2023~2024学年度第一学期期末抽测
高一年级数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知扇形的半径为，弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（ ）
A 1 B. 2 C. 4 D. 8
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
6. 2023年12月30日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭成功发射卫星互联网技术试验卫星. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是（是参数）. 当时，大约为（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若，，，则（ ）
A. B.
C D.
8. 已知函数，且关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为第三象限角
B. 函数的定义域是
C. 函数的图象恒过点
D. 与角终边相同角的集合可以表示为
11. 如图，函数部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，则（ ）
A. 点的纵坐标为1
B. 在上单调递增
C. 点是图象的一个对称中心
D. 的图象可由的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度得到
12. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A. 4为的一个周期
B.
C. 由可知，
D. 函数的所有零点之和为0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 写出一个同时满足下列条件①②的幂函数的解析式：______.
①在上单调递增；②.
14. 若在上是增函数，则实数的取值范围是______.
15. 若，，则的值为______.
16. 已知函数，若恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）求的真子集；
（2）若______，求实数的取值集合.
从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答.
①“”是“”的充分条件；②.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 已知.
（1）若是第一象限角，求的值；
（2）求的值.
19. 中国茶文化博大精深，有十大名茶，如西湖龙井、黄山毛峰等. 某地有一茶山，前三次采茶量分别为1000斤、1200斤、1300斤. 为了估测以后每次的采茶量，以这三次的采茶量为依据，用一个函数模拟该茶山的单次产量（单位：斤）与次数的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（，，为常数）. 已知第4次的产量为1360斤. 问：用以上哪个函数模拟较好？为什么？
20. 已知函数，用“五点法”画一个周期的图象，列表如下：
0
3
（1）求解析式，并求当时，的值域；
（2）若，求的值.
21. 已知函数.
（1）证明：是奇函数；
（2）判断的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意的，都有，求实数的取值范围.
22. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.
（1）判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；
（2）若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；
（3）设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解.
2023~2024学年度第一学期期末抽测
高一年级数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.
【详解】由，
因此，
故选：B
2. 已知扇形的半径为，弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形的弧长和面积公式计算即可.
【详解】设扇形的弧长为弧度，
则，解得，
所以该扇形的面积为.
故选：C.
3. 若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据特称命题与全称命题的真假性质，结合一元二次不等式的解集的性质进行求解即可.
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以命题“，”是真命题，
因此有，所以实数的最小值为，
故选：C
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用反例或者函数单调性可得答案.
【详解】对于A，例如，满足，但是不满足，A不正确；
对于B，例如，满足，但是不满足，B不正确；
对于C，例如，满足，但是不满足，C不正确；
对于D，因为为增函数，所以，D正确.
故选：D
5. 若，则（ ）
A 4 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据诱导公式可得，代入原式，化简即可求解.
【详解】由题意知，，
所以
.
故选：A
6. 2023年12月30日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭成功发射卫星互联网技术试验卫星. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是（是参数）. 当时，大约为（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用，计算出答案.
【详解】由于5000远大于1，
故
，
因为，所以.
故选：B
7. 已知函数，若，，，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性和在上的单调性，再根据诱导公式结合正切函数的单调性即可得解.
【详解】，定义域为，
因为，所以函数为偶函数，
令，其在上单调递增，
又在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
令在上单调递增，
当时，，
当且仅当，即时，取等号，
所以
由对勾函数的性质可得函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
，
，
，
因为，
所以.
故选：A.
8. 已知函数，且关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，作出函数的图象，则化为，从而关于的方程的两根分别位于和上，进而可得出答案.
【详解】令，则，
如图，作出函数的图象，
由，
得，且，则，
故，
即，
因为关于的方程有三个不同的实数解，
所以关于的方程的两根分别位于和上，
令，
当，即或时，
若，则，解得，不符题意，
若，则，解得或，不符题意，
所以，
则，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：将所求转化为关于的方程的两根分别位于和上，是解决本题的关键.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式的性质，结合特例法、作差比较法逐一判断即可.
