河北省武邑中学2018-2019学年高三上学期理数12月月考试卷
一、单选题
1．（2018·武邑模拟）已知全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】由 , .
图中阴影部分表示的集合是 .
故答案为：C.
【分析】根据集合的交和补运算，结合韦恩图即可求解.
2．（2018·武邑模拟）若复数z满足 其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．1+2i B．1 2i C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设 ，则 ，A=1,b=-2，则 ，
故答案为：B.
【分析】采用待定系数法，结合复数的运算，即可求出z.
3．（2018·武邑模拟）已知向量 ，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】由向量 ，
可得 .
由 ，可得 .
解得 .
故答案为：A.
【分析】根据平面向量的线性运算，结合两垂直向量数量积为0，即可求出k的值.
4．（2018·武邑模拟）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S2＝3，S4＝15，则S3＝（ ）
A．7 B．－9 C．7或－9 D．
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S2＝3，S4＝15，
代入数值得到q=-2或2，
当公比为2时， 解得 ，S3＝7；
当公比为-2时， 解得 ，S3＝-9.
故答案为：C.
【分析】根据等比数列的前n项和公式，求出q，即可求出S3.
5．（2018·武邑模拟）某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】由三视图可知该多面体的直观图为如图所示的四棱锥 ：
其中，四边形 为边长为1的正方形， 面 ，且 ， .
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
∴最长棱为
故答案为：A.
【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，即可确定最长棱的长度.
6．（2018·武邑模拟）已知cos ＝ ，且－π<α<－ ，则cos 等于（ ）
A． B． C．－ D．－
【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】依题意 ，由于 ，属于 ，故 .
故答案为：D.
【分析】根据诱导公式及同角三角函数的平方关系化简求值即可.
7．（2018·武邑模拟）知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】由题易知： ，∴
故答案为：A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，取中间量进行比较即可.
8．（2018·武邑模拟）已知函数 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数 列，把函数 图象沿 轴向左平移 个单位，得到函数 的图象，关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．在 上是增函数
B．其图象关于直线 对称
C．函数 是奇函数
D．当 时，函数 的值域是
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，函数 图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，故函数 的最小正周期为 ，所以 ；函数 图象沿 轴向左平移 个单位得， ，故 为偶函数，并在区间 上为减函数，所以A、C不符合题意． ，所以B不符合题意．因为 ，所以 ， ，所以D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据诱导公式，结合图象变换及正弦函数的单调性，奇偶性和对称性逐一判定即可.
9．（2018·武邑模拟）正项等比数列 中，存在两项 使得 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由 得 解得 ，再由 得 ，所以 ，所以 .
故答案为：A
【分析】根据等比数列的通项公式，解方程，求出q，结合基本不等式，即可求出相应的最小值.
10．（2018·武邑模拟）已知函数 ， 则函数 的图象（ ）
A．最小正周期为T=2p B．关于点直线 对称
C．关于直线 对称 D．在区间上 为减函数
【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】函数
.
可知函数的最小正周期为 ；
，为函数的最大值，所以直线 为函数的对称轴.
故答案为：C.
【分析】根据两角和的余弦公式，结合正余弦的二倍角公式及辅助角公式，整理函数的表达式，再依据正弦函数的周期性、对称性及单调性逐一判断即可.
11．（2018·武邑模拟）已知函数 的导数为 ， 不是常数函数，且 对 恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】原式等于 ，设 ，那么 ，所以函数 是单调递增函数， ，即 ，
故答案为：A.
【分析】构造函数，求导数，利用导数判定函数的单调性，即可比较大小.
12．（2018·武邑模拟）已知函数 ，对任意 ，存在 ，使得 ，则 的最小值 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令 ，则 ，令 ，可得 ，则 ，所以 ，显然 是增函数，观察可得当 时， ，故 有唯一的零点．故当 时， 取得最小值为 ，
故答案为：D．
【分析】构造函数，求导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值即可.
二、填空题
13．（2018·武邑模拟）
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】 ，
故答案为 .
【分析】根据诱导公式，结合余弦的二倍角公式即可求出相应的值.
14．（2018·武邑模拟）已知向量 若 ，则 ．
【答案】
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：由题可得 ， ， ,即 ，
故答案为
【分析】根据平面向量的线性运算，结合两向量共线的条件，解方程，即可求出 的值.
15．（2018·武邑模拟）曲线 与直线 在第一象限所围成的封闭图形的面积为 .
【答案】
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】把曲线 与直线 的方程联立解之得x=0或x=1.
