2023～2024学年度第一学期期末质量监测
八年级数学试卷
一、选择题（每小题3分，计30分）
1．点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．若一个三角形的三个外角之比为3：4：5，则该三角形为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．若a=b，那么a2=b2 C．等角的补角相等 D．若a=b，那么|a|=|b|
5．一次函数（为常数）中随的增大而增大，则其图象不可能经过的点是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点、，连接，交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为的中线，为的中点，连接．已知的面积为，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
8．一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度不变．两车离甲地的距离与慢车行驶时间的函数关系如图所示，那么两车先后两次相遇的间隔时间为（ ）
A． B． C． D．
9．下列选项中，可能表示一次函数与正比例函数（为常数，且）的图像的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，，分别平分、．则以下结论：
①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（每小题4分，计20分）
11．若三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是 ．
12．如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件 ，使ΔABC≌ΔDBE．(只需添加一个即可)
13．函数的图像与轴、轴分别交于点、，的面积为，则的值为 ．
14．如图，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆、、、…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是 ．
三、解答题（16、17每小题8分，18～20每小题10分，21、22每小题12分，计70分）
16．点、和都在一次函数的图象上，求的值．
17．如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝80°，∠EAD＝10°，求∠B的度数
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)、B(3，4)、C(4，2)．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）通过平移，使B1移动到原点O的位置，画出平移后的△A2B2C2．
（3）在△ABC中有一点P(a，b)，则经过以上两次变换后点P的对应点P2的坐标为_______．
19．如图，点在同一直线上，，，，求证：．
20．舒城汽车城某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车．第一次购进甲型号汽车10辆和乙型号汽车15辆，售完共获利36万元；第二次购进甲型号汽车15辆和乙型号汽车20辆，售完共获利51万元．
(1)求销售甲、乙两种型号汽车每辆的利润；
(2)根据前两次销售情况，决定再次购进甲、乙两种型号的汽车共50辆，且乙型号汽车的数量不少于甲型号汽车数量的1．5倍，设再次购进甲型汽车m辆，这50辆汽车的总销售利润为W万元．
①求W关于m的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②如何购进这两种汽车，才能使销售利润最大？最大利润是多少？
21．如图，为线段上一点，，，且，交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)当时，求证：为等边三角形；
(3)连接，求（用含的式子表示）．
22．（1）如图1，A、B两点分别在x轴、y轴负半轴上，以点A为直角顶点，为腰在第三象限作等腰．若，，求点C的坐标；
（2）如图2，A、B两点分别在x轴、y轴负半轴上，以B为直角顶点，为腰作等腰，使点D落在第四象限，过D作轴于点E，若，，求所在直线的函数解析式；
（3）如图3，点F坐标为，点在y轴负半轴上，点在x轴的正半轴上，且，请直接写出的值．
参考答案与解析
1．D
【分析】四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，根据各象限点的横纵坐标的正负性解答．
【详解】解：∵，点P的坐标横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P在第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，熟记各象限内点的坐标的符号是解题的关键．
2．D
【分析】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】根据三角形外角和为360°计算，求出内角的度数，判断即可．
【详解】解：设三角形的三个外角的度数分别为3x、4x、5x，
则3x+4x+5x＝360°，
解得，x＝30°，
∴三角形的三个外角的度数分别为90°、120°、150°，
对应的三个内角的度数分别为90°、60°、30°，
∴此三角形为直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的外角和，掌握三角形外角和为360°是解题的关键．
4．C
【分析】先写出逆命题，后结合所学知识，判断正误即可．
【详解】逆命题：相等的角是对顶角，是假命题，
∴A不符合题意；
逆命题：若，则a=b，
∵若，则a=±b，
∴该逆命题是假命题，
∴B不符合题意；
逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，
∴该逆命题是真命题，
∴C符合题意；
逆命题：若|a|=|b|，则a=b，
∵若|a|=|b|，则a=±b，
∴该逆命题是假命题，
∴D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了命题，逆命题，正确写出逆命题，并正确判断正误是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出值，结合随的增大而增大即可确定结论，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
【详解】、当点的坐标为时，，解得：，
∴随的增大而增大，不符合题意；
、当点的坐标为时，，解得：，
∴随的增大而增大，不符合题意；
、当点的坐标为时，，解得：，
∴此选项，符合题意；
D、当点的坐标为时，，解得：，
∴随的增大而增大，不符合题意；
故选：．
6．C
【分析】本题考查的是三角形的内角和，线段垂直平分线的性质和等边对等角，先根据三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质得出，进而可得出结论，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，
根据题意可知：直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故选：．
7．A
【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，，再由的面积为，就可得到的面积，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用．
【详解】∵为的中点，的面积为，
∴，
∵为的中线，
∴，
∴，
故选：．
8．C
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据，可以分别求得快车和慢车的速度，再作差即可求出第一次和第二次相遇的时间，通过函数图象获取有关的信息是解题的关键．
【详解】解：由图象可得，快车的速度为：，
慢车的速度为：，
设快车行驶两车第一次相遇，行驶两车第二次相遇，
则，，
解得，，
∴两车先后两次相遇的间隔时间为，
故选：．
9．A
【分析】根据一次函数的图像与系数的关系，由一次函数图像分析可得a、b的符号，由正比例函数（为常数，且）的图像进而可得的符号，从而判断选项否正确．本题主要考查了一次函数图像，熟练掌握一次函数的图象和系数的关系是解题的关键．
【详解】根据一次函数的图像分析可得：
A.由一次函数图像可知；正比例函数的图像可知，故此选项正确，符合题意；
B. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
C. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
D. 由一次函数图像可知；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质等知识，由平行线的性质及角平分线的定义可得到，即可判定；延长，相交于点，证明得到，进而可证明，得到，即可判定；由得到，由得到，由此得到，即可判定；由得到，故而得到，即可判定；综上，即可求解，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵分别平分、，
∴，，
∴，
∴，
∴，故正确；
延长，相交于点，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，故错误；
∵，
∴，
∴，故正确；
∴正确的有个，
故选：．
11．
【分析】根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”即可求x的取值范围．
【详解】根据任意两边之差小于第三边得：，
解得：，
根据任意两边之和大于第三边得：，
解得：，
则的取值范围是：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是根据题意正确列出不等式求解．
12．∠BDE=∠BAC（答案不唯一）．
【分析】根据∠ABD=∠CBE可以证明得到∠ABC=∠DBE，然后根据利用的证明方法，“ASA”“SAS”“AAS”分别写出第三个条件即可：
【详解】∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠ABC=∠DBE．
∵AB=DB，
∴①用“ASA”，需添加∠BDE=∠BAC；
②用“SAS”，需添加BE=BC；
③用“AAS”，需添加∠ACB=∠DEB．
故答案为：∠BDE=∠BAC（答案不唯一）
13．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点，的坐标，进而可得出，的长，结合的面积为，可得出关于的方程，解之即可得出结论，熟练掌握一次函数的性质，找出关于的方程是解题的关键．
【详解】解：由得，
当时，，
∴点，则，
当时，，
∴点，则，
∵的面积为，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，延长交点于，可证，得到，，进而得到，由三角形全等推导出，并判断出当时，最大，是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交点于，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，最大，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，计算点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第秒点位置，找出运动规律是解题的关键．
【详解】由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为：（秒），
当时间为秒时，点；
当时间为秒时，点；
当时间为秒时，点；
当时间为秒时，点；
当时间为秒时，点；
；
则当时间为秒时，，
∴点，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求出解析式，再将点的坐标代入函数解析式即可，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及性质．
【详解】把、代入得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为，
又∵在图象上，
∴．
17．∠B＝40°．
【分析】先根据AE是角平分线，求出∠CAD的度数，由AD是高，求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∵AE是角平分线，∠BAC＝80°，
∴∠CAE＝∠BAC＝40°，
∵∠EAD＝10°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝40°．
故答案为40°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理，一定要熟练于心，难度适中．
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）关于y轴对称可知，对应点纵坐标不变，横坐标互为相反数，由此可作出；
（2）由移动到原点O的位置可知，对应点向右平移了3个单位，向下平移了4个单位，由此可作出；
（3）根据两次变换可知，点P先关于y轴对称，再进行平移，即先纵坐标不变，横坐标互为相反数，再向右平移了3个单位，最后向下平移了4个单位，即可得到的坐标．
【详解】
（1）如图所示，即为所作；
（2）如图所示，即为所作；
（3）点关于y轴对称得，
向右平移3个单位，再向下平移4个单位得．
故答案为：．
【点睛】本题考查平移与轴对称变换，掌握平移和轴对称的性质是解题的关键．
19．证明见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由平行线的性质得到，，进而由“”可证到，得到，由线段的和差关系即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵点在同一直线上，
∴，
即．
20．(1)销售甲、乙两种型号汽车每辆的利润分别为1.8，1.2
(2)①②当时，W取得最大值，最大利润为万元
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
（1）设销售甲、乙两种型号汽车每辆的利润分别为x，y，根据题意列两元一次方程组即可；
（2）①设再次购进甲型汽车m辆，则再次购进乙型汽车辆，根据题意列一次函数表达式即可，根据乙型号汽车的数量不少于甲型号汽车数量的1.5倍求自变量的取值范围；②求出y随x增大而增大，即当时，W取得最大值即可求解．
【详解】（1）解：设销售甲、乙两种型号汽车每辆的利润分别为x，y，
由题意得：，解得：
∴销售甲、乙两种型号汽车每辆的利润分别为1.8，1.2
（2）① 解：设再次购进甲型汽车m辆，则再次购进乙型汽车辆，
由题意得：，
∵乙型号汽车的数量不少于甲型号汽车数量的1.5倍，
∴且，
解得：
∴这50辆汽车的总销售利润为；
② 由①得：中，即y随x增大而增大，
∴当时，W取得最大值，即最大利润为万元；
21．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（）证明即可求证；
（）由得到，证明得到，由等边三角形的判定方法即可求证；
（）连接，过点作于，于，由得到，，，进而由得到，即可得到平分，即，又由三角形的外角性质可得到，由此得到，即可求得；
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，角平分线的判定，三角形的外角性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形；
（3）解：如图，连接，过点作于，于，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴平分，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴．
22．（1）点C的坐标是： （2）所在直线的函数解析式，（3）
【分析】（1）过点C作轴，构造出，再根据等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、同角的余角相等、角的和差等利用角角边定理可得到，然后根据全等三角形的性质即可求解；
（2）过点D作轴，同（1）可证，进而得到，，根据待定系数法即可求解；
（3）过点F作轴，，根据条件证明即可求解．
【详解】解：（1）过点C作轴，如图，
∵是等腰三角形，是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点C位于第三象限
∴点C的坐标是：
（2）解：过点D作轴，如图，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，，
设所在直线的函数解析式，
代入得：，解得
∴所在直线的函数解析式，
（3）解：过点F作轴，如图，
∴
∴，
∴
∴，
∴，
∵点在y轴负半轴上，点在x轴的正半轴上，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、等角的余角相等、线段的和差、平面直角坐标系中点的坐标特征等，能通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
