8.1基本立体图形-----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法错误的是（ ）
A．长方体有6个面 B．三棱锥有4个顶点
C．三棱台有9条棱 D．三棱柱的侧面是全等的平行四边形
2.一个多面体至少有（ ）个面.
A．二个 B．三个 C．四个 D．五个
3.一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是（ ）
A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥
4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ）
A．棱柱 B．棱台 C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定
5.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
6.给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤
7.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是（ ）
A．1：3 B．1：（ ） C．1：9 D．
8.正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列图形中是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
10.做正方体的截面，截面可能是其中（ ）
A．钝角三角形 B．菱形 C．正五边形 D．正六边形
11.过正方体棱上三点D，E，F（均为棱中点）确定的截面过点P(点P为BB1中点)有（ ）
A． B．
C． D．
12.．在棱长为的正方体中，点是正方体的棱上一点，，则（ ）
A．时，满足条件的点的个数为
B．时，满足条件的点的个数为
C．时，满足条件的点的个数为
D．若满足的点的个数为，则的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.一个圆锥截成圆台，已知圆台的上 下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为，则圆台的母线长为___________.
14.如图，有一圆柱开口容器（下表面封闭），其轴截面是边长为2的正方形，是的中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一粒米，则这只蚂蚁按如图路线取得米粒的所经过的最短路程是____________
15.一个圆台的上 下底面面积分别是和，一个平行底面的截面面积为，这个截面与上 下底面的距离之比是____.
16.圆锥的母线长为2，高为1，过圆锥顶点的截面图中，最大的截面面积为_________.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
用一个平面截正方体，截面的形状会是什么样的？请你给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状截面的方法，画出这些截面的示意图．例如，可以按照截面图形的边数进行分类：
(1)如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？为什么？
(2)如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？
(3)能否截出正五边形？为什么？
(4)是否存在正六边形的截面？为什么？
(5)有没有可能截出边数超过6的多边形？为什么？
18.（12分）
不同的凸多面体中的顶点数V、棱数E、面数F之间的关系有什么规律吗？
(1)请完成下表；
常见的凸多面体顶点数V、棱数E、面数F的实验观察记录表
所选多面体 顶点数V 棱数E 面数F 形成猜想
正四面体
正方体
正八面体
正十二面体
正二十面体
三棱柱
五棱锥
六棱台
自选观察体一
自选观察体二
(2)提出猜想，写出明确结论；
(3)收集阅读相关资料，完善对问题的理解.
19.（12分）
如图，棱长均为2的正三棱柱中，点D为棱的中点，点P是侧棱上的动点，求面积的最大值.
20.（12分）
北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．
（1）求四棱锥的总曲率；
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数．
21.（12分）
请解决下列问题：
（1）已知一个圆台的轴截面是下底为且其余边长为的等腰梯形，求圆台的高；
（2）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是，截去的圆锥的母线长是，求圆台的母线长.
22.（12分）
如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，且侧棱垂直于底面.，，从顶点沿棱柱侧面（经过棱）到达顶点，与的交点记为.求:
（1）三棱柱侧面展开图的对角线长；
（2）从经过到的最短路线长及此时的值.
8.1基本立体图形-----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法错误的是（ ）
A．长方体有6个面 B．三棱锥有4个顶点
C．三棱台有9条棱 D．三棱柱的侧面是全等的平行四边形
【答案】D
【分析】根据几何体的特征分析即可得出结果.
【详解】由几何体的特征可知A、B、C描述正确，三棱柱的侧面是的平行四边形，但不一定全等,故D错误.
故选：D.
2.一个多面体至少有（ ）个面.
A．二个 B．三个 C．四个 D．五个
【答案】C
【分析】结合多面体的几何结构特征可得答案．
【详解】由多面体的几何结构特征可知，多面体底面至少为三条边，即底面是三角形，则对应有三个侧面，即为三棱锥，所以一个多面体至少有4个面.
故选：C.
