第一章 空间向量与立体几何
（知识达标卷）
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量,且,则的值为
A.3 B.4 C.5 D.6
2.设直线的方向向量是,平面的法向量是,则”"是“"的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.如图,在四面体中,点在棱上,且满足,点分别是线段的中点,则用向量表示向量应为
A. B.
C. D.
4.如图,在长方体中,设,则等于
A. B.
C. D.
5.已知,若三个向量不能构成空间的一个基底,则实数的值为
A. B. C. D.
6.二面角的棱上有两点,直线分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于,已知,,则该二面角的大小为
A. B. C. D.
7.在《九章算术》中, 将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，⊥平面,，且,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
8.在正四棱柱中,,,动点分别在线段上,则线段长度的最小值是
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,共小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知空间中三点,则下列结论正确的有
A.与是共线向量 B.与共线的单位向量是
C.与夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是
10.设动点在正方体的体对角线上,记,当为钝角时,实数的可能取值是
A. B. C. D.
11.将正方形沿对角线折成直二面角,则下列结论中正确的是
A. B.异面直线与所成角的大小为
C.为等边三角形 D.直线与平面所成角的大小为
12.如图,已知在长方体中,,,点为上的一个动点,平面与棱交于点,则下列说法正确的是
A.四棱锥的体积为20
B.存在唯一的点,使截面四边形的周长取得宝小值
C.当点为的中点时,在直线上存在点,使得
D.存在唯一一点,使得平面,且
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知点,则在上的投影向量的长度为 .
14.在平面直角坐标系中,点关于轴的对称点为,则在空间直角坐标系中,关于轴的对称点的坐标为 ,若点关于平面的对称点为点,则 （本题第一空2分,第二空3分)
15.如图,在长方体中,,,若为中点,则点到平面的距离为 .
16.在四棱锥中,底面,底面是正方形,且为的重心,则与底面所成角的正弦值为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图,在三棱柱中,,分别是上的点,且.设,.
(1)试用表示向量;
(2)若,求的长.
18.已知向量.
(1)若,求的值;
(2)以坐标原点为起点作,求点到直线的距离.
19.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,且平面是的中点,在下面两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.
①二面角的大小是;②.若 ,求直线与平面所成角的正弦值.
注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.
20.如图,在长方体中,点分别在棱上,且.
(1)证明:点在平面内;
(2)若,求二面角的正弦值.
21.如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面分别是的中点.
(1)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明;
(2)设(1)中的直线与圆的另一个交点为,且点满足,记直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为二面角的大小为,求证:.
22.如图,在三棱柱中,四边形是边长为4的正方形,
平面平面,.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)证明:在线段上存在点,使得,并求的值
参考答案
1.C【解析】∵,解得,故选C.
2.B【解析】由,得,则:“”是“”的必要条件;由,得或,则“”不是""的充分条件.故“”是“”的必要不充分条件.故选B.
3.【解析】连接,因为分别为的中点,所以,化简得到,故选.
4.A【解析】方法一 由长方体的性质可知,,,又,,所以.故选.
方法二 以为坐标原点,分别为轴的正方向,建立空间直角坐标系,则,则,则.故选.
5.D【解析】∵与不平行,∵三个向量不能构成空间的一个基底,∴三个向量共面,即存在实数X,Y,使,即解得,故选D.
6.【解析】由題意知,解得,则,所以面角的大小为,故选C.
7.C【解析】将四面体放在正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则,所以异面直线与所成角的余弦值为,故选C.
8.C【解析】以D为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,则可设,,,∴，当且仅当时，取得最小值，故选.
9.CD【解析】对于,不存在实数,使得,所以与不是共线向量,所以错误;对于,因为,所以与共线的单位向量为或,所以错误;对于,向量,所以,所以正确;对于,设平面的法向量是,因为,所
以,即,令,则,所以D正确,故选.
10.AB【解析】以为原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为1,则,,,所以.因为
为钝角,所以,即,解得.故选.
11.ABC【解析】如图,取BD中点为0,连接AO,CO,易知BD⊥平面AOC,
故,故正确;以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为,则,故,所以
,故异面直线与
所成角的大小为,故正确;在直角三角形中,由,得,故为等边三角形,故正确;易知即为直线与平面所成的角,易得,故错误.故选.
12.【解析】长方体中,,对于，,易知平面,所以到平面的距离等于到平面的距离,为,同理到平面的距离等于到平面的距离,为,所以,故正确;对于,易知平面平面,平面平面,平面平面,所以,同理,即四边形为平行四边形,将长方体侧面和沿棱展开到同一平面内,则的最小值为展开面中的长度,此时点为与的交点,,所以四边形的周长的最小值为,故正确;对于,当为的中点时,易知为的中点,在平面中,延长,交的延长线于,连接CG,易知,得,所以为的中点,所以在中,,故C正确;对于,以点为坐标原点,分别以射线为,轴的正半轴建立空间直角坐标系,设点,,
,则,,所以,即
,要使平面,则需,即,所以,得,即,故错误.故选.
13.【解析】由已知,所以在上的投影向量的长蝃为.
14. 【解析】由题意得关于轴的对称点的坐标为；点关于平面的对称点为,所以.
15.【解析】以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接，由题意得,，，,.设平面的法向角为,则,即,令,得点到平面的距离.
16. 【解析】如图,分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标
系,由已知,得,,,则重心,因而,,设与底面所成的角为,则.
17.【解析】
(1)由题意可知
.
(2)因为
所以,
所以.
18.【解析】(1),
∵
∴,
解得.
(2)由条件知,
∴
∴点到直线的距离.
19.【解析】选①.因为平面,所以,
所以就是二面角的平面角,所以.
过作轴⊥，以为坐标原点，所在直线分别为轴轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则,
所以
取平面的一个法向量
设直线与平面所成的角为则所以直线与平面所成角的正弦值是.
选②
因为平面,底面是平行四边形,所以,DC,DM两两垂直
以D为坐标原点,DC,DM所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,所以
取平面的一个法向量.设直线与平面所成的角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值是.
20.【解析】设,如图,以为坐标原点,的方向为
轴正方向，建立空间直角坐标系.
连接,则,
得,
因此,即四点共面,
所以点在平面内.
(2)由已知得，
设为平面的法向量,则,即,可取.
设为平面的法向量,则,同理可取
因为,所以二面角的正弦值为.
21.【解析】
(1)直线平面.
证明如下:
因为分别是的中点,所以,
又平面平面ABC
所以平面ABC
平面,平面平面 ,
所以,
(2)如图,过B作AC的平行线,交圆于点D,由(1)可知交线即为直线，
由题意过D作DQ//CP,且,
连接,易知CD过点
以C点为原点,分别以向量,方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系.
设,则有,,
所以
所以
因为平面ABC的一个法向量为，
所以
设平面的法向量为,
则,可得,令,
则,
所以,所以
故,
即.
22.【解析】
(1)因为四边形为正方形,所以.
因为平面平面,且垂直于这两个平面的交线,
所以平面.
(2)由(1)知.
由题意知,则,所以.如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则.
所.
令,则,
设平面的法向量为,
则,即.
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为,
则,即
令,得,
故平面的一个法向量为.
所以.
由题意知二面角为锐角,所以二面角的弦 值为.
（3）假设是线段上一点,且,
所以.
解得,
所以.
由,得即,解得
因为,所以在线段上存在点,
使得,此时.
