【高中数学竞赛真题 强基计划真题考前适应性训练】
专题04 向量 真题专项训练 （全国竞赛+强基计划专用）
一、单选题
1．（2020·北京·高三校考强基计划）在中，．点P满足，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知点是边长为1的正方形所在平面上一点，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·浙江温州·高一统考竞赛）已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2020·北京·高三校考强基计划）设平面向量满足，且，则的（ ）
A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为0 D．最小值为
三、填空题
5．（2021·全国·高三竞赛）已知向量，则的最大值是___________．
6．（2021·全国·高三竞赛）已知两个非零向量满足，则的最大值是_____．
7．（2021·全国·高三竞赛）中，A、B、C的对边分别为a、b、c，O是的外心，点P满足，若，且，则的面积为_________．
8．（2021·全国·高三竞赛）已知平面单位向量，且，记，则y的最大值为________．
9．（2021·全国·高三竞赛）已知点A满足，B、C是单位圆O上的任意两点，则的取值范围是__________．
10．（2020·浙江·高三竞赛）已知，为非零向量，且，则的最大值为__________.
11．（2022春·浙江·高一校联考竞赛）设平面向量，，满足，，，.若，则____________.
12．（2018·河北·高二竞赛）在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=1，动点P在边CD上.设，，则的最大值为________.
13．（2019·河南·高二校联考竞赛）在平面上，，，，若，则的取值范围是________.
14．（2022·浙江·高二竞赛）已知平面向量，，满足，且，则最大值为______.
15．（2022·福建·高二统考竞赛）如图，点M N分别在△ABC的边AB AC上，且，，D为线段BC的中点，G为线段MN与AD的交点.若，则的最小值为___________.
16．（2022·贵州·高二统考竞赛）甲烷分子的四个氢原子位于棱长为1的正四面体的四个顶点，碳原子C位于四面体的中心，记四个氢原子分别为，，，，则_____．
17．（2018·山东·高三竞赛）在中，，的平分线交于，且有．若，则______．
18．（2019·重庆·高三校联考竞赛）已知向量满足，且，若为的夹角，则_______ .
19．（2019·广西·高三校联考竞赛）已知点P(－2，5)在圆上，直线l：与圆C相交于A、B两点，则____________ .
20．（2020春·浙江·高三校联考阶段练习）已知点为所在平面内任意一点，满足，若，，则的取值范围是______.
21．（2021·全国·高三竞赛）如图，在中，是边上一点，且．若点满足与共线，，则的值为_________．
22．（2021·全国·高三竞赛）设P是所在平面内一点，满足，若的面积为1，则的面积为__________.
23．（2021·全国·高三竞赛）已知为三内角，向量.如果当最大时，存在动点，使得成等差数列，则最大值为________.
24．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知向量，，满足，，，且，则最小值为___________.
25．（2021·全国·高三竞赛）已知平面向量 ，满足，若，那么的最小值为___________.
26．（2019·福建·高三校联考竞赛）已知为△ABC的内心，且.记R r分别为△ABC的外接圆 内切圆半径，若，则R=____________ .
27．（2019·贵州·高三校联考竞赛）在△ABC中，.则____________ .
28．（2021·全国·高三竞赛）已知三个非零向量、、，满足（其中为给定的正常数）．则实数t的最小值为___________．
四、解答题
29．（2020·浙江温州·高一统考竞赛）若平面上的点满足．
（1）求的最大值；
（2）设向量,,定义运算．若,求的取值范围．(其中О为坐标原点)
30．（2018·河北·高二竞赛）已知O是的外心，且，求的值.【高中数学竞赛真题 强基计划真题考前适应性训练】
专题04 向量 真题专项训练 （全国竞赛+强基计划专用）
一、单选题
1．（2020·北京·高三校考强基计划）在中，．点P满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABCD
【分析】根据题设条件可得P为的费马点，如图，以为边作等边三角形，可证，故可判断各项的正误.
【详解】根据题意，方向上的单位向量之和为零向量，
因此，进而P为的费马点．
如图，以为边作等边三角形，
则，故四点共圆，
故，故，
故，
同理，，
因此所有选项均正确．
故选：ABCD.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知点是边长为1的正方形所在平面上一点，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】建立直角坐标系，设，根据题中的式子列出方程，由点的几何意义即可求得的最小值.
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，’
设，则，，
，，
由题意知：，
即，
点在以为圆心，半径为的圆上，
又表示圆上的点到的距离，.
故选A.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是数形结合，利用点的几何意义进行解答.
3．（2020·浙江温州·高一统考竞赛）已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意有，
则．
又因为，所以，所以．
故选：C.
