第12讲 导数的概念及运算
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义．
2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2022年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.
【核心知识】
【重点知识梳理】
知识点1．导数的概念
(1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li ＝li 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝li ＝li 。
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)。
【特别提醒】曲线y＝fx在点Px0，y0处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′x0的切线，是唯一的一条切线。
(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝li 为f(x)的导函数。
(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0。
知识点2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
知识点3.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0).
知识点4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。
【高频考点】
高频考点一 导数的运算
【例1】(2020·全国卷Ⅲ)设函数f (x)＝.若f ′(1)＝，则a＝________.
【方法技巧】
1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．
2．常见形式及具体求导6种方法
连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式 先化为和、差形式，再求导
复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
【变式探究】 （2023·天津卷)已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________.
高频考点二 求切线方程
例2. （2023·新课标Ⅰ）函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【方法技巧】
1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.
2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。
【举一反三】(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
【变式探究】已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．
高频考点三 求切点坐标
例3.（2023·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
【变式探究】设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．
【方法技巧】求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是，先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标．将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
【变式探究】设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为( )
A．(0,0) B．(1，－1)
C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1)
高频考点四 求参数的值或取值范围
例4.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
【方法技巧】利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线y＝f (x)上．
【变式探究】若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
第12讲 导数的概念及运算
【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析
【课标解读】
1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义．
2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．
【备考策略】
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2022年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.
【核心知识】
【重点知识梳理】
知识点1．导数的概念
(1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li ＝li 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝li ＝li 。
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)。
【特别提醒】曲线y＝fx在点Px0，y0处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′x0的切线，是唯一的一条切线。
(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝li 为f(x)的导函数。
(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0。
知识点2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
知识点3.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0).
知识点4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。
【高频考点】
高频考点一 导数的运算
【例1】(2020·全国卷Ⅲ)设函数f (x)＝.若f ′(1)＝，则a＝________.
【答案】1
【解析】f ′(x)＝，则f ′(1)＝＝，解得a＝1.
【方法技巧】
1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．
2．常见形式及具体求导6种方法
连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式 先化为和、差形式，再求导
复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
【变式探究】 （2023·天津卷)已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________.
【答案】e
【解析】由题意得f′(x)＝exln x＋ex·，则f′(1)＝e.
高频考点二 求切线方程
例2. （2023·新课标Ⅰ）函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为f (x)＝x4－2x3，所以f ′(x)＝4x3－6x2，f (1)＝－1.所以f ′(1)＝－2.
因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，
即y＝－2x＋1.
【方法技巧】
1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.
2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。
【举一反三】(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
【答案】y＝3x
【解析】y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.
【变式探究】已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．
【答案】y＝x－1
【解析】因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
所以设切点为(x0，y0)．
又因为f′(x)＝1＋ln x，
所以
解得x0＝1，y0＝0.
所以切点为(1，0)，所以f′(1)＝1＋ln 1＝1.
所以直线l的方程为y＝x－1.
高频考点三 求切点坐标
例3.（2023·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
【答案】.
【解析】设点，则.又，
当时，，
点A在曲线上的切线为，
即，
代入点，得，
即，
考查函数，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为.
【变式探究】设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．
【答案】(1,1)
【解析】因为函数y＝ex的导函数为y′＝ex，
所以曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.
设P(x0，y0)(x0>0)，
因为函数y＝的导函数为y′＝－，
所以曲线y＝(x>0)在点P处的切线的斜率k2＝－.
由题意知k1k2＝－1，即1×＝－1，
解得x＝1.又x0>0，所以x0＝1.
因为点P在曲线y＝(x>0)上，
所以y0＝1.故点P的坐标为(1,1)．
【方法技巧】求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是，先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标．将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
【变式探究】设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为( )
A．(0,0) B．(1，－1)
C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1)
【答案】D
【解析】f′(x)＝(x3＋ax2)′＝3x2＋2ax，
由题意得f′(x0)＝－1，x0＋f(x0)＝0，
所以
由①知x0≠0，故②可化为1＋x＋ax0＝0，所以ax0＝－1－x代入①得3x＋2(－1－x)＝－1，即x＝1，
解得x0＝±1.
