2023-2024学年度高二第一学期数学期中考试
模拟卷02
测试范围：第1章—第2章
第I卷（选择题）
一、单选题
1．若直线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．1或3 B．1或3 C．1或3 D．1或3
2．已知向量，，则向量在向量方向上的投影数量为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，设，，，则下列与向量相等的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点 分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设二面角的大小为，则（ ）
A． B． C． D．
6．直线l1:y=ax+b与直线l2:y=bx+a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知直线，若圆上存在两点，关于直线对称，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
8．设实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．8
二、多选题
9．(多选)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为（ ）
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－7＝0
C．2x－y－2＝0 D．2x＋y－10＝0
10．以下说法正确的是（ ）
A．若向量可是空间的一个基底，则也是空间的一个基底.
B．空间的任意两个向量都是共面向量.
C．若两条不同直线，的方向向量分别是，，则.
D．若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则
11．(多选)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则（ ）
A．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为
B．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为
C．圆C2的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4
D．圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4
12．如图，在平行六面体中，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为________．
14．已知平面α和平面β的法向量分别为，，且α⊥β，则x=________.
15．在四棱锥P ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，，，，试用基底表示向量＝________.
16．点到直线l：（为任意实数）的距离的最大值为____________．
四、解答题
17．已知点和向量.
（1）若，求点B的坐标；
（2）若x轴上的一点C满足，求的长.
18．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求二面角的余弦值.
19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，是的中点，在线段上且．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求向量的模长．
20．过点P(1，4)作直线l，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为原点.
（1）若△ABO的面积为9，求直线l的方程；
（2）若△ABO的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线l的方程.
21．已知关于，的二元二次方程．
（1）当在什么范围内取值时，方程表示圆？
（2）当为何值时，方程表示的圆的半径最大？求出半径最大时圆的方程．
22．已知圆，直线．
（1）当为何值时，直线与圆相切；
（2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程．
参考答案
1．A
【分析】
利用两线垂直的判定有，求解即可得的值.
【详解】
由题设，，即，解得或.
当时，直线分别为、，符合题设；
当时，直线分别为、，符合题设.
故选：A
2．D
【分析】
利用求得向量在向量方向上的投影.
【详解】
依题意，向量在向量方向上的投影为，
故选：D.
3．D
【分析】
利用平面向量的基本定理求解.
【详解】
由题意：，
，
，
，
故选：D.
4．A
【分析】
如图建立空间直角坐标系，求出和的坐标，利用空间向量夹角公式计算夹角的余弦值，再由同角三角函数基本关系即可求解.
【详解】
因为底面，面，可得，，
因为四边形为正方形，可得，
所以两两垂直，如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，
可得，，，，，
所以，，
所以，
设异面直线与所成的角为，
则，所以，
故选：A.
5．B
【分析】
先求出平面和平面的法向量，再利用二面角公式求解即可.
【详解】
因为，，，
所以，，
设平面的法向量为，则即取
又因为平面的法向量为，
所以
故选：B
6．D
【分析】
根据直线方程斜截式与图像的关系进行判断即可.
【详解】
对于A选项，由l1得a>0，b<0，由l2得a>0，b>0，矛盾；故A错误；
对于B选项，由l1得a<0，b>0，由l2得a>0，b>0，矛盾；故B错误；
对于C选项，由l1得a>0，b<0，由l2得a<0，b>0，矛盾；故C错误；
对于D选项，由l1得a>0，b>0，由l2得a>0，b>0.故D正确
故选：D.
7．D
【分析】
根据圆上存在两点，关于直线对称，可得直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可得出答案.
【详解】
解：因为圆，
所以圆C的圆心坐标为，
又因为圆上存在两点，关于直线对称，
所以直线过圆心，
则，解得.
故选：D.
8．C
【分析】
根据题意得到表示直线上的点与点的距离，从而利用点到直线的距离公式即可求得最小距离.
【详解】
，
所以表示直线上的点与点的距离，
所以最小值为.
故选：C.
9．AB
【分析】
由题设可知直线的斜率为±1，结合直线过的点，由点斜式写出直线方程即可.
【详解】
由题意知，所求直线的斜率为±1，又过点(3,4)，
由点斜式得y－4＝±(x－3)．
所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
故选：AB
10．ABC
【分析】
根据基底的定义判断AB；根据方向向量以及法向量的性质判断CD.
