寒假温故知新检测卷-2023-2024学年数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．有张背面相同，正面分别印有，，，的卡片，现将这张卡片背面朝上，从中随机抽取张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2， B．， C．2，1 D．，1
3．关于x的一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．为积极响应国家“双减”政策，某市推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．设平均每批受益学生人次的增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的直径，点C在上，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，分别切与点A，B，切于点C，分别交于点M，N，若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．一元二次方程的根是 ．
10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
11．某公司招收职员一名，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如表实数，如果将学历、经验和工作态度三项得分按1：2：3的比例确定各人的最终得分，并将此依据确定录用者，那么被录取的是 ．
测试项目 测试成绩
甲 乙
学历 7 10
经验 8 7
工作态度 9 8
12．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了次手，设到会的人数为，则可列方程 ．
13．在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点．已知点，，是的外接圆．
（1）点的横坐标为 ；
（2）若最大时，则点的坐标为 ．
14．如图，在矩形中，已知，将矩形绕点旋转，到达的位置，则在转动过程中，边扫过的图形的面积 ．
15．如图，切于点A，B，点C是上一点，且，则 .
16．如图，的半径为6，直径过弦的中点G，若，则弦的长等于
三、解答题
17．用适当方法解下列方程：
(1)；
(2)．
18．抛掷一枚质地均匀的骰子一次．
(1)“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性大小相等吗？为什么？
(2)比较“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生的可能性的大小．
19．如图，某学校有一块长32米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为570平方米，求小道的宽为多少米？
20．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)画出绕点C按顺时针方向旋转后的；
(2)写出旋转后点和点的坐标；
(3)求点A旋转到点所经过的路线长（结果保留）．
21．“靠山吃山，靠水吃水”，金丝峡景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售．
(1)据调研发现，竹制品生产组今七月份共生产1000套“竹编篮”，为增大生产量，该生产组平均每月生产量增加，则该生产组在九月份能生产多少套“竹编篮”
(2)已知某商店代理销售“竹编篮”平均每天可销售50套，每套盈利22元，在每套降价幅度不超过6元的情况下，每下降1元，则每天可多售4套.如果每天要盈利1160元，每套应降价多少元
22．某校八年级260名学生开展“好书伴成长”读书活动，要求每人每学期至少阅读4~7本课外读物，学期结束后随机抽查了若干名学生每人阅读课外书的数量，并分为四种类型，：4本；：5本；：6本；：7本，将各类的人数绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．
图1 图2
(1)求这次被调查学生的人数；
(2)写出被调查学生每人阅读课外书数量的众数、中位数；
(3)求被调查学生每人阅读课外书数量的平均数，并估计这260名学生阅读课外书的总数．
23．如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求圆O的半径长．
24．如图，是的直径，C为上一点，D为的中点，弦于点F，交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
参考答案：
1．D
【分析】直接由概率公式求解即可．此题考查的是概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：一共有张卡片，其中整数有个，故从中随机抽取张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为．
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；
一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此可得答案．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数和常数项分别是2，，
故选：A．
3．B
【分析】求出一元二次方程的判别式，根据判别式即可得到答案，此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的个数关系是解题的关键．
【详解】解：对于x的一元二次方程来说，
∵，
∴一元二次方程有两个相等实数根，
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握判别式与一元二次方程的根的关系是解题的关键．即当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
根据一元二次方程有实数根，可知，求出解即可．
【详解】∵一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
解得．
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设受益学生人次的平均增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”列出方程，即可求解．
【详解】解：设受益学生人次的平均增长率为x，
根据题意，得．
故选：D．
6．D
【分析】根据圆周角定理得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求出则的度数，此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，由直径所对的圆周角是直角，得到，进而得到，由圆周角定理即可得，掌握圆的有关性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
8．D
【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理得，，然后根据三角形周长的定义进行计算．
【详解】解：∵直线分别与相切于点A、B、C，
∴，
∴的周长．
故选：D．
9．，．
【分析】本题考查一元二次方程．利用直接开平方法即可求出答案．
【详解】解：，
，
或0．
故答案为：，．
10．且
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，以及根据一元二次方程根据情况求参数的取值范围，解题的关键是掌握一元二次方程二次项系数不能为0，以及当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此解答即可．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
综上：的取值范围是且，
故答案为：且．
11．甲
【分析】此题考查了加权平均数．根据加权平均数的计算公式，列出算式，分别求出甲、乙的最终得分，即可得出答案．
【详解】解：∵甲的最终得分是，
乙的最终得分是，
∴被录取的是甲；
故答案为：甲．
