3.3.1抛物线及其标准方程（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·北京平谷·高二期末）抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
3．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））抛物线经过点（1，2），则此抛物线焦点到准线的距离为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
4．（2022·全国·高二）设抛物线C:的焦点为，准线为．是抛物线C上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
5．（2022·四川遂宁·高二期末（理））已知圆与抛物线的准线相切，则（ ）
A． B． C．4 D．8
6．（2022·北京二中高二期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点，直线AF交抛物线C的准线l于点B，且，则（ ）
A． B．4 C． D．6
8．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，且与轴相交于点，若，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知抛物线焦点与双曲线的一个焦点重合，点在抛物线上，则下列说法错误的是（ ）
A．双曲线的离心率为2
B．
C．双曲线的渐近线为
D．点P到抛物线焦点的距离为6
10．（2022·全国·高三专题练习）（多选）点到抛物线的准线的距离为2，则a的值可以为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．（2022·全国·高二专题练习）设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为若记的最小值为则____．
12．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））设是拋物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若，则的最小值为 _________．
四、解答题
13．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求圆锥曲线的标准方程：
(1)焦点为，，离心率为；
(2)焦点为，，离心率为3：
(3)抛物线的准线为；
(4)椭圆与双曲线有相同的焦点，且短轴长为2．
14．（2022·江苏·高二）已知点P与点的距离比它到直线的距离小2．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)若轨迹C上有两点A、B在第一象限，且，，求证：直线AB的斜率是．
B能力提升
1．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（理））已知抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上的点，过A作l的垂线．垂足为B，若，则___________．
2．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线交C于点A，B，交C的准线于点E，若，，则___________.
3．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））已知抛物线上一点到y轴的距离与到点的距离之和的最小值为2，则实数p的值为_____，
4．（2022·全国·高二期末）一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱的长度______米．
C综合素养
1．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上的点A的横坐标为2，且，求此拋物线的方程.
2．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件分别求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线的左顶点;
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线与抛物线交于点A，|AF|=5.
3.3.1抛物线及其标准方程（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·北京平谷·高二期末）抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
解：抛物线的焦点为，准线方程为，
所以焦点到准线的距离；
故选：A
2．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】C
解：设点的横坐标为，抛物线的准线方程为，
点在抛物线上，，
，．
故选：C．
3．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））抛物线经过点（1，2），则此抛物线焦点到准线的距离为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】D
因为抛物线经过点（1，2），
所以，所以，
所以抛物线的焦点到准线的距离等于.
故选：D
4．（2022·全国·高二）设抛物线C:的焦点为，准线为．是抛物线C上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】A
如图所示：
．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：A.
5．（2022·四川遂宁·高二期末（理））已知圆与抛物线的准线相切，则（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】C
因为圆的圆心为，半径为，
抛物线的准线为，
所以，
∴，
故选：C.
6．（2022·北京二中高二期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
解：由抛物线，可知，准线的方程为，
过点作轴的垂线，垂足为，
因为，所以，
所以，
所以点到准线的距离为．
故选：C．
7．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点，直线AF交抛物线C的准线l于点B，且，则（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】D
由题意可知，过点作交于点，直线交轴于点,如图所示
由，得，即.
在中，，
由，得，即，所以,即,
所以,
由抛物线的定义知，.
故选：D.
8．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，且与轴相交于点，若，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
解：过点，分别作抛物线准线的垂线，，
垂足分别为，，且，与轴分别相交于，，
则，得．（相似三角形性质的应用）
由抛物线的定义知，，
则，解得，
故选：D．
二、多选题
9．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知抛物线焦点与双曲线的一个焦点重合，点在抛物线上，则下列说法错误的是（ ）
A．双曲线的离心率为2
B．
C．双曲线的渐近线为
D．点P到抛物线焦点的距离为6
【答案】CD
焦点坐标为，离心率，A正确；
的焦点坐标为，故，解得：，B正确；
双曲线渐近线方程为，C错误；
点在抛物线上，故点P点抛物线焦点的距离为，故D错误.