3.一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是（ ）
A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥
【答案】D
根据正六变形的中心到底面顶点的距离等于边长判断.
【详解】因为正六变形的中心到底面顶点的距离等于边长，
所以正六棱锥的侧棱必大于底面棱长，
故选：D.
4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ）
A．棱柱 B．棱台 C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据棱柱的定义进行判断
【详解】如图.
∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C，
∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)，因此呈棱柱形状.
故选：A
5.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
【答案】C
【分析】结合棱台的概念对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，，所以几何体不是三棱台，A选项错误.
B选项，，所以几何体不是三棱台，B选项错误.
C选项，，所以几何体是三棱台，C选项正确.
D选项，该几何体可能是三棱柱，D选项错误.
故选：C
6.给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤
【答案】D
圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，判断①错误，④正确；由圆锥母线的定义知②正确；根据圆台定义，判断③错误，⑤正确.
【详解】由于圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，
而在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，
这两点的连线与旋转轴不一定平行，故①错误，④正确；
由圆锥母线的定义知②正确；
在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，
且圆台所有母线的延长线交于一点，故③错误，⑤正确.
故选：D.
7.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是（ ）
A．1：3 B．1：（ ） C．1：9 D．
【答案】B
【分析】平行于底面的平面截圆锥可以得到一个小圆锥，利用它的底面与原圆锥的底面的面积之比得到相应的母线长之比，故可得截面分母线段长所成的两段长度之比.
【详解】设截面圆的半径为，原圆锥的底面半径为，则，所以小圆锥与原圆锥的母线长之比为，故截面把圆锥母线段分成的两段比是.选B.
8.正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
根据底面的中心到底面顶点的连线与底面边长的比值为可选出答案.
正四棱锥的顶点到底面的投影为底面的中心，底面的中心到底面顶点的连线与底面边长的比值为
因为正四棱锥的侧棱长大于底面的中心到底面顶点的连线
所以的取值范围是
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列图形中是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】空间想象直接可知.
【详解】可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现AB可折成正四面体，CD不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.
故选：AB
10.做正方体的截面，截面可能是其中（ ）
A．钝角三角形 B．菱形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】BD
【分析】通过做正方体的截面确定正确选项.
【详解】取上的点，则截面为三角形，
设，
，，，
则，
∴ 为锐角，同理可得，为锐角，
故截面为锐角三角形，A错，
如图取，，的中点，连接，
∵ ，，∴ 四边形为平行四边形，
∴ ，又，
∴ ，又
∵四边形为平行四边形，又，
∴ 四边形为菱形，B对，
如图：做正方体的五边形截面，过点作，
则，故五边形截面不是正五边形，
故截面不能为正五边形，C错，
如图取的中点为，
易证，，
∴ 六点共面，
又，
∴ 六边形为正六边形，D对，
11.过正方体棱上三点D，E，F（均为棱中点）确定的截面过点P(点P为BB1中点)有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据正方体的性质对ABD作出截面后判断，对C由四点不共面可判断．
【详解】A中过三点的截面如图，可知截面过点，
B中过三点的截面如图，可知截面不过点，
C中，在正方体的一个侧面上，而不在这个侧面上，因此四点不共面，过三点的截面不过点，
D中，过三点的截面如图，可知截面过点．
故选：AD．
12.．在棱长为的正方体中，点是正方体的棱上一点，，则（ ）
A．时，满足条件的点的个数为
B．时，满足条件的点的个数为
C．时，满足条件的点的个数为
D．若满足的点的个数为，则的取值范围为
【答案】BC
【分析】根据各棱上的点到两点距离之和对选项进行逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】设分别是的中点，，
，.
由于，所以，所以A选项错误.
，满足的点为共个，所以B选项正确.
，满足的点为共个，所以C选项正确.
当在正方形（不包括）上运动时，，此时棱与棱上，也存在点使.
所以当时，满足的点的个数为，所以D选项错误.
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.一个圆锥截成圆台，已知圆台的上 下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为，则圆台的母线长为___________.
