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焦作市普通高中2023-2024学年（上）高一期末考试
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知命题，，则为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.已知某校高三有900名学生，为了解该年级学生的健康情况，从中随机抽取100人进行调查，抽取的100人中有55名男生和45名女生，则样本容量是（ ）
A.45 B.55 C.100 D.900
4.数据2，3，5，5，6，7，8，8，9，10的分位数为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.7.5
5.声音的强弱通常用声强级和声强来描述，二者的数量关系为（，为常数）.一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为；能忍受的最高声强为，此时声强级为.若某人说话声音的声强级为，则他说话声音的声强为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.，，，，，是半径为1的圆的六等分点，从中任选2点连接起来，则所得线段长度小于2的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知一组数据，，，，由生成一组新数据，，…，，则（ ）
A.新数据的平均数一定比原数据的平均数大
B.新数据的中位数一定比原数据的中位数大
C.新数据的标准差一定比原数据的标准差大
D.新数据的极差一定比原数据的极差大
10.已知，，为实数，则下列结论中正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，，则 D.若，则
11.一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则（ ）
A.“摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件
B.“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件
C.“摸出的球颜色相同”的概率为
D.“摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立
12.已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A. B.
C.为奇函数 D.在上具有单调性
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.样本数据1，2，3，3，6的方差______.
14.已知且，则______.
15.小王计划下周一、周二、周三去北京出差，查天气预报得知北京这三天下雨的概率分别为0.8，0.5，0.6，假设每天是否下雨相互独立，则北京这3天至少有一天不下雨的概率为______.
16.已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为______.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知集合，.
（I）求；
（II）若，求实数的取值范围.
18.（12分）
已知函数（且）的图象过坐标原点.
（I）求的值；
（II）设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值.
19.（12分）
某校组织《反间谍法》知识竞赛，将所有学生的成绩（单位：分）按照，，…，分成七组，得到如图所示的频率分布直方图.
（I）求这次竞赛成绩平均数的估计值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（II）从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽样的方法抽取12人，再从第六组和第七组被抽到的学生中任选2人做主题演讲，求至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率.
20.（12分）
已知函数，.
（I）设函数，实数满足，求；
（II）若在时恒成立，求的取值范围.
21.（12分）
甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一次.甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设甲、乙的射击相互独立.
（I）求在一轮比赛中，两人均击中目标的概率；
（II）求在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率；
（III）若一人连续两轮未击中目标，对方这两轮均击中目标，则比赛结束，求比赛进行了四轮就结束，且乙比甲多击中目标1次的概率.
22.（12分）
已知函数（且）的图象过点.
（I）求不等式的解集；
（II）已知，若存在，使得不等式对任意恒成立，求的最小值.
焦作市普通高中2023—2024学年（上）高一期末考试
数学 答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.答案B
命题意图 本题考查集合的运算.
解析 集合中的元素符合的只有3和5.
2.答案B
命题意图 本题考查命题的否定.
解析 全称量词命题的否定为存在量词命题，则原命题的否定为，.
3.答案C
命题意图 本题考查样本容量的概念.
解析 因为抽取100人进行调查，所以样本容量是100.
4.答案D
命题意图 本题考查百分位数的概念.
解析 ，从小到大第6个数据为7，第7个数据为8，故分位数为.
5.答案B
命题意图 本题考查对数的运算性质.
解析 由已知可得解得
可得，令，可得，.
6.答案C
命题意图 本题考查对数函数和二次函数的单调性.
解析 因为在上单调递减，所以函数在上单调递减且恒大于零，
则解得.
7.答案D
命题意图 本题考查奇函数的单调性、解不等式.
解析 的定义域为，，
所以为奇函数，且在上单调递减.
不等式可转化为，
则，所以，解得，故不等式的解集为.
8.答案A
命题意图 本题考查古典概型的概率计算.
解析 任意连接6个点中的2个可得到15条线段，其中长度为2的线段有，，，共3条，其余线段长度为1或，所以所得线段长度小于2的概率为.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.答案CD
命题意图 本题考查样本数据的数字特征.
解析 对于A，，当时，，故A错误，同理可知错误；
对于C，D，新数据的标准差和极差都是原数据的2倍，由于这两个量都大于0，故新数据的标准差和极差都比原数据的大.