二、多选题
4．（2020·北京·高三校考强基计划）设平面向量满足，且，则的（ ）
A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为0 D．最小值为
【答案】AC
【分析】利用柯西不等式可求的最大值，利用特例可求的最小值.
【详解】首先，取，则可以取，因此的最小值为0．
接下来，考虑，
于是，
等号当且时取得，因此所求最大值为．
故选：AC.
三、填空题
5．（2021·全国·高三竞赛）已知向量，则的最大值是___________．
【答案】5
【详解】，当时等号成立
故答案为：5.
6．（2021·全国·高三竞赛）已知两个非零向量满足，则的最大值是_____．
【答案】
【详解】设，则．则：
.
当且仅当，即时，等号成立．即最大值为.
故答案为：.
7．（2021·全国·高三竞赛）中，A、B、C的对边分别为a、b、c，O是的外心，点P满足，若，且，则的面积为_________．
【答案】
【详解】由，得，即．
注意到，所以．
同理，，所以P是的垂心，
，
所以，，
所以．
故答案为：.
8．（2021·全国·高三竞赛）已知平面单位向量，且，记，则y的最大值为________．
【答案】4
【详解】单位向量满足，则有，不妨设四个向量如图所示，分别为，X在单位圆O的上．设，
则有，
故有，即有，
故．
故答案为：4.
9．（2021·全国·高三竞赛）已知点A满足，B、C是单位圆O上的任意两点，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】.
又，取等可以保证，
故所求范围为．
故答案为：.
10．（2020·浙江·高三竞赛）已知，为非零向量，且，则的最大值为__________.
【答案】.
【详解】解法一 设，，则
.
解法二 设，则，且，所以
.
故答案为：.
11．（2022春·浙江·高一校联考竞赛）设平面向量，，满足，，，.若，则____________.
【答案】
【详解】如图所示，作，，，
由题意得，，
设直线OC与直线AB交于点P.因为，
故点P在线段AB上（不含端点），
又，结合等和线性质可知，
作于G，于H，有，，
记，
①当点G在线段AB上时，，
，
由，得，
可解得，进而有，
此时，，.
点为线段AH的中点，在线段AB上，符合题意，
可得，所以.
②当点G在线段AB的反向延长线上时，
同①方法可推得点P与点A重合，矛盾.
综上所述，.
故答案为：.
12．（2018·河北·高二竞赛）在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=1，动点P在边CD上.设，，则的最大值为________.
【答案】-3
【详解】因为，所以问题转化为求的最小值.
由等面积法可得.
所以.
当，即时，所求最大值为-3.
13．（2019·河南·高二校联考竞赛）在平面上，，，，若，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】根据题意,建立平面直角坐标系,设出、、、的坐标,由及可得关于O点坐标的不等式组,结合两点间距离公式即可表示出的取值范围.
【详解】因为,
则为矩形,以所在直线为轴,以为轴建立平面直角坐标系.如下图所示:
设,
则,,,
因为
所以 变形可得
因为,即
由以上两式可得
即
因为,即
所以
则
综上可知
因为
所以,即
故答案为:
【点睛】本题考查了平面向量在坐标系中的综合应用,向量的加法运算与向量的模长,通过建立平面直角坐标系,用坐标研究向量关系是常见方法,属于中档题.
14．（2022·浙江·高二竞赛）已知平面向量，，满足，且，则最大值为______.
【答案】6
【详解】，
当且仅当时取得最大值.
故答案为：6.
15．（2022·福建·高二统考竞赛）如图，点M N分别在△ABC的边AB AC上，且，，D为线段BC的中点，G为线段MN与AD的交点.若，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】依题意有：
，
因为M G N三点共线，所以，所以，
由柯西不等式知，，
所以，当且仅当，即，，时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
16．（2022·贵州·高二统考竞赛）甲烷分子的四个氢原子位于棱长为1的正四面体的四个顶点，碳原子C位于四面体的中心，记四个氢原子分别为，，，，则_____．
【答案】
【详解】在面的射影为，，
则，∴，
又，∴，
即，∴，
∴，
所以，
故答案为：.
17．（2018·山东·高三竞赛）在中，，的平分线交于，且有．若，则______．
【答案】
【详解】过点作交于点，交于点，
由题设，所以，，．
因此，所以，，因此．
所以
．
由此得．
18．（2019·重庆·高三校联考竞赛）已知向量满足，且，若为的夹角，则_______ .
【答案】
【详解】因为，所以，所以.
因为，所以.
又因为k∈Z+，所以k=2，所以.
