1.1.2空间向量的数量积运算（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如图所示，在平行六面体中，，，则（ ）
A．2 B． C． D．1
3．已知向量，，是两两垂直的单位向量，且，则（ ）．
A．15 B．3 C． D．5
4．如图所示，在平行六面体中，各棱长均为2，，，则向量的长度为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则（ ）
A． B．3 C． D．2
8．棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设，，是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是
A． B．
C．一定不与垂直 D．
10．在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若直线与交于点O，则
三、填空题
11．如图，已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，且，则__.
12．平行六面体，，，，则______
四、解答题
13．如图所示，在平行六面体中，，，，.
(1)求；
(2)求线段的长.
14．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量表示，
（2）求出的长度；
B能力提升
1．如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
2．如图所示，平行六面体中，，，，则线段的长度为（ ）．
A． B． C．2 D．
3．（多选）四面体中，各棱长均为，点分别是的中点，则下列向量的数量积等于的是（ ）
A． B．
C． D．
4．空间四边形各边及对角线长均为，，，分别是，，的中点，则_____.
5．如图，是平行四边形，，.如图，把平行四边形沿对角线折起，使与成角，求的长.
C综合素养
1．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
2．设，，，是空间不共面的四个点，且满足，，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知（，则△ABC的形状是
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定
4．已知点是棱长为2的正方体的底面上一点（包括边界），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1.1.2空间向量的数量积运算（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
∵，∴
，∴，，
故选：C.
2．如图所示，在平行六面体中，，，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
由题意，，两边平方可得
；
所以.
故选：A.
3．已知向量，，是两两垂直的单位向量，且，则（ ）．
A．15 B．3 C． D．5
【答案】B
向量，，是两两垂直的单位向量，且，，
.
故选：B
4．如图所示，在平行六面体中，各棱长均为2，，，则向量的长度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
，
故选：A
5．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
依题意，分别是的中点，
所以，
三角形是等边三角形，且边长为.
所以.
故选：B
6．已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为E，F分别是BC，AD的中点，
所以，，
又因为正四面体ABCD的棱长都为1，
所以，
故
．
故选：C．
7．已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
设，由题意得：，，
.
故选：B.
8．棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由已知，
因为，，
所以，
，
．
故选：D．
二、多选题
9．设，，是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是
A． B．
C．一定不与垂直 D．
【答案】BD
是表示与向量共线的向量，而是表示与向量共线的向量，错误，
，是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得，正确，
可能成立，错误，
向量的运算满足平方差公式，，正确，
故选：．
10．在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若直线与交于点O，则
【答案】AB
对A，由题意，，A正确；
对B，，B正确；
对C，，
则，C错误；
对D，由题意可知，，
则
，D错误.
故选：AB.
三、填空题
11．如图，已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，且，则__.
【答案】
平行六面体中，，
..
故答案为：．
12．平行六面体，，，，则______
【答案】
由题设，可得如下示意图，
∴，
∴，则.
故答案为：
四、解答题
13．如图所示，在平行六面体中，，，，.
(1)求；
(2)求线段的长.
【答案】(1)(2)
(1)解：由题意可得，，
，
所以；
(2)解：所以线段的长为.
14．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量表示，
（2）求出的长度；
【答案】（1）；（2）．
（1）.
（2）因为，同理可得，
所以
.
B能力提升
1．如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
对于A,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故A不正确；
对于B, 因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，
平面,所以,即，所以，故B不正确；
对于C，因为底面为矩形，所以与不垂直，所以与不一定垂直，所以与不一定垂直，所以与的数量积不一定为0，故C正确．
对于D,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，
平面,所以,即，所以，故D不正确.
故选：C.
2．如图所示，平行六面体中，，，，则线段的长度为（ ）．
A． B． C．2 D．
【答案】C
解：根据题意，取向量为基底，
则，
所以
，所以
所以线段的长度为为
故选：C
3．（多选）四面体中，各棱长均为，点分别是的中点，则下列向量的数量积等于的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
依题意，四面体ABCD是正四面体，
对于A，，，A不是；
对于B，，，B是；
对于C，因是的中点，则，而，，C不是；
对于D，因是的中点，则，，D是.
故选：BD
4．空间四边形各边及对角线长均为，，，分别是，，的中点，则_____.
【答案】##0.5
如图，,
，
所以
,
因为向量的模相等，夹角相等，所以，,
及
答案为：
5．如图，是平行四边形，，.如图，把平行四边形沿对角线折起，使与成角，求的长.
【答案】或.
，四边形为平行四边形，，
，；
与成角，或；
；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
的长为或.
C综合素养
1．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
【答案】A
，，
为锐角，
同理：，，D和C都为锐角，
∴为锐角三角形.
故选：A.
2．设，，，是空间不共面的四个点，且满足，，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
，则，所以是锐角，同理，都是锐角，故是锐角三角形．故选．
3．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知（，则△ABC的形状是
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定
【答案】C
即△ABC为等腰三角形，选C.
4．已知点是棱长为2的正方体的底面上一点（包括边界），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题设，，，
∴，
又，，
∴，而在面上一点（包括边界），
∴，故.
故选：B
