4.3对数（精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）（ ）
A． B． C． D．2
2．（2022·广东广州·高一期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为（ ）
A．4 B． C．7 D．
3．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））方程的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
4．（2022·重庆巴蜀中学高二期末）化简的值为（ ）
A． B． C． D．-1
5．（2022·青海·模拟预测（理））已知．若，则a＝（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习（理））中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W 信道内信号的平均功率S 信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：）
A．20% B．23% C．28% D．50%
7．（2022·江西南昌·三模（文））科学记数法是一种记数的方法.把一个数表示成与10的次幂相乘的形式，其中，.当时，.若一个正整数的15次方是11位数，那么这个数是（ ）（参考数据：，）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2022·江苏连云港·模拟预测）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过．一杯茶泡好后置于室内，分钟、分钟后测得这杯茶的温度分别为、，给出三个茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的函数模型：①；②；③．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（ ）（参考数据：，）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
二、多选题
9．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或，乙写错了常数c，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知正实数x，y，z满足，则下列正确的选项有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知实数满足，则的最小值是_______．
12．（2022·上海静安·二模）解指数方程：__________.
四、解答题
13．（2022·全国·高一）（1）已知，，试用表示；
（2）已知，，试用表示．
14．（2022·全国·高三专题练习）化简求值
（1）；
（2）；.
（3）；．
（4）.
B能力提升
1．（2022·山东青岛·高一期末）若，则（1）_______；（2）________.
2．（2022·浙江·舟山中学高三阶段练习）若，，则___________，___________.
3．（2022·全国·高三专题练习）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰 纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则____，_____．
4．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知，若，且，则______；______.
C综合素养
1．（2022·全国·高一课时练习）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．
参考数据：，．
(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500 m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
2．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年．
(1)求森林面积的年增长率；
(2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？
(3)为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？（参考数据：，）
4.3对数（精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
,
故选：A
2．（2022·广东广州·高一期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为（ ）
A．4 B． C．7 D．
【答案】D
根据题意，函数是定义在R上的奇函数，当时，，
必有，解可得:，
则当时，，有，
又由函数是定义在R上的奇函数，则.
故选：D
3．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））方程的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
【答案】D
∵，∴，∴.
故选：D.
4．（2022·重庆巴蜀中学高二期末）化简的值为（ ）
A． B． C． D．-1
【答案】A
解析：
故选：A.
5．（2022·青海·模拟预测（理））已知．若，则a＝（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
因为，所以，
因为，所以，解得或2，
因为且，所以.
故选：A.
6．（2022·全国·高三专题练习（理））中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W 信道内信号的平均功率S 信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：）
A．20% B．23% C．28% D．50%
【答案】B
将信噪比从1000提升至5000时，C大约增加了
.
故选：B.
7．（2022·江西南昌·三模（文））科学记数法是一种记数的方法.把一个数表示成与10的次幂相乘的形式，其中，.当时，.若一个正整数的15次方是11位数，那么这个数是（ ）（参考数据：，）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
由题意可设，
因为正整数的15次方是11位数，所以，所以，
因为，所以，所以，
则，则，
所以，所以正整数为5.
故选：B.
8．（2022·江苏连云港·模拟预测）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过．一杯茶泡好后置于室内，分钟、分钟后测得这杯茶的温度分别为、，给出三个茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的函数模型：①；②；③．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（ ）（参考数据：，）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
【答案】C
根据生活常识，茶温一般不低于室温，若选择模型①或模型②，茶温在一定时间后会低于室温，不合乎题意，
故选择模型③较为合适，则，解得，此时，
由可得.
故选：C.
二、多选题
9．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或，乙写错了常数c，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
令，
则方程可化为：，即，
则甲写错了常数b，得到的根为或，
由两根之和得：
乙写错了常数c，得到的根为或，
由两根之积得：，
所以方程为，
解得：或
即或，
解得：或.
故选：AD
10．（2022·全国·高三专题练习）已知正实数x，y，z满足，则下列正确的选项有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
设，则，，，
所以．所以．
故选：BD．
三、填空题
11．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知实数满足，则的最小值是_______．
【答案】16
∵，则可得
∴
∵当且仅当时等号成立
∴
故答案为：16．
12．（2022·上海静安·二模）解指数方程：__________.
【答案】或
由得，即，当即时，显然成立；
当时，，解得；故方程的解为：或.
故答案为：或.
四、解答题
13．（2022·全国·高一）（1）已知，，试用表示；
（2）已知，，试用表示．
【答案】（1）；（2）.
（1），，
，，
；
（2），，
．
14．（2022·全国·高三专题练习）化简求值
（1）；
（2）；.
（3）；．
（4）.
【答案】（1）1；（2）1；（3）4；（4）2.
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
B能力提升
1．（2022·山东青岛·高一期末）若，则（1）_______；（2）________.
【答案】 1
(1)由 ，
可得
= ；
（2）由 可得：，
故，
故答案是：，1
2．（2022·浙江·舟山中学高三阶段练习）若，，则___________，___________.
【答案】 1
解：
故答案为：，.
3．（2022·全国·高三专题练习）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰 纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则____，_____．
【答案】 1
由题意知，可得，
所以，
所以，
又由，所以.
故答案为：，.
4．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知，若，且，则______；______.
【答案】
，整理得，
解得或，因为，所以，则，即，
因为，所以，所以，解得或，因为，所以，
所以，
故答案为:
C综合素养
1．（2022·全国·高一课时练习）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．
参考数据：，．
(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500 m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
【答案】(1) m/s(2)45
(1)当总质比为230时，，
即A型火箭的最大速度为.
(2)A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A型火箭的喷流相对速度为，总质比为，
由题意得：
因为，所以，
即，所以不小于T的最小整数为45．
2．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年．
(1)求森林面积的年增长率；
(2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？
(3)为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？（参考数据：，）
【答案】(1)；(2)5年；(3)17年.
(1)解：设森林面积的年增长率为，则，解得．
(2)解：设该地已经植树造林年，则，
，解得，
故该地已经植树造林5年．
(3)解：设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，
则，，
，
，即取17，
故为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林17年．