【答案】9
【分析】作出圆锥的轴截面的平面图，利用相似三角形的知识可以解决.
【详解】解析如图所示，设圆台的母线长为，
截得的圆台的上 下底面半径分别为，，
则根据三角形相似的性质，得，解得.
故答案为：
14.如图，有一圆柱开口容器（下表面封闭），其轴截面是边长为2的正方形，是的中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一粒米，则这只蚂蚁按如图路线取得米粒的所经过的最短路程是____________
【答案】
【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出AQ+PQ的最小值就是AE的长，求解即可．
【详解】侧面展开后得矩形ABCD，其中AB=π，AD=2问题转化为在CD上找一点Q，
使AQ+PQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，
令AE与CD交于点Q，则得AQ+PQ的最小值就是AE为．
故答案为．
15.一个圆台的上 下底面面积分别是和，一个平行底面的截面面积为，这个截面与上 下底面的距离之比是____.
【答案】1：2
【分析】求得上下底面和截面的半径比，由此求得截面与上 下底面的距离的比值.
【详解】圆的面积公式为，
上下底面、截面都为圆形，
设上底面半径为，下底面半径为，截面半径为.
则，
设截面与上底面的距离为，与下底面的距离为，
将圆台的轴截面补形为三角形，
则，
所以，
所以.
故答案为：
16.圆锥的母线长为2，高为1，过圆锥顶点的截面图中，最大的截面面积为_________.
【答案】
【分析】利用圆锥的母线长和高，计算出最大截面的底边长，由此计算出最大截面的面积.
【详解】过圆锥顶点的截面图中，最大的截面为轴截面，如下图所示.依题意可知，所以轴截面的底为，面积为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
用一个平面截正方体，截面的形状会是什么样的？请你给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状截面的方法，画出这些截面的示意图．例如，可以按照截面图形的边数进行分类：
(1)如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？为什么？
(2)如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？
(3)能否截出正五边形？为什么？
(4)是否存在正六边形的截面？为什么？
(5)有没有可能截出边数超过6的多边形？为什么？
【答案】(1)三类，见解析
(2)五类，见解析
(3)不能，见解析
(4)存在，见解析
(5)不能，见解析.
【分析】（1）根据题意作出截面，并分类即可；
（2）根据题意，作出截面，并分类即可；
（3）假设可以截出，反证法说明即可；
（4）过六条棱个中点的截面即为正六边形.
（5）结合正方体最多只有6个平面说明即可.
(1)
解：如果截面是三角形，则可以是锐角三角形，等腰三角形，等边三角形，不能出现直角三角形和钝角三角形，如图是截面情况.
(2)
解：若截面是四边形，可以是梯形，平行四边形，菱形，正方形，矩形等，其中梯形可以为等腰梯形，其中梯形：过相对两个平面上平行且不等长的线的截面所截得图形；平行四边形：过正方体的一条体对角线，且不过正方体的棱及棱的中点的截面所截得图形；菱形：过正方体的一条体对角线，和一对棱的中点的截面所截得图形；长方体：过正方体的两条相对的棱或一条棱得的截面所截得图形；正方形：平行于正方体的一个平面的截面所截得图形.具体见图：
(3)
解：不能截出正五边形，假设可以截出正五边形，则根据面面平行的性质得，，而正五边形不存在对边平行的性质，矛盾，故截面是正五边形不存在.
(4)
解：存在正六边形的截面，如图，该截面为过各条棱的中点形成的六边形.
(5)
解：不能，因为正方体只有六个面，当界面与六个面都相交时，最多截出六边形，故不能截出超过边数超过6的多边形.
18.（12分）
不同的凸多面体中的顶点数V、棱数E、面数F之间的关系有什么规律吗？
(1)请完成下表；
常见的凸多面体顶点数V、棱数E、面数F的实验观察记录表
所选多面体 顶点数V 棱数E 面数F 形成猜想
正四面体
正方体
正八面体
正十二面体
正二十面体
三棱柱
五棱锥
六棱台
自选观察体一
自选观察体二
(2)提出猜想，写出明确结论；
(3)收集阅读相关资料，完善对问题的理解.
