5.5.2简单的三角恒等变换（精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·湖南·周南中学高二期末）已知，则 等于（ ）
A．－ B．± C．－1 D．1
2．（2022·全国·高一）函数在上的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·高三专题练习）函数，的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南南阳·高一阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一期中）若，，则（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（理））已知且，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
7．（2022·广东湛江·高一期末）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，角的始边与角的始边重合，且终边与单位圆交于点，记.若角为锐角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·北京·高一期末）如图，以正方形的各边为底可以向外作四个腰长为的等腰三角形，则正方形与四个等腰三角形面积之和的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）已知 的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最大值为2
C．为的一条对称轴
D．为的一个对称中心
10．（2022·辽宁·抚顺一中高一阶段练习）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．在上单调递减 D．对任意的m，在上不单调
三、填空题
11．（2022·北京海淀·高一期末）函数，的值域是____________．
12．（2022·山东滨州·高二期末）如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点A到，的距离分别为3，4.点是直线上异于点的一动点，作，且使与直线交于点.则的最大值为___________.
四、解答题
13．（2022·陕西·铜川市第一中学高二期末（文））已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数在区间上的值域．
14．（2022·广西柳州·高一期末）已知函数.求：
(1)函数的最小正周期；
(2)方程的解集；
(3)当时，函数的值域.
B能力提升
15．（2022·浙江·温岭中学高二期末）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若方程在上有解，求实数的取值范围.
C综合素养
16．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试）已知
(1)求的值域；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围．
5.5.2简单的三角恒等变换（精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·湖南·周南中学高二期末）已知，则 等于（ ）
A．－ B．± C．－1 D．1
【答案】D
【详解】，
故选：D
2．（2022·全国·高一）函数在上的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设，，
令，可得，，
∴在上的单调递减区间是.
故选：C.
3．（2022·浙江·高三专题练习）函数，的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
所以的最小正周期为，
故选：D
4．（2022·河南南阳·高一阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
．
故选：C．
5．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一期中）若，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
又因为，，
所以，即，
所以，
又因为，所以，．
故选：B．
6．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（理））已知且，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【详解】由，，
所以，即，
又，可得.
故选：D
7．（2022·广东湛江·高一期末）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，角的始边与角的始边重合，且终边与单位圆交于点，记.若角为锐角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，，
所以
，
因为，所以，则.
所以的取值范围是.
故选：D.
8．（2022·北京·高一期末）如图，以正方形的各边为底可以向外作四个腰长为的等腰三角形，则正方形与四个等腰三角形面积之和的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设等腰三角形的底角为，其中，则等腰三角形的高为，其底边长为，
所以，正方形与四个等腰三角形面积之和为，
，则，故当时，即当时，
取得最大值.
故选：B.
二、多选题
9．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）已知 的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最大值为2
C．为的一条对称轴
D．为的一个对称中心
【答案】ACD
【详解】解：
，
即，所以，解得，故A正确；
所以，
因为，所以，故B错误；
，所以函数关于对称，故C正确；
，所以为的一个对称中心，故D正确；
故选：ACD
10．（2022·辽宁·抚顺一中高一阶段练习）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．在上单调递减 D．对任意的m，在上不单调
【答案】AD
【详解】．
对A，令，，解得，，所以的图象关于直线对称，则A正确；
对B，令，，解得，，当时，，则B错误；
对C，令，，解得，所以的单调递减区间是，则C错误；
对D，因为的最小正周期，所以，所以对任意的m，在上不单调，则D正确．
故选：AD
三、填空题
11．（2022·北京海淀·高一期末）函数，的值域是____________．
【答案】
【详解】解：
，
因为，
所以，
所以，
即函数，的值域是.
故答案为：.
12．（2022·山东滨州·高二期末）如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点A到，的距离分别为3，4.点是直线上异于点的一动点，作，且使与直线交于点.则的最大值为___________.
【答案】
【详解】设,，则在中，，，所以，
在中，，，所以，
所以，其中，
所以的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
13．（2022·陕西·铜川市第一中学高二期末（文））已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)，.(2)
(1)解：
，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
(2)解：，
，
．
即函数在区间上的值域为．
14．（2022·广西柳州·高一期末）已知函数.求：
(1)函数的最小正周期；
(2)方程的解集；
(3)当时，函数的值域.
【答案】(1)(2)(3)
(1)解：
，
所以函数的最小正周期；
(2)解：令，
则，所以，
所以方程的解集为；
(3)解：当时，，
所以函数的值域为.
B能力提升
15．（2022·浙江·温岭中学高二期末）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若方程在上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
（1）由诱导公式，，令，解得，所以函数单调递增区间.
（2）由题意，函数在上有解，即函数在有交点，因为，可得，所以要使得函数在有交点，如图所示，则.
C综合素养
16．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试）已知
(1)求的值域；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
（1）解：．即，所以.
（2）解：由得对任意的恒成立，因为，所以，即对任意的恒成立，只需要，又，令，当时，，所以，其中，即，则或（舍去），，又函数在上单调递减，所以在上单调递减，当时，，所以．
