第一章平面向量 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若非零向量，满足，则，的夹角是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是两个互相垂直的单位向量，且，，则对任意的正实数的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．已知ABC中，AD为∠BAC的角平分线，与BC交于点D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则AD＝（ ）
A． B． C． D．
4．在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且，，则（ ）
A． B． C． D．
5．中，，，是角，，的对边，，其外接圆半径，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
6．已知非零向量与满足，且，则向量与的夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．在中，在线段上，且，若，，则（ ）
A． B．的面积为8
C．的周长为 D．为钝角三角形
8．设向量，满足且，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．在上的投影的数量为
C．，使得成立
D．当时，与的夹角为锐角
三、填空题
9．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.在点测得塔顶的仰角，且，则塔高为
10．已知向量，且，则等于 ．
11．已知中，若向量，，则= .
12．已知的面积为24，点D，E分别在边BC，AC上，且满足，，连接AD，BE交于点，则的面积为 ．
四、解答题
13．如图所示，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.
14．已知为原点，，，，∥，又，求的坐标.
15．记的内角，，的对边分别为，，，已知，
(1)若，求的值；
(2)若，内切圆的面积为，求的面积．
16．从①，②，③的周长为6，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面的问题．
在锐角中，已知，______，求面积的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】由两边平方，得到，再根据平面向量数量积的定义得到，可求出夹角.
【详解】因为，
所以，所以，
所以，所以，
因为，所以
所以与的夹角为．
故选：C
2．B
【分析】根据给定条件利用向量模的计算公式得出关于t的函数，再借助均值不等式求解即得.
【详解】因，是两个互相垂直的单位向量，则，
，
当且仅当，即时取等号，则
所以当时，的最小值是.
故选：B
3．D
【分析】由三边关系可判断出ABC为直角三角形，根据三角形内角平分线定理将、长度计算出来，再根据余弦定理即可求出AD.
【详解】∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，满足，∴，故，
∵AD是∠BAC的角平分线，∴，∴，
在ABD中，由余弦定理，
得，
解得或者（舍去），
故选：D．
4．D
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合三角形内角和定理计算作答.
【详解】在中，因，则，由正弦定理及得：，
所以.
故选：D
5．A
【分析】由已知可得，，进而可得，，可求．
【详解】由正弦定理得，即，，，
又，则，
则，即，得①，
因为，则，
则，即②，
结合①②解得，，
则，，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属中档题．
6．B
【分析】根据题意，对平方，结合，即可求出向量，的夹角的余弦值.
【详解】因为，所以，
∴，
所以，又，
所以，所以与的夹角的余弦值为.
故选：B.
7．BCD
【分析】设，在中，由余弦定理可得，利用平方关系可判A；由正弦定理得，利用面积公式求出的面积可判断B；由余弦定理求出可得的周长可判断C；由余弦定理可判断D.
【详解】设，在中，
由余弦定理可得，
可得，解得(负值舍去)，所以，
对于A，因为，所以，
，故A错误；
对于B，在中，由正弦定理得，即，
可得，所以的面积为，故B正确；
对于C，因为，所以为钝角，
可得，
在中，由余弦定理可得，
所以，所以的周长为，故C正确；
对于D，在中，，由余弦定理可得，
所以为钝角三角形，故D正确.
故选：BCD.
8．AB
【分析】根据条件可得，结合向量模的运算即可判断A；根据向量投影的计算公式可判断B；求出的最小值可判断C；找特例可判断D.
【详解】因为且，
所以，所以，
所以，故A正确；
在上的投影的数量为：，故B正确；
因为，
所以，即不存在，使得，故C错误；
当时，，此时与的夹角为0，不是锐角，故D错误.
故选：AB
9．
【分析】中求出，利用正弦定理求得，再根据直角三角形的边角关系得出的值．
【详解】在中，，
由正弦定理得，，
解得，
在中，，所以，所以塔高为．
故答案为：．
10．
【分析】根据向量平行得到，结合，，求出.
【详解】由得：，
因为，
所以，
联立方程组，
解得:=.
故答案为：
11．-2
【分析】利用向量的坐标运算法则，计算出，再利用数量积的坐标运算公式其中，，即可计算出结论.
【详解】，
故答案为： .
12．4
【分析】根据平面向量的线性运算，结合三点共线的结论，即可由比例得面积关系.
【详解】由，得,
设,所以,
由于三点共线，所以，
所以，
由可得,所以,
由得.
故答案为：4
13．
【分析】结合余弦定理以及解直角三角形来求得.
【详解】设 在中，，则，
在中，，则，
在，由余弦定理可得 ,
即，
所以 ，解得（负根舍去），
即塔高.
14．
【分析】令，根据已知条件可得且，再结合向量共线定理列方程求出，最后根据线性关系的坐标运算求的坐标.
【详解】若，由，则，而，
由∥，故，结合，解得，则，
因为，则.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理得，求得，再根据两角和的正切公式进行求解；
（2）根据三角形面积公式及余弦定理得，进而求得，从而求出的面积.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，
在中，因为，所以有，
因为，所以，
所以.
（2）内切圆的面积为，所以内切圆半径，
又，则有.
由余弦定理得
，
所以，解得或（舍），
所以，
则.
16．答案见解析
【分析】设的内角的对边分别为，
选择①：由正弦定理得到，得到，根据题意求得，结合三角函数的性质，即可求解；
选择②：由正弦定理求得，化简得到，根据题意求得，进而求得的面积的取值范围；
选择③：依题意，由余弦定理和，求得，结合海伦公式，即可求解.
【详解】设的内角的对边分别为，
选择①：由正弦定理，可得，，
且,
因此，的面积为
，
又由且，故，
因为，可得，
所以的面积的取值范围为．
选择②：由正弦定理，可得，
且，
因此的面积为，
又且，故，
因为当时，可得，
所以的面积的取值范围为．
选择③：依题意，由余弦定理，可得
将代入，可得，
又的半周长为，故的面积为
，
所以的面积的取值范围为．