【详解】A：由，因此本选项说法正确；
B：由不等式性质可知由，，因此本选项说法正确；
C：若，，显然，成立，但是不成立，因此本选项说法不正确；
D：因为，，
所以，因此本选项说法正确，
故选：ABD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为第三象限角
B. 函数的定义域是
C. 函数的图象恒过点
D. 与角终边相同的角的集合可以表示为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据象限角的定义即可判断A；根据对数的真数大于零且分母不等于零，即可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；根据终边相同的角的定义即可判断D.
【详解】对于A，因为，所以为第三象限角，故A正确；
对于B，由函数，得，解得且，
所以函数的定义域是，故B错误；
对于C，令，得，则，
所以函数的图象恒过点，故C正确；
对于D，，
所以与角终边相同的角的集合可以表示为，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，则（ ）
A. 点的纵坐标为1
B. 在上单调递增
C. 点是图象的一个对称中心
D. 的图象可由的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度得到
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，求出的最小正周期，得到，由三角形面积公式得到，求出点的纵坐标；B选项，根据点的坐标求出，求出，整体法判断出函数在上不单调；C选项，整体法求出为函数的对称中心；D选项，根据伸缩变换和平移变换得到答案.
【详解】A选项，由题意得的最小正周期为，即，
又，故，解得，
故点的纵坐标为1，A正确；
B选项，中，令得，
故，解得，
又，求出，
故，
当时，，
由于在上不单调递增，故B错误；
C选项，令，解得，
当时，，
故点是图象的一个对称中心，C正确；
D选项，的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
得到，再将得到的图象向左平移个单位，得到，D错误.
故选：AC
12. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A. 4为的一个周期
B.
C. 由可知，
D. 函数的所有零点之和为0
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意可得，，则，从而可判断函数的周期性，即可判断A；求出，再根据周期性即可判断B；根据函数的周期性即可判断C；判断处函数的奇偶性，即可判断D.
【详解】因为为奇函数，
所以，即，
因为为偶函数，
所以，所以，
即，
所以，
所以4为的一个周期，故A正确；
因为，所以，
所以，
又因，所以，
所以，故B正确；
因为，所以，
因为4为的一个周期，所以，
则，所以，故C错误；
因为，所以，，
又因为，所以，
所以函数为偶函数，
令，得，
令，定义域为关于原点对称，
因为，所以函数为偶函数，
所以函数得交点关于轴对称，
所以函数的所有零点之和为0，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 写出一个同时满足下列条件①②的幂函数的解析式：______.
①在上单调递增；②.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用幂函数的定义及性质求解.
【详解】设，因为在上单调递增，所以；
因为，所以，所以的值可以为2,3,4.
故答案为：（答案不唯一满足即可）
14. 若在上是增函数，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性和一次函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为在上是增函数，
所以有，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
15. 若，，则的值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】由
，
因此，
于是，
故答案为：
16. 已知函数，若恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】综合应用三角函数的图象与性质即可求得答案.
【详解】若恒成立，则，
所以，即，又在区间上单调递增，
所以，故，，
解得，令得，又，所以，
令得；当时，，不合题意；
综上可得或.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）求的真子集；
（2）若______，求实数的取值集合.
从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答.
①“”是“”的充分条件；②.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先求出集合，再根据真子集的定义即可得解；
（2）选①，由“”是“”的充分条件，可得，再分两种情况讨论即可.
选②，由，可得，再分两种情况讨论即可.
【小问1详解】
，
所以集合的真子集有；
【小问2详解】
选①，因为“”是“”的充分条件，
所以，
当时，，符合题意，
当时，，
因为，所以或，所以或，
综上所述，实数的取值集合为.
选②，因为，所以，
当时，，符合题意，
当时，，
因为，所以或，所以或，
综上所述，实数的取值集合为.
18. 已知.
