专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高三专题练习）设为所在平面内一点，则（ ）
A． B．
C． D．
若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．（2022·全国·高三专题练习（理））我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高一课时练习）如图，用向量，，表示向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．3
6．（2021·全国·高二课时练习）已知，，则（ ）
A．0 B． C．2 D．
7．（2021·贵州·六盘水红桥学校高二期中）已知向量，，且，那么t等于（ ）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
8．（2021·全国·高三专题练习（文））在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）.
A． B． C． D．
9．（2021·福建·闽江学院附中高一阶段练习）如图，在中，是边上的一点，且，设，，则________.（用、表示）
10．（2021·上海·高一课时练习）已知为平行四边形，若，E为中点，则_______．
11．（2021·全国·高一课时练面向量垂直的坐标表示
设，则________.
12．（2021·全国·高一课时练习）已知.若与的夹角为45°，则y=____.
13．（2021·全国·高一课时练习）设向量=(x+1，-x)，=(1，2)，且⊥，则||=_____.
14．（2021·全国·高一单元测试）已知，，若与平行，则_________．
15．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，.若，则与的夹角的大小为______.
16．（2021·河南·洛阳市第一高级中学高三阶段练习（理））已知，若与的夹角为，则实数________.
B组 能力提升
17．（2021·全国·高一课时练习）(多选题)设向量，，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
18．（2021·广东梅县东山中学高一阶段练习）（多选题）设向量， ，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．与垂直
19．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC上的中点，P是AE与BF的交点，则有（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022·湖南·高一课时练习）已知向量，，在下列条件下分别求k的值：
(1)与平行；
(2)与的夹角为．
21．（2022·湖南·高一课时练习）已知，，求：
(1)，；
(2)与的夹角的余弦值．
专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高三专题练习）设为所在平面内一点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由便可得到，进行向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项．
【详解】
解：；
；
．
故选：A．
若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量的基底的概念：平面内不共线的两个向量可以作为平面的一组基底，结合共线向量的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】
因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线向量，
对于A中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；
对于B中，设，可得，解得，
所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底；
对于C中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；
对于D中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底.
共线：B.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可；
【详解】
由题意,
，
故选：D
4．（2021·全国·高一课时练习）如图，用向量，，表示向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图示即可求出．
【详解】
如图所示：，
．
故选：C．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
设＝（x，y），由向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，，列方程组，能求出λ的值．
【详解】
解：设＝（x，y），
∵向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，，
∴，
解得λ＝．
故选：A．
6．（2021·全国·高二课时练习）已知，，则（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量数量积的坐标运算即可直接求得.
【详解】
因为，，所以.
故选：C.
7．（2021·贵州·六盘水红桥学校高二期中）已知向量，，且，那么t等于（ ）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标运算列出方程，即可解出答案.
【详解】
因为，，且，
所以即，解得
故选：A
8．（2021·全国·高三专题练习（文））在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量共线转化为，利用三点共线求实数的取值.
【详解】
，又因为，
所以，即，
所以，
因为点三点共线，所以，
解得：.
故选：D
【点睛】
本题考查向量共线，平面向量基本定理，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.
9．（2021·福建·闽江学院附中高一阶段练习）如图，在中，是边上的一点，且，设，，则________.（用、表示）
【答案】
【解析】
【分析】
利用平面向量加法和减法法则可得出关于、的表达式.
【详解】
.
故答案为：.
10．（2021·上海·高一课时练习）已知为平行四边形，若，E为中点，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的加法和减法，用表示出向量.
【详解】
，
因为E为中点，为平行四边形，
所以，
所以.
故答案为：.
11．（2021·全国·高一课时练面向量垂直的坐标表示
设，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用垂直的坐标表示即可得到答案.
【详解】
.
故答案为：
12．（2021·全国·高一课时练习）已知.若与的夹角为45°，则y=____.
【答案】2
【解析】
【分析】
由向量夹角的运算公式建立方程，解之可求得答案.
【详解】
解：，， ，
∵与的夹角为45°，∴.解得y=2或y=-(舍去).
故答案为：2.
13．（2021·全国·高一课时练习）设向量=(x+1，-x)，=(1，2)，且⊥，则||=_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量垂直的坐标表示求出，再由模长坐标表示求解即可.
【详解】
因为⊥，
所以·=0，
则x+1+(-x)×2=0，解得x=1，
则||=.
故答案为：
14．（2021·全国·高一单元测试）已知，，若与平行，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用平面向量坐标运算法则求出，的坐标，再由与平行，求出，从而的坐标，由模长公式即可求解．
【详解】
∵，，
∴，，
∵与平行，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：
15．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，.若，则与的夹角的大小为______.
【答案】##
【解析】
【分析】
由向量坐标运算可求得，代入向量夹角公式可求得，由此可得结果.
【详解】
解：由题意得：，
设，则，即
故答案为：
16．（2021·河南·洛阳市第一高级中学高三阶段练习（理））已知，若与的夹角为，则实数________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量夹角的坐标公式计算即可.
【详解】
，则，由夹角公式可得：
整理得，且，解得.
故答案为：
B组 能力提升
17．（2021·全国·高一课时练习）(多选题)设向量，，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据给定条件对各选项逐一推理计算并判断作答.
【详解】
因向量，，则，，A不正确；
，而，即与不共线，B不正确；
而，则，，C正确；
，又，于是得，即与的夹角为，D正确.
故选：CD
18．（2021·广东梅县东山中学高一阶段练习）（多选题）设向量， ，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．与垂直
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算依次依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
对于A选项，因为，所以，故A选项错误；
对于B选项，又，故B选项错误；
对于C选项，显然与不共线，故C选项错误；
对于D选项，，，所以与垂直，故D选项正确．
故选：ABC
19．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC上的中点，P是AE与BF的交点，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.
【详解】
如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知，
, A是正确的；
因为EF是中位线，所以B是正确的；
根据三角形重心性质知，CP=2PG，所以，所以C是正确的，D错误.
故选：AC
【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.
20．（2022·湖南·高一课时练习）已知向量，，在下列条件下分别求k的值：
(1)与平行；
(2)与的夹角为．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先求出与，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）首先利用向量数量积的坐标运算求出，再根据平面向量数量积的定义得到方程，解得即可；
(1)
解：因为，，所以，，又与平行，所以，解得；
(2)
解：因为，，所以，
因为与夹角为，所以，
即，解得．
21．（2022·湖南·高一课时练习）已知，，求：
(1)，；
(2)与的夹角的余弦值．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）首先利用向量坐标的加减法求出和，再根据向量的模的计算方法进行求解;
（2）由数量积夹角公式，将两向量的坐标代入进行计算即可求解.
(1)
因为，，
所以，，
所以，.
(2)
因为，，设与的夹角为，则
，
所以与的夹角的余弦值为.