12．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
【详解】设参加会议有人，
依题意得：，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、切线的性质、圆周角定理，根据圆周角定理得到当与轴相切于点时，最大是解题的关键．
（1）根据点、点的坐标求出的中点，根据外心的概念得到点的横坐标；
（2）连接，，，过点作于点，根据垂径定理求出，根据圆周角定理和等腰三角形可得，推出，得到当与轴相切于点时，最大，进而得到四边形是矩形，推出，，，根据勾股定理计算，即可得到答案．
【详解】（1）点，，
的中点坐标为，
是的外接圆，
点在的垂直平分线上，
点的横坐标为，
故答案为:；
（2）连接，，根据（1）可知点一定在直线上，
是的外接圆，为轴正半轴上，
，，
如图，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，
当最小时，最大，即最大，即最大，
当，即当与轴相切于点时，最大，
连接，
与轴相切于点，
轴，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
点的坐标为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了扇形面积的计算．先设，再根据勾股定理求出的值，再根据扇形的面积公式求解．
【详解】解：设，
则，
，
扫过的图形为扇环，
面积，
故答案为：．
15．/度
【分析】本题主要考查切线定理，圆周角定理；连接、，由题意易得，则有，进而根据圆周角定理可求解．
【详解】解：如图所示，连接、，
、都为的切线，
，
，
，
；
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了垂径定理以及圆周角定理，30度所对的直角边是斜边的一半，先根据直径过弦的中点G，则，，因为，所以，结合30度所对的直角边是斜边的一半，即可作答．
【详解】解：∵直径过弦的中点G，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为6，
∴，
∴，
在，．
故答案为：．
17．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先把常数项移到方程右边，再两边加上一次项系数的一半的平方进行配方，据此解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
18．(1)相等；理由见解析
(2)朝上的点数不小于3发生的可能性大
【分析】此题考查可能性大小的比较；
（1）根据题意得出落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6，再根据概率公式即可得出答案；
（2）先求出朝上的点数小于3的概率和朝上的点数不小于3的概率，再进行比较即可．
熟练掌握概率公式的计算是解题的关键．
【详解】（1）解：相等；
因为抛掷一枚均匀的骰子（各面上的点数分别为点）1次，落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6，
所以“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性都是；
故这两个事件发生的可能性大小相等；
（2）因为朝上的点数小于3的数有1，2，发生可能性是，
朝上的点数不小于3的数有3，4，5，6，发生可能性是，
所以“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生可能性大小不相等，朝上的点数不小于3发生的可能性大．
19．1米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用-面积问题，掌握等积代换是解题的关键．
设小道的宽为x米，把小道分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积是长，宽分别为米、米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：如图，设该小道的宽为x米，
依题意得， 解得．
由，不合题意，舍去．
所以．
答：小道宽1米．
20．(1)画图见解析
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，求弧长．
（1）根据旋转方式结合网格的特点找到A、B对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据（1）所画图形，写出对应点的坐标即可；
（3）由题意得，点A旋转到点所经过的路线长即为的长，先利用勾股定理求出，由旋转的性质可得，再利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由图可知，点和点的坐标分别为，；
（3）解：由题意得，点A旋转到点所经过的路线长即为的长，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，
∴点A旋转到点所经过的路线长．
21．(1)该生产组在九月份能生产1440套“竹编篮”
(2)每套应降价2元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）利用竹制品生产组在九月份生产的“竹编篮”数量=七月份生产的“竹编篮”数量×，即可求出结论；
（2）设每套“竹编篮”降价元，则每套盈利元，平均每天可售出套，利用该商店每天销售“竹编篮”获得的利润=每套的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）解：（套），
答：该生产组在九月份能生产1440套“竹编篮”；
（2）解：设每套“竹编篮”降价元，则每套盈利元，平均每天可售出套
由题意，得，
整理，得，
解得，（不符合题意，舍去）.
答：每套应降价2元.
22．(1)这次被调查学生有20名
(2)被调查学生阅读课外书数量的众数为5本，中位数为5本
(3)估计这260名学生阅读课外书的总数约为本
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，平均数，众数，中位数的求解，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）利用B类的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数；
（2） 根据众数、中位数的定义即可直接求解；
（3） 首先求得调查的20人的平均数，乘以总人数260即可．
【详解】（1）解：（名）．
这次被调查学生有20名．
（2）读了5本课外书的有8人，最多，
被调查学生阅读课外书数量的众数为5本．
共有20人，
中位数是第10人和第11人的平均数，
被调查学生阅读课外书数量的中位数为（本）．
（3）平均数为（本）．
估计这260名学生阅读课外书的总数约为（本）．
23．(1)的度数是；
(2)圆的半径长为．
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
（1）根据垂径定理可得，从而可得，即可解答；
（2）根据垂径定理可得，然后设圆的半径长为，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】（1）解：是圆的一条弦，，
，
，
的度数是；
（2）解：是圆的一条弦，，
，
设圆的半径长为，
在中，，
，
，
∴圆的半径长为．
24．(1)见解析
(2)8
【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理等知识，熟练运用圆周角定理、勾股定理、垂径定理是解题的关键．
（1）根据垂径定理求出，根据圆的有关性质求出，根据等腰三角形的判定即可得解；
（2）连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，据此求解即可．
【详解】（1）证明：为的中点，
，
是的直径，弦，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
，，
，
，
，
是的直径，弦，
，
在中，，
，
或（舍去），
．
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