当x0＝1时，a＝－2，f(x0)＝x＋ax＝－1；
当x0＝－1时，a＝2，f(x0)＝x＋ax＝1，
所以点P的坐标为(1，－1)或(－1,1)．
高频考点四 求参数的值或取值范围
例4.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
【答案】D
【解析】因为y′＝aex＋ln x＋1，
所以切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1＝2.
所以a＝e－1.所以切点坐标为(1,1)．
将(1,1)代入y＝2x＋b，得2＋b＝1，b＝－1.
故选D．
【方法技巧】利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线y＝f (x)上．
【变式探究】若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
【答案】D
【解析】f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．第12讲 导数的概念及运算
【练基础】
1．函数y＝x2cos x在x＝1处的导数是( )
A．0 B．2cos 1－sin 1
C．cos 1－sin 1 D．1
2．函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为( )
A. B．1
C. D．2
4．已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．0
A．－1 B．0
C．2 D．4
6．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)＝( )
A．－sinx－cosx B．sinx－cosx
C．－sinx＋cosx D．sinx＋cosx
7．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
8．若曲线y＝的一条切线经过点(8,3)，则此切线的斜率为( )
A. B.
C.或 D.或
9．已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为________．
10．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
【练提升】
1．若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
A. B．[－，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
2．已知函数f(x)＝＋x3＋sinx，其导函数为f′(x)，则f(2020)＋f′(2020)＋f(－2020)－f′(－2020)的值为( )
A．4040 B．4
C．2 D．0
3．已知函数y＝x2的图象在点(x0，x)处的切线为l，若l也与函数y＝ln x，x∈(0，1)的图象相切，则x0必满足( )
A．0＜x0＜ B.＜x0＜1
C.＜x0＜ D.＜x0＜
4．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( )
A．1 B.
C. D.
5．已知函数f(x)＝g(x)＝kx－1，f(x)的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝－1的对称点在g(x)的图象上，则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6．已知函数f(x)＝aex＋x2，g(x)＝cos (πx)＋bx，直线l与曲线y＝f(x)切于点(0，f(0))，且与曲线y＝g(x)切于点(1，g(1))，则a＋b＝________，直线l的方程为________．
7．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
8．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
9．已知函数f(x)＝x2－ln x.
(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)在函数f(x)＝x2－ln x的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
第12讲 导数的概念及运算
【练基础】
1．函数y＝x2cos x在x＝1处的导数是( )
A．0 B．2cos 1－sin 1
C．cos 1－sin 1 D．1
【答案】B
【解析】因为y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2·(cos x)′＝2xcos x－x2sin x，所以y′|x＝1＝2cos 1－sin 1.
2．函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】由条件知f′(5)＝－1，又在点P处的切线方程为y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－x＋5＋f(5)，即y＝－x＋8，∴5＋f(5)＝8，∴f(5)＝3，∴f(5)＋f′(5)＝2.
3．已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为( )
A. B．1
C. D．2
【答案】B
【解析】因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，
所以f′(x)＝2x＋2，
所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，
因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，
所以f′(x1)f′(x2)＝－1.
所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，
所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，
所以x2－x1＝[－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，
即x1＝－，x2＝－时等号成立．
所以x2－x1的最小值为1.故选B.
4．已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．0
【解析】f′(2)，f′(3)表示曲线y＝f(x)在点A，B处切线的斜率，又f(3)－f(2)＝表示直线AB的斜率．所以0
A．－1 B．0
C．2 D．4
【答案】B
【解析】由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.
6．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)＝( )
A．－sinx－cosx B．sinx－cosx
C．－sinx＋cosx D．sinx＋cosx
【答案】C
【解析】∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2022(x)＝f2(x)＝cosx－sinx.
7．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为定义域为(0，＋∞)，令y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1，1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝＝.
8．若曲线y＝的一条切线经过点(8,3)，则此切线的斜率为( )
A. B.
C.或 D.或
【答案】C
【解析】由题意，可设切点坐标为(x0，)，由y＝＝x，得y′＝，切线斜率k＝，由点斜式可得切线方程为y－＝(x－x0)，又切线过点(8,3)，所以3－＝(8－x0)，整理得x0－6＋8＝0，解得＝4或2，所以切线斜率k＝或.故选C.