（1）若是第一象限角，求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简，再利用平方关系和商关系可求的值；
（2）先利用诱导公式化简，再利用齐次式和正切值可得答案.
【小问1详解】
因为，
所以，又，所以，
因为是第一象限角，所以.
【小问2详解】
.
19. 中国茶文化博大精深，有十大名茶，如西湖龙井、黄山毛峰等. 某地有一茶山，前三次采茶量分别为1000斤、1200斤、1300斤. 为了估测以后每次的采茶量，以这三次的采茶量为依据，用一个函数模拟该茶山的单次产量（单位：斤）与次数的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（，，为常数）. 已知第4次的产量为1360斤. 问：用以上哪个函数模拟较好？为什么？
【答案】选择函数为好，理由见解析
【解析】
【分析】运用待定系数法，结合第4次的产量为1360斤进行比较选择即可.
【详解】若模拟函数选用二次函数，
设二次函数解析式为，
因为前三次采茶量分别为1000斤、1200斤、1300斤，
所以有，
若模拟函数选用函数，
因为前三次采茶量分别为1000斤、1200斤、1300斤，
所以有，
因为，
所以的值更接近1360，
所以选用函数为好，此时函数解析式为.
20. 已知函数，用“五点法”画一个周期的图象，列表如下：
0
3
（1）求的解析式，并求当时，的值域；
（2）若，求的值.
【答案】20. ；
21.
【解析】
【分析】（1）根据表中数据结合“五点法”画图，求得的值，即求得解析式；再根据的范围求出的值域.
（2）由代入运算求得，利用诱导公式可求得，得解.
【小问1详解】
由表中数据可得，，解得，
又，
，，
，
又，
，
即，，又，所以，
所以.
当时，，
，
，所以的值域为.
【小问2详解】
由，得，即，
，
，
.
21. 已知函数.
（1）证明：奇函数；
（2）判断的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）增函数，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义，结合对数型函数的定义域进行求解即可；
（2）根据对数运算性质，结合单调性定义、对数函数的单调性进行运算证明即可；
（3）根据函数的单调性，给合指数函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
函数，
由，所以的定义域为，显然关于原点对称，
因为，
所以是奇函数；
【小问2详解】
由，因此函数的定义域为，
，
设，
于是有，
因此有，
所以是上的增函数；
【小问3详解】
，
所以由，
因为函数是奇函数，
所以由，
因为函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位得到，而是上的增函数，
所以函数是上的增函数，
于是由，
因为，所以，设，
，
显然，
由，
因为，所以，
因此要想恒成立，只需，
由，
因为，所以，当且仅当时取等号，
于是有，
综上所述：
因此实数的取值范围.
【点睛】关键点睛：根据函数的平移性质确定函数的单调性是解题的关键.
22. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.
（1）判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；
（2）若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；
（3）设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解.
【答案】（1）函数是“2-利普希兹条件函数”； 函数不是“2-利普希兹条件函数”；
（2）2 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数新定义得和，即可判断；
（2）由题知均有成立，不妨设，得恒成立，由，得，即可求解；
（3）由题得，即，不妨设，根据零点的定义可得、，进而，则，设，有，结合零点的存在性定理即可证明.
【小问1详解】
由题知，函数，定义域为R，
所以，
所以函数是“2-利普希兹条件函数”；
函数，
所以，
当时，则，
函数不是“2-利普希兹条件函数”；
【小问2详解】
若函数是“利普希兹条件函数”，
则对于定义域上任意两个，均有成立，
不妨设，则恒成立，
因为，所以，得，
所以的最小值为2．
【小问3详解】
因为函数是“利普希兹条件函数”，
所以在R上恒成立，即在R上恒成立，
由，得.
因为是函数的零点，则，
又是函数的零点，则，又，
所以，而，故，
设，，
由，，
得，由零点的存在性定理知函数在上有零点，
即方程在上有解.
【点睛】本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义，构造所需要达到的定义式，此类题目综合性强，属于难度题.