10.答案AC
命题意图 本题考查不等式的性质.
解析 对于A，若，则，故，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，若，则，又，所以，故C正确；
对于D，若，则，则，故D错误.
11.答案ABC
命题意图 本题考查事件的关系与概率计算.
解析 对于A，“摸到2个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确；
对于B，“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，且必有一个发生，故是对立事件，故B正确；
对于C，给每个球编号，不同的摸球结果有10种，“摸出的球颜色相同”包含4种结果，故其概率为，故C正确；
对于D，设“摸出的球中有红球”，“摸出的球中有白球”，用古典概型的方法计算可知，，，显然，故，不相互独立，故D错误.
12.答案ABC
命题意图 本题考查抽象函数的性质.
解析 对于A，令，得，得，故A正确；
对于B，令，，得，所以，故B正确；
对于C，由A知，所以，当时，，即，所以为奇函数，故C正确；
对于D，，所以，，故在上不具有单调性，故D错误.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.答案
命题意图 本题考查方差的计算.
解析 ，.
14.答案9
命题意图 本题考查对数的运算性质.
解析 由，两边取以3为底的对数得，所以，所以或，又因为，所以.
15.答案0.76
命题意图 本题考查相互独立事件的概率.
解析 北京这3天至少有一天不下雨的概率为.
16.答案
命题意图 本题考查函数图象.
解析 因为与的图象关于直线对称，所以若的图象上存在关于直线对称的两个点，则关于的方程在上有实根，即方程在上有实根.设，则易得在上单调递增，所以，故的最大值为.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.命题意图 本题考查集合的表示与运算.
解析 （I）由，解得，
所以，
所以.
（II）由，得，
于是解得，
所以的取值范围为.
18.命题意图 本题考查指数函数的性质.
解析 （I）因为的图象过坐标原点，
所以，
解得.
（II）若，则在上单调递减，
所以，，所以，即，
解得（舍去）.
若，则在上单调递增，
所以，，所以，即，
解得（舍去）.
综上，的值为或3.
19.命题意图 本题考查频率分布直方图和古典概型的概率计算.
解析 （I），解得，
这次竞赛成绩平均数的估计值为.
（II）不低于85分的三组频率之比为，用分层随机抽样的方法抽取12人，应从第六组和第七组分别抽取4人和2人，
设第六组的4人为，，，，第七组的2人为甲、乙，
于是从这6人中任选2人的所有情况为：甲乙，甲，甲，甲，甲，乙，乙，乙，乙，，，，，，，共15种，
其中甲、乙至少有1人被选中的有9种，
所以至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率为.
20.命题意图 本题考查对勾函数的性质.
解析 （I）易知是上的奇函数，从而，
因为，所以，得，
所以.
（II）若，则在上单调递增，
因为在时恒成立，
所以，解得，所以.
若，由可得，当且仅当，即时等号成立，
则在上单调递减，在上单调递增.
若，则，解得，与矛盾；
若，则，解得，所以.
综上所述，的取值范围是.
21.命题意图 本题考查相互独立事件的概率计算.
解析 （I）在一轮比赛中，两人均击中目标的概率为.
（II）甲击中2次，乙击中1次的概率为，
甲击中1次，乙击中2次的概率为，
故在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率为.
（III）由题意知第三轮和第四轮甲均未击中目标，乙均击中目标.
若乙击中3次，甲击中2次，则前两轮乙击中1次，甲击中2次，概率为，
若乙击中2次，甲击中1次，则前两轮甲击中1次，乙均未击中，概率为
，
故所求概率为.
22.命题意图 本题考查对数函数与二次函数的综合问题.
解析 （I）由题意知，所以，.
，
不等式即，所以，
得，即，
所以原不等式的解集为.
（II）当，时，，，又在上单调递增，
所以当时，不等式恒成立，等价于恒成立，
即恒成立.
当时，，得.
设函数，其图象开口向上，对称轴方程为，
因为，所以，
而对任意恒成立，所以，
所以在上的最小值为.
原问题转化为：存在，使得，即，
因为，所以，要使成立，只需，
解得（舍去），
又，所以的最小值为6.