由题得曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 ，故填 .
【分析】解方程，求出积分上下限，结合微积分基本定理，即可求出封闭图形的面积.
16．（2018·武邑模拟）已知点 是抛物线 ： 与椭圆 ： 的公共焦点， 是椭圆 的另一焦点，P是抛物线 上的动点，当 取得最小值时，点P恰好在椭圆 上，则椭圆 的离心率为 .
【答案】
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，
过 向抛物线的准线作垂线 ，则 ，所以 ,
显然当直线 与抛物线相切时， 最小，即 取得最小值，
设直线 的方程为 ，代入 可得 ，
令 ，可得 ，
不妨设 在第一象限 ，则 ，所以 ，即 ，
因为 在椭圆上，且 为椭圆的焦点，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，所以离心率为 ．
【分析】根据抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系，联立解方程，即可求出椭圆的离心率.
三、解答题
17．（2018·武邑模拟）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)， ＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）若x＝ π，设点D为线段OA上的动点，求 的最小值和最大值；
（Ⅱ）若 ，向量 ＝ ， ＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求 的最小值及对应的x值.
【答案】解：（Ⅰ） 设 （ ），又
所以
所以
所以当 时， 最小值为
（Ⅱ）由题意得 ，
则
因为 ，所以
所以当 ，即 时， 取得最大值
所以 时， 取得最小值
所以 的最小值为 ，此时 .
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，表示向量的模，结合二次函数的单调性，即可求出相应的最值；
（2）根据平面向量的数量积运算，结合正弦函数的单调性，即可求出最小值及相应的x值.
18．（2018·武邑模拟）如图，在多面体 中，四边形 是菱形， ⊥平面 且 .
（1）求证：平面 ⊥平面 ；
（2）若 设 与平面 所成夹角为 ，且 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）解：证明：连结
四边形 是菱形， ，
⊥平面 ， 平面 ，
，
， 平面 ，
平面 ，
平面 ， 平面 ⊥平面
（2）解：解：解法一：设 ，
四边形 是菱形， ，
、 为等边三角形， ，
是 的中点， ，
⊥平面 ， ，
在 中有， ， ，
以 为原点，作 ，以 的方向分别为 轴， 轴的正方向，建空间直角坐标系 如图所示，则
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 得 设 ，解得 .
设平面 的法向量为 ，
由 得 设 ，解得 .
设二面角 的为 ，则
结合图可知，二面角 的余弦值为 .
解法二：
∵EB⊥面ABCD，
∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角
在Rt△EAB中，cos∠EAB= 又AB=2,∴AE=
∴EB=DF=1
连接AC交BD于O，连接EO、FO
菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2
矩形BEFD中，FO=EO= ,EF=2,EO +FO =EF ,∴FO⊥EO
又AC⊥面BEFD, FO 面BEFD,∴FO⊥AC,
AC∩EO=O，AC、EO 面AEC,∴FO⊥面AEC
又EC 面AEC,∴FO⊥EC
过点F做FM⊥EC于M，连OM，
又FO⊥EC, FM∩FO=F, FM、FO 面FMO,∴EC⊥面FMO
OM 面FMO,∴EC⊥MO
∴∠FMO即为二面角A-EC-F的平面角
AC⊥面BEFD, EO 面BEFD，∴AC⊥EO
又O为AC的中点，∴EC=AE=
Rt△OEC中，OC= , EC= ,∴OE= ,∴OM =
Rt△OFM中，OF= , OM = ,∴FM =
∴cos∠FMO=
即二面角A-EC-F的余弦值为
解法三：
连接AC交BD于O，连接EO、FO
菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2
矩形BEFD中，FO=EO= ,EF=2,EO +FO =EF ,∴FO⊥EO
又AC⊥面BEFD, FO 面BEFD,∴FO⊥AC,
AC∩EO=O，AC、EO 面AEC,∴FO⊥面AEC
又∵EB⊥面ABCD，
∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角
在Rt△EAB中，cos∠EAB= 又AB=2,∴AE=
∴EB=DF=1
在Rt△EBC、Rt△FDC中可得FC=EC=
在△EFC中，FC=EC= ，EF=2,∴
在△AEC中, AE=EC= ,O为AC中点，∴OE⊥OC
在Rt△OEC,OE= , OC= ,∴
设△EFC、△OEC在EC边上的高分别为h、m,
二面角A-EC-F的平面角设为θ，
则cosθ=
即二面角A-EC-F的余弦值为
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，证明线面垂直，即可得到面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，求出平面的法向量，结合空间向量的数量积运算，即可求出二面角的余弦值.
