福建省十一校2023-2024学年高三上学期1月期末联考
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、坐位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数.则（ ）
A.2 B. C. D.
2.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，.若，则（ ）
A. B.8 C. D.
4.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
6.抛物线的焦点为，是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
7.已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.在数列中，.且，当时，，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列结论正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则的最小值为2
C.若，则的最大值为2 D.若，则
10.《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个，如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
早睡群体睡眠指数 65 68 75 85 85 85 88 92 92 95
晚睡群体睡眠指数 35 40 55 55 55 66 68 74 82 90
根据样本数据，下列说法正确的是（ ）
A.早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高
B.早睡群体的睡眠指数的众数为85
C.晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66
D.早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小
11.已知点，，动点在圆上，则（ ）
A.直线截圆所得的弦长为
B.的面积的最大值为15
C.满足到直线的距离为的点位置共有3个
D.的取值范围为
12.已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A.
B.
C.是与的等差中项
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若函数的图象在点处的切线平行于轴，则______.
14.如图，在长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为，则______.
15.某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有______种.
16.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知数列的前项和满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（12分）
已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：）服从正态分布，且.
（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率；
（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在的包数为，且，求的最小值.
19.（12分）
在中，内角，，的对边分别为，，，，.
（1）求角；
（2）作角的平分线与交于点，且，求.
20.（12分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，垂足为，为的中点，平面.
（1）证明：.
（2）若，，与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.
21.（12分）
已知双曲线的离心率为，且其焦点到渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
22.（12分）
已知函数，.
（1）讨论的单调性.
（2）是否存在两个正整数，，使得当时，？若存在，求出所有满足条件的，的值；若不存在，请说明理由.
福建省十一校2023-2024学年高三上学期1月期末联考
数学试卷参考答案
1.C 因为，所以，故.
2.B 因为，，所以.
3.A 因为，所以，所以.
4.D 因为，，，所以.
5.B ，，故将的图象向右平移个单位长度可得到的图象.
6.C 因为的外接圆与抛物线的准线相切，所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.因为圆的面积为，所以圆的半径为6，又因为圆心在的垂直平分线上，，所以，.
7.D 在三棱锥中，底面是以为斜边的直角三角形.
设底面外接圆的圆心为，则其半径，
设三棱锥外接球的球心为，半径为，
因为二面角为，所以点到底面的距离为，
且点在底面的射影为的中点，所以.
设球心到底面的距离为，则，
且，解得，
所以.
8.A 因为，，所以，且当时，，
所以，所以，
所以.
因为，
所以，所以，故.
9.AD 因为，所以
因为，所以，所以，故A正确；
因为的等号成立条件不成立，所以错误；
因为，所以，故C错误；
因为，
当且仅当，即时，等号成立，所以D正确.
10.BD 因为早睡群体的睡眠指数不一定比晚睡群体的睡眠指数高，所以A错误；
因为早睡群体的睡眠指数的10个样本数据中85出现次数最多，所以B正确；
因为晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为，所以C错误；
由样本数据可知，早睡群体的睡眠指数相对比较稳定，所以方差更小，故D正确.
11.BCD 对于A，因为，，所以直线的方程为，
圆心到直线的距离为，
又因为圆的半径，所以直线截圆所得的弦长为，A错误.
对于B，易知，要想的面积最大，
只需点到直线的距离最大，而点到直线的距离的最大值为，
所以的面积的最大值为，B正确.
对于C，当点在直线上方时，点到直线的距离的范围是，
即，由对称性可知，此时满足到直线的距离为的点位置有2个.
当点在直线下方时，点到直线的距离的范围是，
即，此时满足到直线的距离为的点位置只有1个.
故满足到直线的距离为的点位置共有3个，C正确.
对于D，由题意知.
又因为，，，所以，，
故，.
设点满足，则，
故解得即，，
所以.
又因为，所以，
即的取值范围为，D正确.
12.ACD 因为，所以，
两式相减得，所以的周期为4.
因为是奇函数，所以，
所以，即，所以.
因为，所以，即.
因为，所以，所以，
所以，所以，故A正确.
因为，所以，即，所以.
因为，，所以B错误.
因为，，所以C正确.
因为，所以D正确.
13. ，由，得.
14. 连接，交于点，取的中点，连接，.
因为，所以与所成的角为（或其补角），
令，在中，由，，得.
又，，，
由余弦定理得，解得，所以
15.60 由题意可知凉菜选择方案共有种，饮品选择方案共有种，因此该套餐的供餐方案共有种.
16. 由题意可知点一定在其蒙日圆上，所以，所以，故椭圆的离心率为.
17.解：（1）因为，
所以当时，，
当时，，两式相减得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则.
（2）因为，所以，
所以.
18.解：（1）因为，所以，
则这3包中恰有2包质量不小于的概率为.
（2）因为，所以.
依题意可得，
所以，
因为，所以，
又为正整数，所以的最小值为2001.
19.解：（1）因为，所以，
所以.
因为，所以，所以，所以，
因为，所以.
（2）因为为角平分线，所以，
所以.
因为，，，
所以，
所以，即.
因为，，
所以，
所以或（舍去），所以.
20.（1）证明：取的中点，连接，，，
因为为的中点，所以.
又平面，平面，所以平面.
因为平面，，所以平面平面.
因为平面平面，平面平面，
所以.
因为，所以.
由平面，可得.
又，所以平面，从而.
因为是的中垂线，所以.
（2）解：因为平面，所以与平面所成的角为，
又，，所以.
作，垂足为，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
所以，即平面与平面夹角的余弦值为.
21.（1）解：设右焦点为，一条渐近线方程为，
所以该焦点到渐近线的距离为.
因为，所以，.
故的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，的方程为，
此时，.
当直线的斜率存在时，不妨设，且
联立方程组得.
由，得.
联立方程组得.
不妨设与，的交点分别为，，则.
同理可得，所以.
因为坐标原点到的距离，所以.
因为，所以.
故的面积为定值，定值为.
22.解：（1），
当时，，单调递减.
当时，令，得.
，，则在上单调递增，
，，则在上单调递减.
（2）由（1）知，令，得在上单调递增，
在上单调递减，则.
因为，所以，即，
即，
因为，为正整数，所以，
当时，
因为，，所以，这与矛盾，不符合题意.
当时，因为，，所以，
所以，得，即.
经检验，当，时，不符合题意，
当，时，符合题意，
当，时，因为，所以，
当时，，，
所以.
综上，仅存在，满足条件.