9．已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为________．
【解析】设切点为(m，n)(m＞0)，y＝x2－3ln x的导数为y′＝x－，可得切线的斜率为m－＝－，解方程可得，m＝2.
【答案】2
10．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
【答案】0
【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.∵g(x)＝xf(x)，
∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×＝0.
【练提升】
1．若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
A. B．[－，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
【答案】D
【解析】f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.
2．已知函数f(x)＝＋x3＋sinx，其导函数为f′(x)，则f(2020)＋f′(2020)＋f(－2020)－f′(－2020)的值为( )
A．4040 B．4
C．2 D．0
【答案】B
【解析】函数f(x)＝＋x3＋sinx f(x)＋f(－x)＝＋＝4，因为f′(x)＝－＋3x2＋cosx为偶函数，所以f′(x)－f′(－x)＝0，所以f(2020)＋f′(2020)＋f(－2020)－f′(－2020)＝4.
3．已知函数y＝x2的图象在点(x0，x)处的切线为l，若l也与函数y＝ln x，x∈(0，1)的图象相切，则x0必满足( )
A．0＜x0＜ B.＜x0＜1
C.＜x0＜ D.＜x0＜
【答案】D
【解析】令f(x)＝x2，f′(x)＝2x，f(x0)＝x，所以直线l的方程为y＝2x0(x－x0)＋x＝2x0x－x，因为l也与函数y＝ln x(x∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x1，ln x1)，y′＝，所以l的方程为y＝x＋ln x1－1，这样有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x0＝\f(1,x1)，,1－ln x1＝x，))所以1＋ln(2x0)＝x，x0∈(1，＋∞)，令g(x)＝x2－ln(2x)－1，x∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x0，又因为g′(x)＝2x－＝，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－ln 2＜0，g()＝1－ln 2＜0，g()＝2－ln 2＞0，从而＜x0＜，选D.
4．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( )
A．1 B.
C. D.
【答案】B
【解析】设P(x0，y0)，当点P处的切线与直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小．又y′＝2x－，则y′x＝x0＝2x0－＝1，解得x0＝1或x0＝－(舍去)，则y0＝1，即P(1,1)，所以最小距离为＝.
5．已知函数f(x)＝g(x)＝kx－1，f(x)的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝－1的对称点在g(x)的图象上，则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】y＝kx－1关于直线y＝－1的对称直线为y＝mx－1(m＝－k)，先考虑特殊位置：y＝mx－1与y＝x2＋x(x≤0)相切，得Δ＝0 m＝－(舍去正数)，y＝mx－1与y＝xln x－2x(x>0)相切，由导数几何意义得 x＝1，m＝－1，结合图象可知－1
【解析】f′(x)＝aex＋2x，g′(x)＝－πsin (πx)＋b，
f(0)＝a，g(1)＝cos π＋b＝b－1，
f′(0)＝a，g′(1)＝b，
由题意可得f′(0)＝g′(1)，则a＝b，
又f′(0)＝＝a，
即a＝b＝－1，则a＋b＝－2；
所以直线l的方程为x＋y＋1＝0.
【答案】－2 x＋y＋1＝0
7．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
【解析】(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，
于是解得故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋，
知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，
从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
8．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
【解析】(1)由题意得，y′＝－2x＋.设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①
y1＝－x＋x1－4，②
－2x1＋＝k，③
联立①②③得，x1＝2，x2＝－2(舍去)．所以k＝.
(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.④
将④代入抛物线方程得，x2－x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，
所以x2＝，y2＝－4.
所以Q点的坐标为.
9．已知函数f(x)＝x2－ln x.
(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)在函数f(x)＝x2－ln x的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)由题意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－，f′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.
(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2∈，不妨设x1
故存在两点，(1,1)满足题意．
10．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【解析】(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，
因为f′(－1)＝0，
所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.
(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x＋6x0＋12)．
因为g′(x0)＝6x0＋6，
所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，
将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；
当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.
由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，
①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，
解得x＝－1或x＝2.
在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；
在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，
所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.
②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，
解得x＝0或x＝1.
在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；
在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，
所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.
综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.