19．（2018·武邑模拟）如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从 地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．
（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；
（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，可得AD＝12千米．
由题可知
解得
（2）解：经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．
由于乙先到达D地，故 ＜2，即v＞8．
①当0＜vt≤5，即0＜t≤ 时，
f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB＝(v2－ v＋36) t2．
因为v2－ v＋36＞0，所以当t＝ 时，f(t)取最大值，
所以(v2－ v＋36)×( )2≤25，解得v≥ ．
②当5＜vt≤13，即 ＜t≤ 时，
f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6)2(t－ )2＋9．
因为v＞8，所以 ＜ ，(v－6)2＞0，所以当t＝ 时，f(t)取最大值，
所以(v－6)2( － )2＋9≤25，解得 ≤v≤ ．
③当13≤vt≤16， ≤t≤ 时，
f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，
因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f(t)在( ， )递减，所以当t＝ 时，f(t)取最大值，
(12－6× )2＋(16－v× )2≤25，解得 ≤v≤ ．
因为v＞8，所以 8＜v≤
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求出AD的长，解不等式，即可求出v的范围；
（2）对vt的取值分类讨论，分布求出相应的最大值，比较即可得到v的取值范围.
20．（2018·武邑模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
【答案】（1）解：∵S1＝a1＝1， 且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，
∴Sn＝2n－1，
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.
当n＝1时，a1＝1，不适合上式．
∴an＝
（2）解：a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，4为公比的等比数列，
∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝ ＝ .
∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋ ＝
【知识点】等比数列概念与表示
【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义，确定 {Sn}是以2为公比的等比数列， 即可写出Sn，结合Sn即可求出an；
（2）根据等比数列的前n项和公式，即可求出相应的和.
21．（2018·武邑模拟）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为4x-2y-3=0.
（1）求 的值；
（2）证明:f(x)>lnx .
【答案】（1）解： ，由题意有 ，解得
（2）证明：（方法一）由（1）知， .设
则只需证明
，设
则 ， 在 上单调递增
，
，使得
且当 时， ，当 时，
当 时， ， 单调递减
当 时， ， 单调递增
，由 ，得 ，
，
设 ， ，
当 时， ， 在 单调递减，
，因此
（方法二）先证当 时， ，即证
设 ， 则 ，且
， 在 单调递增，
在 单调递增，则当 时，
（也可直接分析 显然成立）
再证
设 ，则 ，令 ，得
且当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
，即
又 ，
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导数，结合导数的结合意义，列方程组求解，即可求出a和b的值；
（2）构造函数h（x），求导数，利用导数判断函数的单调性，结合函数的单调性，求出函数的最值，即可证明相应的不等式成立.
22．（2018·武邑模拟）在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 .
（1）求直线 与 的交点的轨迹 的方程；
（2）若曲线 上存在4个点到直线 的距离相等，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解： 的直角坐标方程为 ，可化为 ，
的直角坐标方程为 ，可化为 ，
从而有 ，整理得 ，
当 或 时，也满足上式，
故直线 与 的交点的轨迹 的方程为
（2）解：由（1）知，曲线 表示圆心在 ，半径为 的圆，
点 到直线 的距离为 ，
∵曲线 上存在4个点到直线 的距离相等，
∴ ，解得 ，
∴实数 的取值范围为
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化，即可得到直线l1和l2的直角坐标方程，表示a，联立，即可求出二者交点的轨迹方程；
（2）根据圆心到直线的距离，与半径比较，即可求出实数a的取值范围.
23．（2018·武邑模拟）已知函数
（Ⅰ）当a=1时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 的解集包含 ，求 的取值范围.
【答案】解：（I）当a=1时，不等式 可化为 ，
①当 时，不等式为 ，解得 ，故 ；
②当 时，不等式为 ，解得 ，故 ；
③当 时，不等式为 ，解得 ，故 ．
综上，原不等式的解集为 ．
（Ⅱ） 的解集包含 ，不等式可化为 ，解得 ，由已知得 ，解得 ，所以a的取值范围是
【知识点】绝对值不等式
【解析】【分析】（1）将a=1代入，对x的取值分类讨论，解不等式，即可求出原不等式的解集；
（2）解不等式，求出解集，根据集合间的包含关系，转化为区间端点值的关系，即可求出实数a的取值范围.