故答案为：．
19．（2019·广西·高三校联考竞赛）已知点P(－2，5)在圆上，直线l：与圆C相交于A、B两点，则____________ .
【答案】
【详解】由已知求得圆C：(x－1)2+(y－1)2=52到直线l的距离为3，
从而.
所以.
故答案为：．
20．（2020春·浙江·高三校联考阶段练习）已知点为所在平面内任意一点，满足，若，，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】由已知条件变形得到，通过等价变形把表示为的函数，根据的范围即可求出的取值范围.
【详解】解：
，所以
.
.因为，,所以，则的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】本题考查向量的化简变形及函数的值域计算，关键在于向量等式的等价变形，属于中档题.
21．（2021·全国·高三竞赛）如图，在中，是边上一点，且．若点满足与共线，，则的值为_________．
【答案】或
【详解】因为，所以，即．
因为与共线，所以存在实数，使得．
因为，所以，
从而
，
所以．
因为，
所以，
所以
．
因为，所以，即，解得或．
因此或．
故答案为：或.
22．（2021·全国·高三竞赛）设P是所在平面内一点，满足，若的面积为1，则的面积为__________.
【答案】
【详解】因为，所以，
即，
记的中点为M，于是，
因此.
故答案为：.
23．（2021·全国·高三竞赛）已知为三内角，向量.如果当最大时，存在动点，使得成等差数列，则最大值为________.
【答案】
【详解】
，
，
等号成立仅当.
令，因，所以是椭圆上的动点.
故点，设，则：
，
.
当时，.
即.
故答案为：.
24．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知向量，，满足，，，且，则最小值为___________.
【答案】
【详解】依题意得：，
设，所以，
如图将，放入平面直角坐标系，
设，，OC中点为B，
则，，，
画图可知：的终点在以AB为直径的圆上，
可得圆心坐标，，
∴，
故答案为：.
25．（2021·全国·高三竞赛）已知平面向量 ，满足，若，那么的最小值为___________.
【答案】##
【分析】设，则即为点到点（圆上的动点）的距离与到点的距离，利用对称可求其最小值.
【详解】解析：建立直角坐标系.
设，
则
.
问题转化为点到点的距离与到点的距离之和最小，
其中点在直线上运动，
点在圆上运动，
所以.
点O关于直线对称的点为，所以
，
所以，等号可以取到，所以最小值是.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：向量的模的最值问题，可建立平面直角坐标系，将问题转化为动点到几何对象的距离和最值的问题.
26．（2019·福建·高三校联考竞赛）已知为△ABC的内心，且.记R r分别为△ABC的外接圆 内切圆半径，若，则R=____________ .
【答案】32
【详解】解法一：如图，取BC的中点D，
依题意，有.
所以A I D三点共线，AB=AC.由r=ID=15，知IA=24.
作IE⊥AB于E，则IE=ID=15，
.
所以.
又.
所以.
解法二：依题意，有.
由三角形内心的向量表示：若a b c分别为△ABC的内角A B C的对边，I为△ABC的内心，则.
可得，a：b：c=5：4：4，设a=10k，则b=c=8k.
作AD⊥BC于D，则，.
又r=15，，
因此，.
又，所以.
故答案为：32．
27．（2019·贵州·高三校联考竞赛）在△ABC中，.则____________ .
【答案】
【详解】设△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c.
由，知G为△ABC的重心.
又GA⊥GB，所以.
得到.故：
.
故答案为：．
28．（2021·全国·高三竞赛）已知三个非零向量、、，满足（其中为给定的正常数）．则实数t的最小值为___________．
【答案】
【分析】应用及求和的轮换关系得到，再分类讨论即可得解.
【详解】，
所以．故．
假设，则．
故，
所以，
这与、为非零向量矛盾．从而．
又，所以，当两两同向且模均为时等号成立．
故．
故答案为：
四、解答题
29．（2020·浙江温州·高一统考竞赛）若平面上的点满足．
（1）求的最大值；
（2）设向量,,定义运算．若,求的取值范围．(其中О为坐标原点)
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）因为,
等号当且仅当向量与反向共线时成立,所以的最大值为．
（2）由于,所以点在以为圆心,为半径的圆上．
又因为,所以为圆的直径,则点C为A1A3的中点．
所以①
因为点为的中点,所以,,
代入式①可得原式=
②
因为,所以,
可得,
再代入式②可化简为：,且．
设,,
则．
故．
30．（2018·河北·高二竞赛）已知O是的外心，且，求的值.
【答案】
【详解】设的外接圆半径r=1，由已知得，两边平方得
同理可得，
所以
故有
所以
