福建省厦门市思明区2023-2024学年七年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1．下列各数中最小的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．据报道，2024年建发厦门马拉松赛于1月7日7时30分鸣枪开跑，本次赛事参赛人数近136000人，创赛事历史新高．将数据136000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．三棱锥 C．三棱柱 D．圆锥
4．下列说法正确的是（ ）
A．单项式的系数是2 B．单项式的系数是
C．多项式是三次三项式 D．与是同类项
5．下列各式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若是关于x的方程的解，则a的值为（ ）
A．9 B．2 C． D．
7．如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，若是的角平分线，则的方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东
8．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗值粟十斗，醑酒一斗值粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何 ”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗，设清酒有x斗，那么可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知：，那么代数式的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
10．如图，是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，求第60层中含有正三角形个数（ ）
A．614 B．714 C．814 D．914
二、填空题（共6小题，第11题6分，共26分．将答案填入答题卡相应位置）
11．计算下列各题：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ．
12．如图，已知，M为线段的中点，点C在线段上，且，则线段的长为 ．
13．若，则它的补角为 ° '．
14．有理数b，在数轴上的对应点的位置如图中黑点所示，若整数a满足，则整数a的值可以是 ．（写出一个满足题意的具体数值）
15．观察下列算式：12－02＝1；22－12＝3；32－22＝5；42－32＝7；52－42＝9；…；若字母n表示自然数，请你将观察到的规律用含n的式子表示出来： ．
16．将两张边长分别为和的正方形纸片按图（1）、图（2）两种方式置于长方形中，（图（1）、图（2）中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，则图（1）与图（2）中阴影部分的周长的差为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共84分.在答题卡的相应位置作答）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．先化简，再求值：，其中．
20．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用．若船在静水中的速度为，水速为，求A港和B港相距多少．
21．如图，．过点O在的内部画射线．探究发现：
(1)当时，平分．
依题意补全图形（补在图1处），并将下面的推理补充完整．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴ ．（ ）（填推理的依据）
∴平分．
(2)当时，依题意补全图形（补在图2处），并探究图中的哪条射线平分哪个角，填在以下横上．
．
22．电影《人在囧途》2010年上映之后，“囧”就成了当年的网络流行语，像一个人脸郁闷的神情．如图所示，一张边长为的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为．
(1)用含x，y的代数式表示图中“囧”的面积S；并求出当时“囧”的面积；
(2)当“囧”的面积记为S，正方形的边长为a，若代数式的值与x，y无关，求此时b的值．
23．在数学课上，老师给出几个关于三位数的运算式子：，，，，，……
(1)张同学经过观察，提出一个猜想：把一个三位正整数的百位上的数与个位上的数交换位置，十位上的数不变，原数与所得数的差等于 ．（请将他的猜想补充完整）
(2)张同学的猜想是否正确？若正确，请通过整式的运算进行证明；若不正确，说明理由．
(3)已知一个五位正整数的万位上的数为m，个位上的数为n，把万位上的数与个位上的数交换位置，其余数位上的数不变，原数与所得数的差等于 ．（用含m，n的式子表示）
24．【实践操作】三角尺中的数学
(1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，．
①若，则 ；若，则 ；
②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，．
①探究与的大小有何数量关系，并说明理由；
②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时．