河北省武邑中学2018-2019学年高三上学期理数12月月考试卷
一、单选题
1．（2018·武邑模拟）已知全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2018·武邑模拟）若复数z满足 其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．1+2i B．1 2i C． D．
3．（2018·武邑模拟）已知向量 ，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2018·武邑模拟）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S2＝3，S4＝15，则S3＝（ ）
A．7 B．－9 C．7或－9 D．
5．（2018·武邑模拟）某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为（ ）
A． B． C．2 D．1
6．（2018·武邑模拟）已知cos ＝ ，且－π<α<－ ，则cos 等于（ ）
A． B． C．－ D．－
7．（2018·武邑模拟）知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（2018·武邑模拟）已知函数 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数 列，把函数 图象沿 轴向左平移 个单位，得到函数 的图象，关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．在 上是增函数
B．其图象关于直线 对称
C．函数 是奇函数
D．当 时，函数 的值域是
9．（2018·武邑模拟）正项等比数列 中，存在两项 使得 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
10．（2018·武邑模拟）已知函数 ， 则函数 的图象（ ）
A．最小正周期为T=2p B．关于点直线 对称
C．关于直线 对称 D．在区间上 为减函数
11．（2018·武邑模拟）已知函数 的导数为 ， 不是常数函数，且 对 恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2018·武邑模拟）已知函数 ，对任意 ，存在 ，使得 ，则 的最小值 为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2018·武邑模拟）
14．（2018·武邑模拟）已知向量 若 ，则 ．
15．（2018·武邑模拟）曲线 与直线 在第一象限所围成的封闭图形的面积为 .
16．（2018·武邑模拟）已知点 是抛物线 ： 与椭圆 ： 的公共焦点， 是椭圆 的另一焦点，P是抛物线 上的动点，当 取得最小值时，点P恰好在椭圆 上，则椭圆 的离心率为 .
三、解答题
17．（2018·武邑模拟）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)， ＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）若x＝ π，设点D为线段OA上的动点，求 的最小值和最大值；
（Ⅱ）若 ，向量 ＝ ， ＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求 的最小值及对应的x值.
18．（2018·武邑模拟）如图，在多面体 中，四边形 是菱形， ⊥平面 且 .
（1）求证：平面 ⊥平面 ；
（2）若 设 与平面 所成夹角为 ，且 ，求二面角 的余弦值.
19．（2018·武邑模拟）如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从 地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．
（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；
（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．
20．（2018·武邑模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
21．（2018·武邑模拟）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为4x-2y-3=0.
（1）求 的值；
（2）证明:f(x)>lnx .
22．（2018·武邑模拟）在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 .
（1）求直线 与 的交点的轨迹 的方程；
（2）若曲线 上存在4个点到直线 的距离相等，求实数 的取值范围.
23．（2018·武邑模拟）已知函数
（Ⅰ）当a=1时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 的解集包含 ，求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】由 , .
图中阴影部分表示的集合是 .
故答案为：C.
【分析】根据集合的交和补运算，结合韦恩图即可求解.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设 ，则 ，A=1,b=-2，则 ，
故答案为：B.
【分析】采用待定系数法，结合复数的运算，即可求出z.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】由向量 ，
可得 .
由 ，可得 .
解得 .
故答案为：A.
【分析】根据平面向量的线性运算，结合两垂直向量数量积为0，即可求出k的值.
4．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S2＝3，S4＝15，
代入数值得到q=-2或2，
当公比为2时， 解得 ，S3＝7；
当公比为-2时， 解得 ，S3＝-9.
故答案为：C.
【分析】根据等比数列的前n项和公式，求出q，即可求出S3.
5．【答案】A
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】由三视图可知该多面体的直观图为如图所示的四棱锥 ：
其中，四边形 为边长为1的正方形， 面 ，且 ， .
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
∴最长棱为
故答案为：A.
【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，即可确定最长棱的长度.
6．【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】依题意 ，由于 ，属于 ，故 .
故答案为：D.
【分析】根据诱导公式及同角三角函数的平方关系化简求值即可.
7．【答案】A
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】由题易知： ，∴
故答案为：A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，取中间量进行比较即可.
8．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，函数 图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，故函数 的最小正周期为 ，所以 ；函数 图象沿 轴向左平移 个单位得， ，故 为偶函数，并在区间 上为减函数，所以A、C不符合题意． ，所以B不符合题意．因为 ，所以 ， ，所以D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据诱导公式，结合图象变换及正弦函数的单调性，奇偶性和对称性逐一判定即可.
9．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由 得 解得 ，再由 得 ，所以 ，所以 .
