第二章 直线和圆的方程
（知识达标卷）
一、单选题
1．方程表示的直线可能是（ ）
A． B．C． D．
2．已知直线和直线，则当与间的距离最短时，t的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．下列关于倾斜角的说法中正确的是（ ）．
A．任意一条直线有唯一的倾斜角
B．一直线的倾斜角可以为
C．若直线的倾斜角为0，则该直线与轴重合
D．若直的倾斜角为，则
4．已知点、，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果且，那么直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（ ）
A． B． C． D．
7．方程表示圆，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．过点作圆两条切线，切点分别为A、B，O为坐标原点，则的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知点是圆内一点，直线是以为中点的弦所在的直线，直线的方程为，则（ ）
A． B． C．与圆相交 D．与圆相离
10．已知圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0与直线x－y＝1，则（ ）
A．圆心坐标为(1，－2)
B．圆心到直线的距离为
C．直线与圆相交
D．圆的半径为
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）．
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于，的两点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的角平分线
D．在上存在点，使得
12．已知直线，则下列说法正确的是（ ）．
A．直线的斜率可以等于0
B．若直线与轴的夹角为30°，则或
C．直线恒过点
D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则或
三、填空题
13．将直线绕其与x轴的交点逆时针旋转后得到直线，则在y轴上的截距为________．
14．函数的最小值为____________．
15．由方程所确定的圆中，最大的面积是_________.
16．直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为________．
四、解答题
17．已知直线．
（1）若直线在轴上的截距为，求实数的值；
（2）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离．
18．求满足下列条件的直线方程：
（1）已知、、，求的边上的中线所在的直线方程；
（2）过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程.
19．已知圆过点，，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）将圆向上平移1个单位长度后得到圆，求圆的标准方程．
20．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）若是直角，求实数的值；
（2）求过坐标原点，且与的高垂直的直线的方程．
21．已知的内切圆的圆心在轴正半轴上，半径为，直线截圆所得的弦长为.
（1）求圆方程；
（2）若点的坐标为，求直线和的斜率；
（3）若，两点在轴上移动，且，求面积的最小值.
22．实数，滿足，
求（1）的最大值和最小值；
（2）的最大值和最小值.
参考答案
1．B
【分析】
直接判断出直线经过点，对照四个选项，即可求解.
【详解】
因为，所以，代入直线方程，可得，即．
所以直线过点，故选：B．
2．B
【分析】
利用平行线之间的距离公式可求出关于的二次函数解析式，再利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】
解：
∵直线即为直线，∴直线直线．
∴与间的距离，当且仅当时取等号．
∴当与间的距离最短时，t的值为．
故答案选：B
3．A
【分析】
根据直线倾斜角的定义，对四个选项逐一分析，即可得出答案.
【详解】
任意一条直线都有唯一的倾斜角，选项A正确；
直线倾斜角的取值范围是，所以直线的倾斜角不可以为，故选项B错误；
若直线的倾斜角为0，则该直线与轴重合或平行，故选项C错误；
因为直线的倾斜角的取值范围是，所以，故选项D错误.
故选：A．
4．C
【分析】
分析可知，直线的斜率为，且线段的中点在直线上，可列出关于实数的等式组，由此可得出关于实数的值.
【详解】
由中点坐标公式，得线段的中点坐标为，
直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，
所以，，解得.
故选：C.
5．C
【分析】
根据且，得，则直线方程可化为斜截式，再根据的符号，即可得出结论.
【详解】
解：易知，所以直线方程可化为．
因为，所以A、B同号，B、C异号，从而有，
所以直线的斜率为负，且在y轴上的截距为正，所以直线不经过第三象限．
故选：C．
6．B
【分析】
根据中点坐标公式求解出中点的坐标，结合两点间距离公式求解出边上中线的长.
【详解】
设边的中点为.
因为，，所以，，
即，所以，
故选：B.
7．B
【分析】
根据圆的一般方程所需满足的条件得到不等式，解之即可求出结果.
【详解】
由，得，即，解得.
故选：B.
8．A
【分析】
由切线性质得O、A、B、P四点共圆，为直径，求得圆心坐标和半径可得圆方程即为所求．
【详解】
由题意知O、A、B、P四点共圆，从而的中点坐标为所求圆的圆心，为所求圆的半径，所以所求圆的方程为.
故选：A.
9．AD
【分析】
由圆心到直线距离可确定与圆相离；根据直线的方程，可判断出两直线平行.
【详解】
点在圆内，.
圆心到直线的距离，直线与圆相离.
又直线的方程为，即，
.
故选：AD.
10．AD
【分析】
根据圆的方程，先求圆心和半径，再依次判断选项.
【详解】
把圆的方程化为标准形式得(x－1)2＋(y＋2)2＝2，所以圆心坐标为(1，－2)，半径为，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝，直线与圆相切．
故选：AD
11．BC
【分析】
根据两点间的距离公式计算化简，逐一判断选项即可.
【详解】
A：在平面直角坐标系中，，，点满足，
设，则，化简得，
即，所以A错误；
B：假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
化简得，
由轨迹的方程为，可得，，
解得，或，（舍去），所以B正确；
C：当，，三点不共线时，，
可得射线是的角平分线，所以C正确；
D：若在上存在点，使得，可设，
则，化简得，
与联立，方程组无解，故不存在点，所以D错误．
故选：BC．
12．BD
【分析】
讨论和时直线的斜率和截距情况，判断AD的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；将方程化为判断直线过定点，判断C的正误.