25．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为．
(1)动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．设运动时间为t（t＞0）秒．
①直接写出数轴上点B表示数是 ，点P表示的数是 （用含t的式子表示）；
②当点P运动多少秒时，点P，Q两点之间的距离为6个单位长度．
(2)已知点C表示的数为5，对于数轴上两条线段给出如下定义：若线段的中点H与线段上点的最小距离不超过1，则称线段是线段的“限中距线段”．
①点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒，设点Q表示的数为x，且点Q在点P的右侧．当时，若线段的“限中距线段”的长度恰好与的值相等，求的中点H所表示的数；
②设点M表示的数为整数m，若线段是线段的“限中距线段”，求整数m的所有可能取值．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据正数大于0，0大于负数，即可作出判断．
【详解】是负数，其他三个数均是非负数，故是最小的数；
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数大小的比较：负数小于一切非负数，明确此性质是关键．
2．B
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据科学记数法的表示形式进行即可．
【详解】解：将136000用科学记数法表示为，
故选D．
3．D
【分析】本题考查了立体图形的展开；根据展开图是一个扇形与圆知，该几何体是圆锥．
【详解】解：几何体的展开图是扇形与圆，可知该几何体是圆锥；
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的项和次数的定义，同类项的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得答案．
【详解】解：A、单项式的系数是，原说法错误，不符合题意；
B、单项式的系数是，原说法错误，不符合题意；
C、多项式是三次三项式，原说法正确，符合题意；
D、与不是同类项，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
故选；B．
6．A
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程；由题意，把解代入方程中，解方程即可求得a的值．
【详解】解：由于是关于x的方程的解，
∴，
解得：；
故选：A．
7．D
【分析】本题主要考查了方位角的计算，先求出，再由角平分线的定义得到，则，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴的方向是北偏东；
故选：D
8．A
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据共换了5斗酒，其中清酒x斗，则可得到醑酒斗，再根据一共有30斗谷子列出方程即可．
【详解】解：设清酒x斗，则醑酒斗，
由题意可得：，
故选：A．
9．D
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再把所求式子先去括号，然后合并同类项化简，最后利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故选：D．
10．B
【分析】此题考查了平面镶嵌（密铺），规律型：图形的变化等知识，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．
【详解】解：第1层包括6个正三角形，
第2层包括18个正三角形，
…，
每一层比上一层多12个，
第n层中含有正三角形个数是，
第60层中含有正三角形个数为
故选：B．
11． 1 16 12
【分析】本题考查了有理数的加、减、乘、除及乘方运算、绝对值的计算等知识，属于基础题目；
（1）利用有理数减法法则计算即可；
（2）利用有理数加法法则计算即可；
（3）利用两个数的有理数乘法法则计算即可；
（4）利用有理数除法法则计算即可；
（5）先乘方，再计算除法即可；
（6）先分别计算乘方与绝对值，再计算加法即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：1；
（3），
故答案为：16；
（4），
故答案为：；
（5），
故答案为：；
（6），
故答案为：12．
12．8
【分析】本题考查两点间距离、线段的和差定义等知识．根据，只要求出即可．
【详解】解：∵，M为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：8
13．
【分析】本题考查了补角的定义，根据两锐角和为的角互补解答即可得出答案．
【详解】，
它的补角为
故答案为：，．
14．（答案不唯一）
【分析】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系．先判断的范围，再确定符合条件的数即可．
【详解】解：，
结合数轴，a的值可以是（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
15．(n+1)2-n2=2n+1
【分析】根据题意，分析可得进而发现规律，用n表示即可得出答案．
【详解】解：根据题意，分析可得
若字母n表示自然数，则有：(n+1)2-n2= n+ n+1=2n+1.