故答案为：A
【分析】根据等比数列的通项公式，解方程，求出q，结合基本不等式，即可求出相应的最小值.
10．【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】函数
.
可知函数的最小正周期为 ；
，为函数的最大值，所以直线 为函数的对称轴.
故答案为：C.
【分析】根据两角和的余弦公式，结合正余弦的二倍角公式及辅助角公式，整理函数的表达式，再依据正弦函数的周期性、对称性及单调性逐一判断即可.
11．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】原式等于 ，设 ，那么 ，所以函数 是单调递增函数， ，即 ，
故答案为：A.
【分析】构造函数，求导数，利用导数判定函数的单调性，即可比较大小.
12．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令 ，则 ，令 ，可得 ，则 ，所以 ，显然 是增函数，观察可得当 时， ，故 有唯一的零点．故当 时， 取得最小值为 ，
故答案为：D．
【分析】构造函数，求导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值即可.
13．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】 ，
故答案为 .
【分析】根据诱导公式，结合余弦的二倍角公式即可求出相应的值.
14．【答案】
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：由题可得 ， ， ,即 ，
故答案为
【分析】根据平面向量的线性运算，结合两向量共线的条件，解方程，即可求出 的值.
15．【答案】
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】把曲线 与直线 的方程联立解之得x=0或x=1.
由题得曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 ，故填 .
【分析】解方程，求出积分上下限，结合微积分基本定理，即可求出封闭图形的面积.
16．【答案】
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，
过 向抛物线的准线作垂线 ，则 ，所以 ,
显然当直线 与抛物线相切时， 最小，即 取得最小值，
设直线 的方程为 ，代入 可得 ，
令 ，可得 ，
不妨设 在第一象限 ，则 ，所以 ，即 ，
因为 在椭圆上，且 为椭圆的焦点，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，所以离心率为 ．
【分析】根据抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系，联立解方程，即可求出椭圆的离心率.
17．【答案】解：（Ⅰ） 设 （ ），又
所以
所以
所以当 时， 最小值为
（Ⅱ）由题意得 ，
则
因为 ，所以
所以当 ，即 时， 取得最大值
所以 时， 取得最小值
所以 的最小值为 ，此时 .
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，表示向量的模，结合二次函数的单调性，即可求出相应的最值；
（2）根据平面向量的数量积运算，结合正弦函数的单调性，即可求出最小值及相应的x值.
18．【答案】（1）解：证明：连结
四边形 是菱形， ，
⊥平面 ， 平面 ，
，
， 平面 ，
平面 ，
平面 ， 平面 ⊥平面
（2）解：解：解法一：设 ，
四边形 是菱形， ，
、 为等边三角形， ，
是 的中点， ，
⊥平面 ， ，
在 中有， ， ，
以 为原点，作 ，以 的方向分别为 轴， 轴的正方向，建空间直角坐标系 如图所示，则
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 得 设 ，解得 .
设平面 的法向量为 ，
由 得 设 ，解得 .
设二面角 的为 ，则
结合图可知，二面角 的余弦值为 .
解法二：
∵EB⊥面ABCD，
∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角
在Rt△EAB中，cos∠EAB= 又AB=2,∴AE=
∴EB=DF=1
连接AC交BD于O，连接EO、FO
菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2
矩形BEFD中，FO=EO= ,EF=2,EO +FO =EF ,∴FO⊥EO
又AC⊥面BEFD, FO 面BEFD,∴FO⊥AC,
AC∩EO=O，AC、EO 面AEC,∴FO⊥面AEC
又EC 面AEC,∴FO⊥EC
过点F做FM⊥EC于M，连OM，
又FO⊥EC, FM∩FO=F, FM、FO 面FMO,∴EC⊥面FMO
OM 面FMO,∴EC⊥MO
∴∠FMO即为二面角A-EC-F的平面角
AC⊥面BEFD, EO 面BEFD，∴AC⊥EO
又O为AC的中点，∴EC=AE=
Rt△OEC中，OC= , EC= ,∴OE= ,∴OM =
Rt△OFM中，OF= , OM = ,∴FM =
∴cos∠FMO=
即二面角A-EC-F的余弦值为
解法三：
连接AC交BD于O，连接EO、FO
菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2
矩形BEFD中，FO=EO= ,EF=2,EO +FO =EF ,∴FO⊥EO
又AC⊥面BEFD, FO 面BEFD,∴FO⊥AC,
AC∩EO=O，AC、EO 面AEC,∴FO⊥面AEC
又∵EB⊥面ABCD，
∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角
在Rt△EAB中，cos∠EAB= 又AB=2,∴AE=
∴EB=DF=1
在Rt△EBC、Rt△FDC中可得FC=EC=
在△EFC中，FC=EC= ，EF=2,∴
在△AEC中, AE=EC= ,O为AC中点，∴OE⊥OC
在Rt△OEC,OE= , OC= ,∴
设△EFC、△OEC在EC边上的高分别为h、m,
二面角A-EC-F的平面角设为θ，
则cosθ=
即二面角A-EC-F的余弦值为
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，证明线面垂直，即可得到面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，求出平面的法向量，结合空间向量的数量积运算，即可求出二面角的余弦值.