故选：CD
10．（2022·全国·高三专题练习）（多选）点到抛物线的准线的距离为2，则a的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
抛物线的准线方程为，因为点到抛物线的准线的距离为2，所以，解得或，
故选AB．
三、填空题
11．（2022·全国·高二专题练习）设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为若记的最小值为则____．
【答案】##
【详解】
如图所示，
过点作垂直于直线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，
所以点到直线的距离为，
所以
当且仅当三点共线时，取到最小值，即．
如图所示，
过点作直线垂直于直线，垂足为点，
由抛物线的定义可得
点到直线的距离为，
所以，
当且仅当三点共线时，等号成立，即，
因此．
故答案为：
12．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））设是拋物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若，则的最小值为 _________．
【答案】3
解：抛物线，所以焦点为，准线方程为，
当时，所以，因为，所以点在抛物线内部，
如图，
过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，
由抛物线的定义，可知，
故．
即当、、三点共线时，距离之和最小值为3．
故答案为：．
四、解答题
13．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求圆锥曲线的标准方程：
(1)焦点为，，离心率为；
(2)焦点为，，离心率为3：
(3)抛物线的准线为；
(4)椭圆与双曲线有相同的焦点，且短轴长为2．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
(1)由题可知，圆锥曲线为椭圆，可设方程为，
则，
∴，
所以椭圆的标准方程为.
(2)由题可知，圆锥曲线为双曲线，可设方程为，
则，
∴，
所以双曲线的标准方程为.
(3)∵抛物线的准线方程为，即，
∴抛物线的标准方程为.
(4)∵双曲线的焦点为，设椭圆的标准方程为，
∴，
∴，
∴椭圆的标准方程为
14．（2022·江苏·高二）已知点P与点的距离比它到直线的距离小2．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)若轨迹C上有两点A、B在第一象限，且，，求证：直线AB的斜率是．
【答案】(1)；(2)证明见详解．
(1)因为点P与点的距离比它到直线的距离小2，
则点P与点的距离与它到直线的距离相等，
所以点P的轨迹C是以为焦点以直线为准线的抛物线，
故轨迹C的方程为；
(2)设在准线上的投影分别为，并连接，
过点作交于点
因为，
又，则
又，所以；
故直线AB的斜率是.
B能力提升
1．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（理））已知抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上的点，过A作l的垂线．垂足为B，若，则___________．
【答案】##
如图，抛物线的准线与轴交点为，由已知得，，
，又，则，在轴上方，，
所以，，
所以轴，从而是正方形，．
故答案为：．
2．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线交C于点A，B，交C的准线于点E，若，，则___________.
【答案】3
过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，准线与y轴的交点为G，
则，.因为，
所以，所以，
所以，所以，
即.
故答案为：3
3．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））已知抛物线上一点到y轴的距离与到点的距离之和的最小值为2，则实数p的值为_____，
【答案】6
因为抛物线上的点到y轴的距离等于到准线的距离减去，而由抛物线的定义知点到准线的距离等于到焦点的距离，所以只需点到Q与到焦点F的距离之和最小，如图所示：
当P，Q，F共线时，到y轴的距离与到点的距离之和最小，
因为点到y轴的距离与到点的距离之和的最小值为2，
所以，即，解得.
故答案为：
4．（2022·全国·高二期末）一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱的长度______米．
【答案】3.84.##
建立如图所示的直角坐标系,使抛物线的焦点在y轴上.可设抛物线的标准方程为：.
因为桥的跨度米，拱高米，所以,
代入标准方程得：，解得：，所以抛物线的标准方程为
把点的横坐标-2代入,得，解得：，
支柱的长度为(米).即支柱的长度为3.84(米).
故答案为：3.84.
C综合素养
1．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上的点A的横坐标为2，且，求此拋物线的方程.
【答案】
依题意可知，抛物线开口向右，设抛物线方程为，
设，
，
由于，所以，
解得，
所以抛物线方程为
2．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件分别求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线的左顶点;
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线与抛物线交于点A，|AF|=5.
【答案】（1）；（2）y2=±2x或y2=±18x.
(1)双曲线方程可化为=1，左顶点为，
由题意设抛物线方程为且，
所以，所以抛物线的方程为.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为，，
由抛物线定义得5=|AF|=.
又(-3)2=2nm，∴n=±1或n=±9，
故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