【详解】
对于A，向量与共面，则与不共面且不共线，则也是空间的一个基底，故A正确；
对于B，空间的任意两个向量都是共面向量，故B正确；
对于C，由方向向量的性质得出，故C正确；
对于D，因为，所以，故D错误；
故选：ABC
11．AD
【分析】
根据点到直线的距离公式求得圆心C1到直线x－y－1＝0的距离，根据点关于直线的对称点的方法可求得圆C2的圆心，从而得出圆C2的方程.
【详解】
根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，
圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C1到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.
若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与圆C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有解得则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
故选：AD.
12．CD
【分析】
对于A：由，可判断；
对于B：由空间向量的线性运算得，从而有，，由此可判断；
对于C：由空间向量的数量积运算可判断；
对于D：根据空间向量的线性运算和数量积运算可判断．
【详解】
解：对于A：在平行六面体中，有，，故A错误；
对于B：，，，，又，∴，故B错误；
对于C：，
，
由题知，，，，，所以，，故C正确；
对于D：，，
．所以．故D正确，
故选：CD．
13．2
【分析】
利用斜率计算公式及其意义即可得出.
【详解】
∵直线l过点A（1，2），且不过第四象限，
∴则直线的斜率的最大值为
故答案为：2
14．
【分析】
根据法向量垂直即可求出的值.
【详解】
∵α⊥β，∴，即，解得.
故答案为：.
15．
【分析】
由空间向量的基本定理求解即可
【详解】
因为BG＝2GD，所以，
又，
所以
故答案为：
16．.
【分析】
将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，再利用两点间的距离公式计算可得．
【详解】
∵直线，
∴可将直线方程变形为，
∴，解得，
由此可得直线系恒过点，
P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA，
∴．
故答案为：.
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据空间向量的坐标表示即可求解.
（2）设，根据空间向量的坐标表示以及数量积即可求解.
【详解】
（1）因为，所以点B的坐标为.
（2）设，则，，
所以，所以，所以.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.
【详解】
（1）由条件可知，，两两垂直，以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系.
设，则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，即所求角的正弦值为.
（2）由（1）知，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
则平面的一个法向量为，
所以，
由图形可知二面角的平面角为锐角，即所求二面角的余弦值为.
19．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据空间向量关系可表示；
（2）利用转化可求解.
【详解】
解：（1）
（2）
，
．
20．（1）2x+y-6=0或8x+y-12=0；（2）8，4x+y-8=0.
【分析】
（1）设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，则由直线的截距式方程得直线l的方程为+=1.根据已知得到的方程组，解方程组即得解；
（2）求出S=×，再利用基本不等式求解.
【详解】
设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，则由直线的截距式方程得直线l的方程为+=1.
将P(1，4)代入直线l的方程，得+=1.(*)
（1）依题意得，ab=9，
即ab=18，
由(*)式得，b+4a=ab=18，从而b=18-4a，
∴a(18-4a)=18，整理得，2a2-9a+9=0，
解得a1=3，a2=，
因此直线l的方程为+=1或+=1，
整理得，2x+y-6=0或8x+y-12=0.
（2）S=ab=ab=×≥×=×(8+8)=8，
当且仅当=，即a=2，b=8时取等号，
因此直线l的方程为+=1，即4x+y-8=0.
21．（1）；（2）时方程表示的圆的半径最大，半径最大的圆的方程为
【分析】
（1）根据方程表示圆的条件为列不等式即可求解；
（2）将该方程整理为圆的标准方程，利用二次函数的性质求出半径的最大值以及此时的值，再将的值代入可得半径最大的圆的方程.
【详解】
（1）若方程表示圆，
则
整理可得：，解得：；
（2）由可得：
，
设圆的半径为，则，
所以当时，，所以，
此时圆的方程为，
即.
综上所述：当时方程表示的圆的半径最大，半径最大的圆的方程为：
.
22．（1）；（2）或．
【分析】
（1）利用圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线距离公式，即得解；
（2）利用弦心距、弦长、半径的勾股关系，求出弦心距为，结合点到直线距离公式，即得解
【详解】
（1）圆的标准方程为，圆心，半径为
若直线与圆相切，则有，解得
（2）设圆心到直线的距离为，则有
即，即，由，解得或
所以直线的方程为或