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析；
(3)详见解析.
【分析】（1）根据凸多面体的结构特征即得；
（2）利用观察记录即得，；
（3）阅读相关资料即得.
(1)
棱柱：n棱柱有2n个顶点，3n个棱，n+2个面；
棱锥：n棱锥有n+1个顶点，2n个棱，n+1个面；
棱台：n棱柱有2n个顶点，3n个棱，n+2个面.
所选多面体 顶点数V 棱数E 面数F 形成猜想
正四面体 4 6 4
正方体 8 12 6
正八面体 6 12 8
正十二面体 20 30 12
正二十面体 12 30 20
三棱柱 6 9 5
五棱锥 6 10 6
六棱台 12 18 8
自选观察体一（四棱锥） 5 8 5
自选观察体二（四棱台） 8 12 6
(2)
提出猜想：，
结论：任意简单的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F间具有关系：.
(3)
阅读资料发现这是著名欧拉定理中的图论定理：如果一个联通平面图G有V个顶点、E条边、F个面，那么.
以“欧拉公式”或“欧拉公式的证明”为关键词，在网上检索更多的相关资料，进一步学习和拓展理解.
19.（12分）
如图，棱长均为2的正三棱柱中，点D为棱的中点，点P是侧棱上的动点，求面积的最大值.
【答案】
【分析】利用正三棱柱的性质及勾股定理可证明，根据直角三角形面积公式转化为求最值即可.
【详解】正三棱柱中，为正三角形，
∵，，都是直角三角形，点D为棱的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴.
∴当点P与点重合时，的面积最大，最大值为.
20.（12分）
北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．
（1）求四棱锥的总曲率；
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
（1）四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，写出多边形表面的所有内角即可.（2）设顶点数、棱数、面数分别为、、，设第个面的棱数为，所以，按照公式计算总曲率即可.
【详解】（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.
可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.
所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，
则其总曲率为：.
（2）设顶点数、棱数、面数分别为、、，所以有
设第个面的棱数为，所以
所以总曲率为：
所以这类多面体的总曲率是常数.
21.（12分）
请解决下列问题：
（1）已知一个圆台的轴截面是下底为且其余边长为的等腰梯形，求圆台的高；
（2）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是，截去的圆锥的母线长是，求圆台的母线长.
【答案】（1）；（2）.
（1）可得知该圆台的轴截面是上底长为，下底长为，腰长为的等腰梯形，然后求出该等腰梯形的高即可；
（2）取圆锥的轴截面，利用相似三角形列等式可求出圆台的母线长.
【详解】（1）如图，过作于，由题意知，，，
，圆台的高为；
（2）如图，由题意知，，又，，，
因此，圆台的母线长为.
22.（12分）
如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，且侧棱垂直于底面.，，从顶点沿棱柱侧面（经过棱）到达顶点，与的交点记为.求:
（1）三棱柱侧面展开图的对角线长；
（2）从经过到的最短路线长及此时的值.
【答案】（1）；（2）最短路线长为，此时.
【分析】（1）沿侧棱将三棱柱的侧面展开，得到矩形，求出该矩形的长和宽，可求出该矩形的对角线长，即为所求；
（2）利用侧面展开图可知，当、、三点共线时，从经过到达的路线最短，利用勾股定理可求得最短路线长，利用三角形全等可求得的值.
【详解】（1）沿侧棱将三棱柱的侧面展开，得到一个矩形（如图）.
矩形的长为，宽为.
所以三棱柱侧面展开图的对角线长为；
（2）由侧面展开图可知，当、、三点共线时，从经过到达的路线最短.
所以最短路线长为.
且，所以，，，
所以，，所以，，
所以从点经过点到点的最短路线长为，此时.