【详解】
当时，直线，斜率不存在，
当时，直线的斜率为，不可能等于0，故A选项错误；
∵直线与轴的夹角角为30°，
∴直线的倾斜角为60°或120°，而直线的斜率为，
∴或，∴或，故B选项正确；
直线的方程可化为，所以直线过定点，故C选项错误；
当时，直线，在轴上的截距不存在，
当时，令，得，令，得，
令，得，故D选项正确．
故选：BD．
13．
【分析】
根据的方程可以求出的倾斜角，及与轴的交点坐标，根据与倾斜角的关系确定的倾斜角，利用直线点斜式写出方程即可判断直线在y轴上的截距.
【详解】
易知的倾斜角为，所以的倾斜角为，又由题意知过点，所以的方程为，即，从而可知在y轴上的截距为．
故答案为：
14．
【分析】
首先根据题意得到表示点到点和的距离之和，从而得到当点为线段与轴的交点时，取得最小值，再求即可.
【详解】
，
表示点到点和的距离之和.
当点为线段与轴的交点时，取得最小值.
.
故答案为：
15．
【分析】
由方程求出圆半径的最大值后可得最大面积．
【详解】
圆的半径，
则，
所以当时，，所以.
故答案为：．
16．
【分析】
由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．
【详解】
直线被圆截得的弦长为，
所以，圆心到直线的距离，
即，解得．
设直线的倾斜角为，则，则．
因此，直线的倾斜角为．
故答案为：．
17．（1）；（2）．
【分析】
（1）由题意利用直线在坐标轴上的截距的定义，求得的值．
（2）利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．
【详解】
（1）若直线，令，求得在轴上的截距为，
实数．
（2）若直线与直线平行，
则，求得，故，即，
求两平行直线与之间的距离为．
18．（1）；（2）或.
【分析】
（1）先计算中点的坐标，再利用两点式写出直线方程，即得结果；
（2）分类讨论直线是否过原点两种情况，分别设直线方程，再将点P代入计算，即得结果.
【详解】
解：（1）由题意可知，的中点坐标为，又点，
所以的边上的中线所在的直线方程为：，
即；
（2）当直线过原点时，设方程为，
∵过点，∴直线方程为，即；
当直线不过原点时，设方程为，
∵过点，∴，∴直线方程为，即.
故所求直线的方程为或.
19．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）先求线段的垂直平分线，再联立直线求解即可；
（2）分析向上平移1个单位长度后的圆心和半径即可
【详解】
（1）因为直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为1．
又易知线段的中点坐标为，
所以直线的方程为，即．
因为圆心在直线上，所以圆心是直线与直线的交点．
由，解得．
所以圆心为，半径．
所以圆的标准方程是．
（2）由（1），知圆的圆心坐标为，
将点向上平移1个单位长度后得到点，
故圆的圆心坐标为，半径为，
故圆的标准方程为．
20．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据是直角可知且，由此构造方程求得；
（2）易知直线与直线平行或重合，知直线的斜率，结合直线过坐标原点可得结果.
【详解】
（1）当时，不是直角，不合题意；
当时，是直角，，
即，解得：；
综上所述：.
（2）直线与的高垂直，直线与直线平行或重合，
不重合，，直线的斜率，
又直线过坐标原点，直线的方程为．
21．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）设的内切圆的圆心，先求得圆心到直线的距离，再根据直线截圆所得的弦长为求解；
（2）当直线和的斜率不存在时，设直线方程为，易知不成立；当直线和的斜率存在时，设直线方程为，然后由圆心到直线的距离等于半径求解；
（3）根据，设，进而得到直线AC和直线 BC的斜率，写出直线AC和BC的方程，联立求得点C的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.
【详解】
（1）设的内切圆的圆心，
圆心到直线的距离为，
又因为直线截圆所得的弦长为，
所以，
解得，
所以圆方程；
（2）当直线和的斜率不存在时，设直线方程为，
则圆心到直线的距离 ，不成立，
当直线和的斜率存在时，设直线方程为，
即 ，
圆心到直线的距离 ，
解得；
（3）因为，设，
所以直线AC的斜率为：，
同理直线BC的斜率为： ，
所以直线AC的方程为：，
直线BC的方程为： ，
由，解得 ，
即，
又 ，
当时，点C的纵坐标取得最小值，
所以面积的最小值..
22．（1）最大值为0，最小值为；（2）最大值为，最小值为.
【分析】
先求出所给的圆的圆心和半径，
（1） 表示圆上的点（x y）与点A（4，0）连线的斜率 k．设出过点A的圆的切线方程，根据圆心C到切线的距离等于半径，求得k的值，可得k的最大值和最小值．
（2）将条件进行化简，转化为点和圆的位置关系进行求解即可.
【详解】
（1）表示圆上的点与点连线的斜率，
设圆的切线斜率为，圆的切线方程为，
即，由，或，
结合图形知，的最大值为0，最小值为.
（2）令，表示过圆上的点且斜率等于的直线在轴上的截距，
当直线和圆相切时，有，∴，
故的最大值为，最小值为.