故答案为：(n+1)2-n2=2n+1．
【点睛】本题考查数字类规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
16．0
【分析】根据周长的计算公式，列式子计算解答．
【详解】解：由题意知：图（1）中阴影部分的周长，
因为四边形是长方形，
所以，
图（1）中阴影部分的周长，
同理，图（2）中阴影部分的周长，
故图（1）与图（2）中阴影部分的周长的差为0．
故答案为：0．
【点睛】此题主要考查了整式的加减，掌握整式的加减的法则是解题的关键．
17．(1)0
(2)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算：
（1）先计算乘方，再计算除法，然后计算加法，即可求解；
（2）利用有理数乘法运算律计算，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
18．(1)
(2)
【分析】此题主要考查解一元一次方程：
（1）先移项，再合并同类项，系数化为1，即可求解；
（2）根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解．
【详解】（1）解：
移项得：，
合并同类项得：，
解得：；
（2）解：
去分母得：．
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
19．
【分析】本题考查了整式加减中的化简求值；先去括号，再合并同类项，得到化简后的整式；最后代值计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
20．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设A港和B港相距xkm，依据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设A港和B港相距xkm，依据题意得：
，
解得：．
答：A港和B港相距．
21．(1)；；；同角的余角相等；
(2)射线平分．
【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的性质等知识；
（1）由题意补全图形，读懂推理过程即可完成；
（2）由题意补全图形，由，，可得；结合已知即可得，从而确定结果．
【详解】（1）解：补全的图形如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．（同角的余角相等）
∴平分．
故答案为：；；；同角的余角相等．
（2）解：补全的图形如下；
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴平分．
故答案为：射线平分．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值，整式加减运算，列代数式是解题的关键．
（1）用正方形面积减去两个直角三角形的面积，减去一个长方形的面积，即得图中“囧”的面积S；再把代入所得代数式中即可求值；
（2）用正方形面积减去两个直角三角形的面积，减去一个长方形的面积，即得图中“囧”的面积S；再化简代数式，并把S的表达式代入，根据题意即可完成．
【详解】（1）解：；
当时，；
（2）解：，
又，
∴；
∵的值与x，y无关，
即的值与x，y无关，
∴，
解得：．
23．(1)99乘原数的百位上的数与个位上的数的差
(2)张同学的猜想正确，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了数字类规律、整式加减的应用
（1）根据给出的式子找到规律即可得出答案；
（2）设一个三位正整数的百位上的数为a，十位上的数为b，个位上的数为c，分别表示出该三位正整数和新三位正整数，再用原数减去新数，化简可得；
（3）求出原数与所得数的差即可求解．
【详解】（1），
，
，
，
，……
原数与所得数的差等于99乘原数的百位上的数与个位上的数的差；
（2）张同学的猜想正确
证明：设一个三位正整数的百位上的数为a，十位上的数为b，个位上的数为c，则该三位正整数为，新三位正整数为，
张同学的猜想是正确的；
（3）解：原数与所得数的差
故答案为：．
24．(1)①；；②猜想，理由见解析
(2)①，理由见解析；②3或21
【分析】此题考查了三角板中角度的技术，解答本题的关键是仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系．
（）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出，的度数；②根据前两个小问题的结论猜想与的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明；
（）①根据（）解决思路确定与的大小并证明即可；②分点G在上方和下方两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴
故答案为：；；
②猜想，理由如下：
∵，，
∴，，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵，
∴
；
②如图所示，当点G在上方时，
∵，
∴，
∴由（3）①的结论可知，，
∴，
∴；
如图所示，当点G在下方时，则在的基础上再旋转180度时，，
∴；
综上所述，t的值为3或21．
25．(1)①，；②或
(2)①；②
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键．
（1）①根据“数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为．”即可求解；②根据动点的运动初始位置、运动方向和运动速度即可求解；
（2）①由题意得点P表示的数是：、的中点H所表示的数为：，根据“线段的“限中距线段”的长度恰好与的值相等”即可求出，即可求解；②分类讨论（i）当（ii）当（iii）当时即可求解．
【详解】（1）解：①∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为．
∴数轴上点B表示数是：；
∵动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数是：，
故答案为：，
②由题意得：点Q表示的数是：，
∴点P，Q两点之间的距离为：
令，
解得：或
（2）解：①由题意得：点P表示的数是：；
∵点Q表示的数为x，且点Q在点P的右侧．
∴，的中点H所表示的数为：
∵
∴
∴
∵的长度恰好与的值相等，
∴，
即：
∴
∴的中点H所表示的数为：；
②设线段的中点为H，
由题意得H所表示的数为：
（i）当，即时：
有：，
解得：；
∴整数m可取：
（ii）当，即时：
有：，
解得：；
∴整数m可取：
（iii）当时：
点H在线段上，满足题意
综上所述：整数m可取：