19．【答案】（1）解：由题意，可得AD＝12千米．
由题可知
解得
（2）解：经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．
由于乙先到达D地，故 ＜2，即v＞8．
①当0＜vt≤5，即0＜t≤ 时，
f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB＝(v2－ v＋36) t2．
因为v2－ v＋36＞0，所以当t＝ 时，f(t)取最大值，
所以(v2－ v＋36)×( )2≤25，解得v≥ ．
②当5＜vt≤13，即 ＜t≤ 时，
f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6)2(t－ )2＋9．
因为v＞8，所以 ＜ ，(v－6)2＞0，所以当t＝ 时，f(t)取最大值，
所以(v－6)2( － )2＋9≤25，解得 ≤v≤ ．
③当13≤vt≤16， ≤t≤ 时，
f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，
因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f(t)在( ， )递减，所以当t＝ 时，f(t)取最大值，
(12－6× )2＋(16－v× )2≤25，解得 ≤v≤ ．
因为v＞8，所以 8＜v≤
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求出AD的长，解不等式，即可求出v的范围；
（2）对vt的取值分类讨论，分布求出相应的最大值，比较即可得到v的取值范围.
20．【答案】（1）解：∵S1＝a1＝1， 且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，
∴Sn＝2n－1，
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.
当n＝1时，a1＝1，不适合上式．
∴an＝
（2）解：a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，4为公比的等比数列，
∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝ ＝ .
∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋ ＝
【知识点】等比数列概念与表示
【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义，确定 {Sn}是以2为公比的等比数列， 即可写出Sn，结合Sn即可求出an；
（2）根据等比数列的前n项和公式，即可求出相应的和.
21．【答案】（1）解： ，由题意有 ，解得
（2）证明：（方法一）由（1）知， .设
则只需证明
，设
则 ， 在 上单调递增
，
，使得
且当 时， ，当 时，
当 时， ， 单调递减
当 时， ， 单调递增
，由 ，得 ，
，
设 ， ，
当 时， ， 在 单调递减，
，因此
（方法二）先证当 时， ，即证
设 ， 则 ，且
， 在 单调递增，
在 单调递增，则当 时，
（也可直接分析 显然成立）
再证
设 ，则 ，令 ，得
且当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
，即
又 ，
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导数，结合导数的结合意义，列方程组求解，即可求出a和b的值；
（2）构造函数h（x），求导数，利用导数判断函数的单调性，结合函数的单调性，求出函数的最值，即可证明相应的不等式成立.
22．【答案】（1）解： 的直角坐标方程为 ，可化为 ，
的直角坐标方程为 ，可化为 ，
从而有 ，整理得 ，
当 或 时，也满足上式，
故直线 与 的交点的轨迹 的方程为
（2）解：由（1）知，曲线 表示圆心在 ，半径为 的圆，
点 到直线 的距离为 ，
∵曲线 上存在4个点到直线 的距离相等，
∴ ，解得 ，
∴实数 的取值范围为
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化，即可得到直线l1和l2的直角坐标方程，表示a，联立，即可求出二者交点的轨迹方程；
（2）根据圆心到直线的距离，与半径比较，即可求出实数a的取值范围.
23．【答案】解：（I）当a=1时，不等式 可化为 ，
①当 时，不等式为 ，解得 ，故 ；
②当 时，不等式为 ，解得 ，故 ；
③当 时，不等式为 ，解得 ，故 ．
综上，原不等式的解集为 ．
（Ⅱ） 的解集包含 ，不等式可化为 ，解得 ，由已知得 ，解得 ，所以a的取值范围是
【知识点】绝对值不等式
【解析】【分析】（1）将a=1代入，对x的取值分类讨论，解不等式，即可求出原不等式的解集；
（2）解不等式，求出解集，根据集合间的包含关系，转化为区间端点值的关系，即可求出实数a的取值范围.
