第2章 三角恒等变换 检测试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2．的值为（ ）
A．0 B．
C． D．
3．（ ）
A． B． C． D．2
4．下面利用两角差的余弦公式化简，其中错误的是（ ）
A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B．cos 75°＝cos 45°cos（－30°）＋sin 45°sin（－30°）
C．sin（α＋45°）sin α＋cos（α＋45°）cos α＝cos 45°
D．cos（α－）＝cos α＋sin α
5．把函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，若为偶函数，则在上的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的最小正周期和最小值分别是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
二、多选题
7．在斜中，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若是锐角三角形，则
D．
8．若，则的值可能为（ ）
A．2 B．3 C． D．
三、填空题
9．若，则
10．对任意实数且，函数的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则 .
11．已知，则的值是 .
12．已知函数，若实数满足对任意实数恒成立，则 .
四、解答题
13．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)求函数的最大值与最小值．
14．利用公式，证明：
(1)；
(2)．
15．已知为锐角，.
(1)求的值；
(2)求的值.
16．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
参考答案：
1．A
【分析】利用两角和与差的正弦公式变形得，然后由诱导公式与二倍角公式计算．
【详解】由已知，
，
故选：A．
2．B
【分析】逆用两角和差的余弦公式，再根据特殊角计算即可.
【详解】原式
故选：B.
3．A
【分析】根据，结合两角差的正弦公式计算即可.
【详解】
.
故选：A.
4．D
【分析】根据差角余弦公式，结合各项等式两边判断是否正确利用两角差的余弦公式化简即可.
【详解】A、B、C：利用差角余弦公式可得；
D：cos（α－）＝cos α＋sin α，错误.
故选：D
5．A
【分析】根据三角函数图象变换以及三角函数的奇偶性求得，根据三角恒等变换以及三角函数值域的知识求得正确答案.
【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到，
由于是偶函数，所以，
由于，所以，
所以，
由于，所以，所以.
故选：A
【点睛】求解三角函数图象变换有关的题目，关键点有两个，一个是“左加右减”的理解，另一个是的影响.求解三角函数值域有关的题目，需要先按照三角恒等变换的公式进行化简，然后再根据角的范围求得相应的值域.
6．C
【分析】先把三角函数化简为（）形式，最小正周期，再根据三角函数有界性求最小值即可.
【详解】，则的最小正周期，
当，即时，取到最小值为.
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数，考查数学运算的核心素养.
7．ACD
【分析】A选项通过正弦定理判断即可；B选项利用余弦函数在上单减即可判断；C选项通过判断；
D选项通过进行判断.
【详解】A选项：若，由正弦定理知，故，A正确；
B选项：若，由余弦函数在上单减，则，B错误；
C选项：是锐角三角形，则，，C正确；
D选项：，，化简得，D正确.
故选：ACD.
8．BD
【分析】先利用正弦二倍角、余弦二倍角公式，以及“1”代换成平方关系式，进行变形计算得出结果.
【详解】因为，所以，
整理得，
则，解得或．
故选：BD.
9．-7
【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简条件，得，计算的值.
【详解】由，
得，即，
所以，，所以，
得，
故答案为：-7.
10．/
【分析】函数过定点得到，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】函数的图象经过定点，点P在角θ的终边上，故，
.
故答案为：
11．/0.64
【分析】利用二倍角的正、余弦公式即可得到答案.
【详解】由题得，则，
两边同时平方可得，故.
故答案为：.
12．//
【分析】化简得到，根据中心对称得到恒成立，对比等式得到，，且，代入计算得到，得到答案.
【详解】，
，取，函数关于点对称，其中满足，，
故恒成立，又恒成立，
故，，且恒成立，即，
代入整理得到：恒成立，
当，时成立，即，，此时，
故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了三角恒等变换，恒成立问题，函数的中心对称的性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据中心对称得到恒成立是解题的关键.
13．(1)
(2)
(3)最大值为，最小值为.
【分析】（1）观察图象知函数最小正周期为，为函数单调递减区间上的零点，且过(0，1)点，分别求出的值；
（2）由（1）中，代入并化简求得解析式，再由复合函数单调性列不等式求出单调增区间即可.
（3）由（1）中，代入并化简求得解析式，化简为关于sinx的二次函数求最值.
【详解】（1）解：由图知：
的最小正周期为，
故，所以，
又为单调递减区间上的零点，
故，又解得：.
又图象过(0，1)点，所以，解得.
所以函数的解析式为：.
（2）由（1）知
令
解得：
故函数的单调递增区间为：
（3）
当时，最小值为；
当时，最大值为；
故：最大值为，最小值为.
14．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据证明；
（2）根据证明.
【详解】（1）由，可得：
.
（2）由，可得：
.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角的余弦公式结合商数关系及化弦为切即可得解；
（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根据平方关系及商数关系求出，再根据利用两角差的正切公式即可得解.
【详解】（1）；
（2）由，得，
因为为锐角，所以，则，
又因，所以，
所以，
所以，
则.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用正切和角公式求出答案；
（2）利用二倍角公式得到齐次式，再化弦为切，代入求值即可.
【详解】（1）；
（2）
.
