故此选项错误；
故选：B．
7．D
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的三线合一的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的判定方法；
根据三角形的三线合一可以得出A正确，再根据角平分线的定义得出，利用证明，再利用证明，即可得出结论．
【详解】解：，是的平分线，
，故A正确；
是的平分线，
,
,
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
故B、C正确，
故选：D．
8．C
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质．
利用证明，即可判定A成立，根据全等三角形的性质可判定B、D成立，根据无条件能证明，故不能得到，可判定C选项不一定成立．
【详解】解：∵，
∴，，
∵是的中线，
∴
∴，故A选项成立；
∵
∴
∴是的中线，故B选项成立；
∵
∴
又∵
不能得出，故不能得出，故C选项不一定成立；
∵是的中线，
∴
∵
∴
∴，故D选项成立；
故选：C．
9．D
【分析】本题考查由实际问题抽象出不等式．
根据总利润=（甲的售价-甲的进价）×购进甲的数量+（乙的售价-乙的进价）×购进乙的数量， 设购进件男装，则购进件女装，由该服装网店预计获得利润不少于5200元，列出不等式即可．
【详解】解：设购进件男装，则购进件女装，根据题意，得
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了新定义题型下求分式的取值范围，正确题意题意是解题关键．，根据定义即可求解．
【详解】解：，
由题意得：在面积是的长方形中设长方形的一边长为，则另一边长是，
长方形的周长是，
当长方形成为正方形时，就有，解得，
这时长方形的周长最小，因此的最小值是，
即：的最小值是
故选：B
11．
【分析】根据底数不变，指数相减计算即可．
【详解】=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握计算法则是解题的关键．
12．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数，列不等式即可．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是二次根式有意义的条件，解决此题的关键是根据二次根式有意义的条件：被开方数，列不等式．
13．
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并，掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并方法是解题关键．
14．
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故答案为：．
15．
【分析】先根据三角形的三边关系确定此等腰三角形的三边，再求周长即可．
【详解】解：如果等腰三角形三边长分别是、、，，不能构成三角形；
如果等腰三角形三边长分别是、、，，能构成三角形；
那么这时三角形的第三边长为．
所以，这个等腰三角形的周长是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三边关系，解答此题的关键是先分情况讨论三角形边长，然后再进一步解答．
16．AC=DF（答案不唯一）
【详解】∵BF = CE，
∴BF＋FC = CE＋FC，即BC=EF；
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
△ABC和△DEF中有一角一边对应相等，
∴根据全等三角形的判定，添加AC=DF，可由SAS得△ABC≌△DEF；
添加∠B=∠E，可由ASA得△ABC≌△DEF；
添加∠A=∠D，可由AAS得△ABC≌△DEF．
故答案为：AC=DF．（答案不唯一）
17．
【分析】由尺规作图得出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形性质得到，，再根据，得到，从而得出，求得，即可求得，然后由三角形外角性质求解即可．
【详解】解：由作图可知：垂直平分，
∴，
∴，，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查尺规作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角性质．由尺规作图得出垂直平分是解题的关键．
18．
【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是可以将题目中的式子灵活变化，变为所求式子需要的条件．
由可得，代入变为只含有a的代数式，由可得，再代入前面化简后的式子，即可解答本题．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∵
∴
∴，
即．
故答案为：．
19．－6
【分析】本题考查实数的混合运算．熟练掌握零指数与负整数指数幂运算法则，二次根式化简，求无理数的绝对值是解题的关键．
先计算乘方，并化简绝对值和二次根式，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
20．
【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】方程两边乘，得：，
解得：，
检验：当时，．
∴是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．不等式组的解集：，解集在数轴上表示见解析，整数解有：，，0，1，2，3
【分析】本题考查解不等式组，用数轴表示出不等式组的解集，求不等式组的整理数解．
先分别求出不等式组中每一个不等式解集，再确定出不等式组的解集，然后用数轴表示出不等式组的解集，并写不等式组的整数解即可．
【详解】解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集：，
解集数轴表示：
整数解有：，，0，1，2，3．
22．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键主要是进行通分，通分的关键是找最简公分母，分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公分母；
首先将括号里通分运算，再利用分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形的全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法有“”；
（1）利用直接可证明，
（2）由可得，，进而可得，进而根据角的和差得出，即可利用证明．
【详解】（1）证明：在和中，
∴；
（2）证明：由（1）可知，
则：，，
∴，
∴，
即，
在和中，
∴．
24．(1)，证明见解析
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，规律型：数字的变化类，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据已知算式得出规律即可；
（2）根据（1）中得出的规律进行变形，再根据二次根式的加法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：猜想，故答案为：；
证明：
；
（2）解：
．
25．(1)购得大米150袋，矿泉水300箱
(2)方案有以下3种：①甲种2辆，乙种3辆；②甲种3辆，乙种2辆；③甲种4辆，乙种1辆
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）设购得大米袋，则购得矿泉水箱，根据一袋大米比一箱矿泉水贵20元列出方程求解即可；
（2）设甲型号货车辆，则乙型号货车辆，根据两辆车装的大米数要大于等于150，矿泉水数要大于等于300列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设购得大米袋，则购得矿泉水箱，
根据题意得：
解得：
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴（箱）
答：购得大米150袋，矿泉水300箱．
（2）解：设甲型号货车辆，则乙型号货车辆．
根据题意得： ，
解得：，
∵为整数，且两种车型都要有，
∴或3或4，
∴方案有以下3种：①甲种2辆，乙种3辆；②甲种3辆，乙种2辆；③甲种4辆，乙种1辆
26．（1），；（2）或
【分析】本题考查分式的加减以及分式的基本性质，掌握分式加减法的计算方法以及分式的性质是正确解答的关键．
（1）将原式写成即可求解；
（2）将原式化成，考虑为整数且x为整数，则，求解即可．
【详解】解：（1），
则，；
（2），
∴为整数，且为整数，
∴则，
∴或．
27．（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析
【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；
（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；
（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．
【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA=90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD．
又AB=AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS）．
∴AE=BD，AD=CE．
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）成立．证明如下：
∵∠BDA =∠BAC=，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-．
∴∠DBA=∠CAE．
∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS）．
∴AE=BD，AD=CE．
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）△DEF为等边三角形．理由如下：
由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°．
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．
∴∠DBF=∠FAE．
∵BF=AF，
∴△DBF≌△EAF（SAS）．
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°．
∴△DEF为等边三角形．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．
